1贪壳，適用條件：[直線過焦點(diǎn)]蚜退，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A為直線與焦點(diǎn)所在軸夾角蚂且，是銳角幅恋。x為分離比，必須大于1淑翼。注上述公式適合一切圓錐曲線品追。如果焦點(diǎn)內(nèi)分(指的是焦點(diǎn)在所截線段上)，用該公式;如果外分(焦點(diǎn)在所截線段延長線上)惠豺，右邊為(x+1)/(x-1)风宁，其他不變。 2戒财，函數(shù)的周期性問題(記憶三個)： 1饮寞、若f(x)=-f(x+k)，則T=2k; 2幽崩、若f(x)=m/(x+k)(m不為0)慌申，則T=2k; 3、若f(x)=f(x+k)+f(x-k)蹄溉，則T=6k。注意點(diǎn)：a.周期函數(shù)役电，周期必?zé)o限b.周期函數(shù)未必存在最小周期棉胀，如：常數(shù)函數(shù)。c.周期函數(shù)加周期函數(shù)未必是周期函數(shù)霎挟，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函數(shù)驮瞧。 3，關(guān)于對稱問題(無數(shù)人搞不懂的問題)總結(jié)如下： 1采郎，若在R上(下同)滿足：f(a+x)=f(b-x)恒成立狂魔，對稱軸為x=(a+b)/2; 2、函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于x=(b-a)/2對稱; 3整份、若f(a+x)+f(a-x)=2b，則f(x)圖像關(guān)于(a火俄，b)中心對稱 4讲冠，函數(shù)奇偶性： 1、對于屬于R上的奇函數(shù)有f(0)=0; 2谱仪、對于含參函數(shù)否彩，奇函數(shù)沒有偶次方項，偶函數(shù)沒有奇次方項 3敬尺，奇偶性作用不大肌毅，一般用于選擇填空 5，數(shù)列爆強(qiáng)定律：1呜舒，等差數(shù)列中：S奇=na中笨奠，例如S13=13a7(13和7為下角標(biāo));2等差數(shù)列中：S(n)、S(2n)-S(n)到腥、S(3n)-S(2n)成等差3蔚袍，等比數(shù)列中，上述2中各項在公比不為負(fù)一時成等比晋辆，在q=-1時宇整，未必成立4，等比數(shù)列爆強(qiáng)公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q 6霸饲，數(shù)列的終極利器，特征根方程厚脉。(如果看不懂就算了)器仗。首先介紹公式：對于an+1=pan+q(n+1為下角標(biāo)，n為下角標(biāo))精钮，a1已知轨香，那么特征根x=q/(1-p)幼东，則數(shù)列通項公式為an=(a1-x)p2(n-1)+x，這是一階特征根方程的運(yùn)用脓杉。二階有點(diǎn)麻煩简逮，且不常用。所以不贅述蕉堰。希望同學(xué)們牢記上述公式悲龟。當(dāng)然這種類型的數(shù)列可以構(gòu)造(兩邊同時加數(shù)) 7，函數(shù)詳解補(bǔ)充： 1皿渗、復(fù)合函數(shù)奇偶性：內(nèi)偶則偶轻腺，內(nèi)奇同外 2、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增異減 3诀拭、重點(diǎn)知識關(guān)于三次函數(shù)：恐怕沒有多少人知道三次函數(shù)曲線其實是中心對稱圖形煤蚌。它有一個對稱中心细卧，求法為二階導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)為0贪庙，根x即為中心橫坐標(biāo)翰苫，縱坐標(biāo)可以用x帶入原函數(shù)界定。另外导披，必有唯一一條過該中心的直線與兩旁相切埃唯。 8，常用數(shù)列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2記憶方法：前面減去一個1止毕，后面加一個漠趁，再整體加一個2 9，適用于標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點(diǎn)在x軸)爆強(qiáng)公式：k橢=-{(b2)xo｝/{(a2)yo｝k雙={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k拋=p/yo注：(xo谨朝，yo)均為直線過圓錐曲線所截段的中點(diǎn)丸边。 10，強(qiáng)烈推薦一個兩直線垂直或平行的必殺技：已知直線L1：a1x+b1y+c1=0直線L2：a2x+b2y+c2=0若它們垂直：(充要條件)a1a2+b1b2=0;若它們平行：(充要條件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[這個條件為了防止兩直線重合)注：以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩纬朝，直接必殺! 11骄呼，經(jīng)典中的經(jīng)典：相信鄰項相消大家都知道蜓萄。下面看隔項相消：對于Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]注：隔項相加保留四項，即首兩項辟犀，尾兩項绸硕。自己把式子寫在草稿紙上魂毁，那樣看起來會很清爽以及整潔! 