線(xiàn)性代數(shù)核心章節(jié) 歸納匯總

CSDN入口請(qǐng)見(jiàn) 線(xiàn)性代數(shù)總結(jié)與歸納——線(xiàn)性變換、特征值與二次型酥宴，系同作者同一文章

線(xiàn)性代數(shù)是工科數(shù)學(xué)的核心與基礎(chǔ)內(nèi)容之一竿刁，掌握好線(xiàn)性代數(shù)芬探，不僅有助于日后的各種數(shù)學(xué)學(xué)科的理論學(xué)習(xí)，更是掌握各種專(zhuān)業(yè)知識(shí)的必備技能。但可惜的是鸠信，很多人由于受到教材排版的缺陷嚷闭、授課水平的約束攒岛，并沒(méi)有很好地理解線(xiàn)性代數(shù)的核心，而僅草草通過(guò)了考試（包括筆者在內(nèi)亦是如此）胞锰。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)灾锯，亦是欣賞人類(lèi)的智慧結(jié)晶，不能透徹學(xué)習(xí)嗅榕，乃是大學(xué)學(xué)習(xí)生涯的一大憾事顺饮。

所以希望能夠通過(guò)本系列文章的匯總，來(lái)嘗試構(gòu)建屬于自己的知識(shí)體系凌那，并且能夠給予自己和讀者一些啟發(fā)兼雄。并且，本篇文章也是用來(lái)學(xué)習(xí)LaTeX與Markdown的測(cè)試文章帽蝶。

由于本人水平有限赦肋，難免會(huì)有疏漏，請(qǐng)讀者酌情閱讀。

閱讀須知：

標(biāo)有 $Defination$ 的欄目為定義佃乘，定義描述了線(xiàn)性代數(shù)的核心研究對(duì)象
標(biāo)有 Law X 的欄目代表定理囱井，定理的證明內(nèi)容較為復(fù)雜，不會(huì)在本文涉及趣避。定理是描述線(xiàn)性代數(shù)學(xué)科的核心庞呕，通過(guò)對(duì)定理的反復(fù)學(xué)習(xí)背誦，可以從根本上掌握線(xiàn)性代數(shù)程帕。而一切命題與推論都可以從這若干條定理得出住练。
本文不適合線(xiàn)性代數(shù)初學(xué)者
參考資料：天津大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院代數(shù)教研組線(xiàn)性代數(shù)講義

1. 線(xiàn)性變換

線(xiàn)性變換，線(xiàn)性空間等概念是線(xiàn)性代數(shù)的核心

$Defination:$ 線(xiàn)性空間 $V$ 上滿(mǎn)足從自身到自身的映射 $\sigma(\pmb{\alpha})$ 愁拭，并且滿(mǎn)足 $\sigma(\pmb{\alpha + \beta})$ = $\sigma(\pmb{\alpha})$ + $\sigma(\pmb{\beta})$ 以及 $\sigma(k\pmb{\alpha}) = k\sigma(\pmb{\alpha})$ 讲逛，則稱(chēng) $\sigma$ 為 $V$ 上的線(xiàn)性變換。

線(xiàn)性變換滿(mǎn)足性質(zhì)： $\sigma(\pmb{0}) = \pmb{0}, \sigma(-\pmb{\alpha}) = -\pmb{\alpha}$
部分特殊線(xiàn)性變換：如投影變換敛苇，零變換妆绞，恒等變換，數(shù)乘變換枫攀，旋轉(zhuǎn)變換-

2. Law 1: 線(xiàn)性變換與生成基一一確定

$V$ 上的某一個(gè)基 $\alpha_{1},\alpha_{2}, ...,\alpha_{n}$ 在某線(xiàn)性變換 $\sigma$ 作用下得到的另一個(gè)基 $\beta_{1},\beta_{2}, ...,\beta_{n}$ 括饶，若 $\sigma$ 確定，則新生成的基也確定来涨；若基 $\beta_{1},\beta_{2}, ...,\beta_{n}$ 確定图焰，則 $\sigma$ 確定，即蹦掐，線(xiàn)性變換與生成的基互相唯一確定

思考：為什么要對(duì)基做線(xiàn)性變換技羔？因?yàn)槿魏我粋€(gè)元素可以被基唯一表達(dá)，而且由于線(xiàn)性變換的線(xiàn)性特性卧抗，若一個(gè)元素被線(xiàn)性變換藤滥，那么這個(gè)元素在新基下的參數(shù)是不變的。所以我們可以通過(guò)研究線(xiàn)性變換對(duì)基的變換社裆，來(lái)窺探其對(duì)所有元素的變換效果拙绊。

3. 線(xiàn)性變換的矩陣

由于固定的線(xiàn)性變換對(duì)一個(gè)基的作用效果是恒定的，考察由基 $\alpha_{1-n}$ 到 $\beta_{1-n}$ 的變換泳秀，我們可以通過(guò)矩陣語(yǔ)言來(lái)表示這種基的變換

