不定積分積分法

知識體系

一、基本積分表

根據(jù)積分表將函數(shù)積分震糖，是最基本的操作肋杖。略

二、湊微分法

基本思想 : $\int狗(貓)貓\prime d狗= \int狗(貓)d(貓) \rightarrow 查基本積分表得到答案$

例如 : 求 $\int \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}dx$

$\int \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}dx = \int \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}}dx = 2\int \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}}d(\sqrt{x}) = 2\arcsin \sqrt{x} + C$

三勘纯、換元法

基本思想(復(fù)雜) : $\int狗d狗 = \int狗(貓)d貓 = \int狗(貓)貓^\prime d貓$

基本思想(簡單) : $\int x dx 局服，令 u = x，則 dx = du驳遵，則\int x dx = \int u du$

最佳實(shí)踐 : 還原法常用于以下情況代換 :

三角函數(shù)代換

根式轉(zhuǎn)換

倒代換

復(fù)雜函數(shù)直接代換

例如 : 求 $\int \sqrt{a^2 - x^2}dx$

$令 x = a\sin t淫奔，則dx = a \cos t dt，t = a\arcsin x$

$原式 = \int \sqrt{a^2 - x^2}dx = \int \sqrt{a^2 - a^2\sin^2 t}* a\cos{t}dt$

$= a^2\int \sqrt{1 - \sin^2 t} * \cos{t} dt$

$=a^2 \int \cos^2{t}dt = \frac{t}{2} + \frac{\sin{2t}}{4} + C$

$= \frac{a^2\arcsin x}{2} + \frac{ax \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}}{2} + C$

$=\frac{a^2\arcsin x}{2} + \frac{x \sqrt{a^2 - x^2}}{2} + C$

注 : 三角函數(shù)代換

當(dāng)被積函數(shù)有如下公式時(shí)堤结，可以作三角代換唆迁，這里a > 0 (附 : 其實(shí)積分表有以下公式)

$\sqrt{a^2 - x^2} \rightarrow 令 x = a\sin{t} ，|t| < \frac{\pi}{2}$

$\sqrt{a^2 +x^2} \rightarrow x = a\tan{t} 竞穷，|t|<\frac{\pi}{2}$

$\sqrt{x^2- a^2} \rightarrow x = a\sec{t}唐责，\begin{cases} 若 x>0，則 0<t <\frac{\pi}{2} \\ 若x<0瘾带，則\frac{\pi}{2}<t<\pi \end{cases}鼠哥，注意這里需要分類討論$

四、分部積分法

基本思想 : $\int udv = uv - \int vdu = uv - vd(u) - \int vddu$

該公式給求相乘函數(shù)的積分一個(gè)思路，就是找到多次積分具有規(guī)律的式子作為v朴恳，將容易求導(dǎo)的式子作為u抄罕。

例如上述式子，當(dāng)積分為 $\int x^3e^xdx$ 時(shí)

$原式 = e^x x^3 - \int 3x^2d(e^x) \\ = e^xx^3 - 3x^2e^x - \int6xd(e^x) \\ = e^xx^3 - 3x^2e^x - 6xe^x - \int6d(e^x) \\ = e^xx^3 - 3x^2e^x - 6xe^x - 6e^x - 0$

此時(shí)于颖，你會發(fā)現(xiàn)在 $uv - \int vdu$ 這個(gè)式子中呆贿， $e^x$ 這個(gè)特殊函數(shù)可以一直作為v存在,因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cint%20vdu%20%3D%20%5Cint%20du%20d(e%5Ex)%20%3D%20du%20*%20e%5Ex%20-%20%5Cint%20e%5Ex%20ddu" alt="\int vdu = \int du d(e^x) = du * e^x - \int e^x ddu" mathimg="1">

所以，你會發(fā)現(xiàn)恍飘，分部積分法可以在某些情況下榨崩，只通過求導(dǎo)谴垫，就能算出積分章母，以下是常見的v情況

$e^x$
$\sin x、\cos x$

例如 : 求 $\int \frac{xe^{\arctan x}}{ (1 + x^2)^{\frac{3}{2}}}dx$

$令 x = \tan t 翩剪，則原式 = \int \frac{\tan t e^t}{\sec t}dx = \int \sin t e^tdx$

$= \sin t e^t - \int \cos t e^tdx = \sin t e^t - \cos t e^t - \int \sin t e^tdx$

$故 2\int \sin t e^tdx = \sin t e^t - \cos t e^t +C$

$\int \sin te^t dx = \frac{e^t(\sin t - \cos t )}{2} +C = \frac{e^{\arctan x} (x-1)}{2\sqrt{1+x^2}} + C$

注意 : $\sin{\arctan x } = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}乳怎，\cos {\arctan x } = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$

五、有理函數(shù)積分

對于 $\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}dx (n<m)的積分稱為有理函數(shù)的積分前弯◎阶海可以這樣求$

將 $Q_m(x)$ 進(jìn)行因式分解為多項(xiàng)式
令 $\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = 多項(xiàng)式$
解出 $P_n(x) = 多項(xiàng)式 * Q_m(x)$ ，確定多項(xiàng)式系數(shù)
解由上述多項(xiàng)式的積分

注意 : 因式分解為多項(xiàng)式的規(guī)律為

$Q_m(x)的一次單因式恕出，ax +b產(chǎn)生一項(xiàng) \frac{A}{ax+b}$

$Q_m(x)的k重一次因式 (ax+ b)^k產(chǎn)生k項(xiàng)询枚，分別為 \frac{A_1}{ax +b} + \frac{A_2}{(ax + b)^2} + ... + \frac{A_k}{(ax +b)^k}$

$Q_m(x)的二次單因式 px^2 + qx +r 產(chǎn)生以項(xiàng)目 \frac{Ax +B }{ px^2 + qx + r}$

$Q_m(x)的k重二次因式(px^2 +qx + r)^k產(chǎn)生 k項(xiàng) \\ \frac{A_1x +B_1}{px^2 + qx +r} + \frac{A_2x +B_2}{(px^2 + qx +r)^2} + ... + \frac{A_kx +B_k}{(px^2 + qx +r)^k}$

例如 : 求 $\int \frac{x}{x^3 - x^2 + x -1}dx$

$原式 = \int \frac{x}{(x-1)(x^2 + 1)}dx ，為有理函數(shù)積分浙巫，則進(jìn)行多項(xiàng)式分解$

$\frac{x}{(x-1)(x^2 + 1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$

$解得 A = \frac{1}{2}金蜀，B = -\frac{1}{2}，C=\frac{1}{2}$

$即\int \frac{x}{(x-1)(x^2 + 1)}dx = \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x-1}dx + \frac{1}{2}\int \frac{1-x}{x^2 + 1}dx$

$= \frac{1}{2}\ln{|x-1|} + \frac{1}{2} \arctan x - \frac{1}{4}\ln{(x^2 + 1)} + C$

推論

$\ln{ax} + C = \ln {x} + C的畴，因?yàn)閷?shù)運(yùn)算法則渊抄，可以將lna看作常數(shù)$
$\int \frac{x^2}{x^2 + 1}dx = \int \frac{x^2 + 1 - 1 }{x^2+1} = x - \arctan x +C$

不定積分積分法

不定積分積分法

一、 基本積分表

二、 湊微分法

三勘纯、換元法

注 : 三角函數(shù)代換

四、分部積分法

五、有理函數(shù)積分

推論

一、基本積分表

二、湊微分法