$Defination:$ 考慮基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n}$ 在線(xiàn)性變換 $\sigma$ 的作用下的新基 $\beta_{1}, \beta_{2}, ..., \beta_{n}$ 标沪，必然存在一個(gè)矩陣，使得
$[ \beta_{1}, \beta_{2}, ..., \beta_{n} ] = [ \alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} ] \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix}$
則線(xiàn)性變換的矩陣定義為
$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix}$

由 Law 1 已知嗜傅，對(duì)于固定的基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n}$ 金句， $A$ 與線(xiàn)性變換 $\sigma$ 互相唯一確定

4. Law 2: 線(xiàn)性變換的矩陣計(jì)算坐標(biāo)變化

由于我們已經(jīng)用線(xiàn)性變換的矩陣來(lái)描述給定基下的線(xiàn)性變換，如果該矩陣已知吕嘀，又因?yàn)槿魏我粋€(gè)元素可以由該基唯一確定违寞，所以給定任意一個(gè)元素贞瞒，我們都可以通過(guò)該矩陣計(jì)算出其線(xiàn)性變換后的結(jié)果

已知基 $\alpha_{1-n}$ ，線(xiàn)性變換 $\sigma$ 在該基下的矩陣為 $A$ 坞靶，對(duì)于元素 $x$ 憔狞，若x的坐標(biāo)為 $X$ 蝴悉，而且線(xiàn)性變換后的坐標(biāo)為 $Y$ 彰阴，那么必有 $Y=AX$

5. Law3: 不同基下線(xiàn)性變換的關(guān)系

該定理主要考察不同基下相同線(xiàn)性變換的矩陣之間的關(guān)系

設(shè)線(xiàn)性變換 $\sigma$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n}$ 下的矩陣為 $A$ ，在基 $\beta_{1}, \beta_{2}, ..., \beta_{n}$ 下的矩陣為 $B$ 拍冠，若從基 $\alpha_{1-n}$ 到 $\beta_{1-n}$ 的過(guò)渡矩陣 $S$ 滿(mǎn)足
$[ \beta_{1}, \beta_{2}, ..., \beta_{n} ] = [ \alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} ] S$ 則 $A$ 與 $B$ 之間必有 $B = S^{-1}AS$

過(guò)渡矩陣 $S$ 必然可逆尿这，想一想，為什么庆杜？
對(duì)于矩陣 $A$ 和 $B$ 的這種關(guān)系射众，我們定義為矩陣的相似，如下

6. 相似矩陣

$Defination:$ 對(duì)于矩陣 $A$ 與 $B$ 晃财，若存在可逆矩陣 $S$ 叨橱，使得 $B = S^{-1}AS$ 則稱(chēng) $A$ 與 $B$ 為 相似矩陣，記作 $A \sim B$

相似具有等價(jià)關(guān)系断盛，即滿(mǎn)足反身性罗洗、對(duì)稱(chēng)性、傳遞性
相似矩陣具有幾個(gè)性質(zhì)：相似矩陣的矩陣多項(xiàng)式仍然相似钢猛，并且相似矩陣相同的秩伙菜、跡、行列式命迈、特征值與特征向量贩绕、可逆性相同。這些特性本質(zhì)上是相同線(xiàn)性變換所體現(xiàn)出的固有性質(zhì)壶愤。
相似矩陣必然相抵淑倾，但其逆命題不成立

7. 特征值與特征向量

提出特征向量與特征值的原因，源于研究線(xiàn)性變換中某些特殊的性質(zhì)征椒。當(dāng)我們對(duì)一個(gè)元素進(jìn)行線(xiàn)性變換時(shí)娇哆，若這個(gè)元素（向量）的方向不變，而只進(jìn)行了伸縮時(shí)陕靠，我們就說(shuō)這個(gè)元素時(shí)特征向量迂尝，而伸縮的大小便是特征值。

$Defination:$ 設(shè)線(xiàn)性變換 $\sigma(\pmb{x})$ 在某基下的矩陣為 $A$ 剪芥，若元素 $x$ 在該線(xiàn)性變換中滿(mǎn)足 $\sigma(x) = Ax= \lambda x$ 垄开，則稱(chēng)該元素 $x$ 為矩陣 $A$ （或線(xiàn)性變換 $\sigma$ ）的特征向量， $\lambda$ 為特征值

對(duì)于 $Ax = \lambda x$ 税肪，移項(xiàng)得 $(\lambda E - A)X = 0$ 溉躲，若 $\lambda$ 存在榜田，則該齊次方程必有非零解，而且 $\lambda$ 必然滿(mǎn)足特征多項(xiàng)式 $|\lambda E - A| = 0$ 锻梳，因此 $|\lambda E - A| = 0$ 的解集即為 $A$ 的所有特征值的集合
對(duì)于已知特征值 $\lambda$ 箭券，帶入原方程 $(\lambda E - A)X = 0$ 便可得到關(guān)于 $X$ 的解空間 $W_{\lambda} = \{ X | AX = \lambda X, X \in P^n\}$ ，并稱(chēng)之為 $\lambda$ 的特征子空間疑枯。（易證其必為子空間）

8. 代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)

這兩個(gè)定義是為了給接下來(lái)的兩個(gè)定理做鋪墊

$Defination:$ 特征值的代數(shù)重?cái)?shù)是指 $|\lambda E - A| = 0$ 的解 $\lambda$ 的數(shù)量辩块，即有“幾重”根
$Defination:$ 特征值的幾何重?cái)?shù)是指該特征值解空間的維度 $dimW_{\lambda}$

9. Law 4：幾何重?cái)?shù)與代數(shù)重?cái)?shù)的關(guān)系

$N$ 階方陣的特征值 $\lambda_0$ 的幾何重?cái)?shù) $r \leq$ 代數(shù)重?cái)?shù) $k$

推論：?jiǎn)胃?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Clambda" alt="\lambda" mathimg="1">的特征子空間必為 $n$ 維空間中的一條過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)
對(duì)于 $k$ 重根 $\lambda$ ，其特征子空間維數(shù)必然小于等于 $k$

10. Law5: 不同特征值下的特征向量必然線(xiàn)性無(wú)關(guān)

11.方陣的相似對(duì)角化

$Def:$ 若方陣 $A$ 與某對(duì)角矩陣 $\Lambda$ 相似荆永，則稱(chēng)方陣 $A$ 可對(duì)角化废亭，而 $\Lambda$ 為矩陣 $A$ 對(duì)角化后的對(duì)角矩陣，這一過(guò)程稱(chēng)之為相似對(duì)角化具钥。即豆村，存在可逆矩陣 $S$ ，使得 $A = S^{-1}\Lambda S$

為什么要進(jìn)行相似對(duì)角化呢骂删？因?yàn)橄嗨茖?duì)角化后的矩陣具有很多優(yōu)良性質(zhì)掌动，并且在解決一些具體問(wèn)題上（如二次型，即帶交叉項(xiàng)的多元齊次式）具有重要作用宁玫。一會(huì)將會(huì)著重介紹

相似對(duì)角化的矩陣粗恢，可以輕易地計(jì)算其行列式、秩撬统、跡适滓、特征值等性質(zhì)。例如恋追，計(jì)算行列式可以將 $\Lambda$ 的對(duì)角元素相乘而得到凭迹，跡同理相加即可，而秩則只需要看 $\Lambda$ 對(duì)角線(xiàn)元素的個(gè)數(shù)即可苦囱。
事實(shí)上嗅绸，對(duì)角矩陣 $\Lambda = {\rm diag}(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n)$ 上的每一個(gè)元素都是 $A$ 的特征值。原因易證撕彤，因?yàn)槿绻覀冇贸Ｒ?guī)方法求 $\Lambda$ 的特征值鱼鸠，便會(huì)得到特征方程 $(a_1 - \lambda_1)(a_2 - \lambda_2)\cdots(a_n - \lambda_n) = 0$ 易見(jiàn) $\lambda_{1-n}$ 便是 $\Lambda$ ，同時(shí)也是 $A$ 的特征根羹铅。
并且蚀狰，可逆矩陣 $S = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n]$ 中的每一個(gè)列向量代表了 $\Lambda$ 中的對(duì)應(yīng)的特征值的特征向量，其列向量必然線(xiàn)性無(wú)關(guān)职员。理解：S代表了由“基礎(chǔ)基”向“由線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量所構(gòu)成的基”的過(guò)渡矩陣麻蹋，因此，S便是特征向量所構(gòu)成的矩陣焊切。這也是從幾何上理解相似對(duì)角化的本質(zhì)扮授。從幾何上芳室，若向量的每一個(gè)分量都能夠滿(mǎn)足伸縮而不改變方向的性質(zhì)，那么問(wèn)題便能得到簡(jiǎn)化刹勃。

12. Law 6: 相似對(duì)角化的條件

定理 $\quad$ 相似對(duì)角化的充分必要條件是 $A$ 有 $n$ 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量

推論：若 $n$ 階方陣 $A$ 有 $n$ 個(gè)互不相同的特征值堪侯，則 $A$ 可對(duì)角化。若方程在數(shù)域 $C$ 上無(wú)重根荔仁，則 $A$ 可對(duì)角化伍宦。
推論：若矩陣 $A$ 的所有特征值的幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù)，則矩陣 $A$ 可對(duì)角化

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