12出嘹，爆強(qiáng)面積公式：S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m税稼，n)，向量BC=(p只祠，q)注：這個公式可以解決已知三角形三點(diǎn)坐標(biāo)求面積的問題! 13丸升，你知道嗎?空間立體幾何中：以下命題均錯：1，空間中不同三點(diǎn)確定一個平面;2，垂直同一直線的兩直線平行;3猴凹，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;4郊霎，如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則直線垂直平面;5进倍，有兩個面互相平行购对，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱;6，有一個面是多邊形垂蜗，其余各面都是三角形的幾何體都是棱錐注：對初中生不適用解幽。 14，一個小知識點(diǎn)：所有棱長均相等的棱錐可以是三片部、四霜定、五棱錐。 15站粟，求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n為正整數(shù))的最小值奴烙。答案為：當(dāng)n為奇數(shù)，最小值為(n2-1)/4切诀，在x=(n+1)/2時取到;當(dāng)n為偶數(shù)時幅虑，最小值為n2/4，在x=n/2或n/2+1時取到褒墨。 16擎宝，√〔(a2+b2)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b為正數(shù)噩咪，是統(tǒng)一定義域) 17极阅，橢圓中焦點(diǎn)三角形面積公式：S=b2tan(A/2)在雙曲線中：S=b2/tan(A/2)說明：適用于焦點(diǎn)在x軸，且標(biāo)準(zhǔn)的圓錐曲線仆百。A為兩焦半徑夾角拆又。 18帖族，爆強(qiáng)定理：空間向量三公式解決所有題目：cosA=|{向量a.向量b｝/[向量a的模×向量b的模]|一：A為線線夾角甚垦，二：A為線面夾角(但是公式中cos換成sin)三：A為面面夾角注：以上角范圍均為[0，派/2]闭翩。 19迄埃，爆強(qiáng)公式12+22+32+…+n2=1/6(n)(n+1)(2n+1);123+223+323+…+n23=1/4(n2)(n+1)2 20，爆強(qiáng)切線方程記憶方法：寫成對稱形式蕉汪，換一個x者疤，換一個y叠赦。舉例說明：對于y2=2px可以寫成y×y=px+px再把(xo，yo)帶入其中一個得：y×yo=pxo+px 21糯累，爆強(qiáng)定理：(a+b+c)2n的展開式[合并之后]的項數(shù)為：Cn+22册踩，n+2在下，2在上 22，[轉(zhuǎn)化思想]切線長l=√(d2-r2)d表示圓外一點(diǎn)到圓心得距離借笙，r為圓半徑较锡，而d最小為圓心到直線的距離蚂蕴。 23，對于y2=2px骡楼，過焦點(diǎn)的互相垂直的兩弦AB鸟整、CD，它們的和最小為8p弟头。爆強(qiáng)定理的證明：對于y2=2px，設(shè)過焦點(diǎn)的弦傾斜角為A.那么弦長可表示為2p/〔(sinA)2〕疹娶，所以與之垂直的弦長為2p/[(cosA)2]伦连，所以求和再據(jù)三角知識可知除师。(題目的意思就是弦AB過焦點(diǎn)，CD過焦點(diǎn)锹安，且AB垂直于CD) 24倚舀，關(guān)于一個重要絕對值不等式的介紹爆強(qiáng)：∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣ 25痕貌，關(guān)于解決證明含ln的不等式的一種思路：爆強(qiáng)：舉例說明：證明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)把左邊看成是1/n求和，右邊看成是Sn超升。解：令an=1/n哺徊，令Sn=ln(n+1)，則bn=ln(n+1)-lnn盈滴，那么只需證an>bn即可轿钠，根據(jù)定積分知識畫出y=1/x的圖疗垛。an=1×1/n=矩形面積>曲線下面積=bn。當(dāng)然前面要證明1>ln2烈菌。注：僅供有能力的童鞋參考!!另外對于這種方法可以推廣，就是把左邊挚赊、右邊看成是數(shù)列求和济瓢，證面積大小即可旺矾。說明：前提是含ln。 26嚎朽，爆強(qiáng)簡潔公式：向量a在向量b上的射影是：〔向量a×向量b的數(shù)量積〕/[向量b的模]柬帕。記憶方法：在哪投影除以哪個的模 27陷寝，說明一個易錯點(diǎn)：若f(x+a)[a任意]為奇函數(shù)锅很，那么得到的結(jié)論是f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右邊不是-f(-x-a)〕，同理如果f(x+a)為偶函數(shù)凤跑，可得f(x+a)=f(-x+a)牢記! 28爆安，離心率爆強(qiáng)公式：e=sinA/(sinM+sinN)注：P為橢圓上一點(diǎn)，其中A為角F1PF2仔引，兩腰角為M扔仓，N 29，橢圓的參數(shù)方程也是一個很好的東西咖耘，它可以解決一些最值問題当辐。比如x2/4+y2=1求z=x+y的最值。解：令x=2cosay=sina再利用三角有界即可鲤看。比你去=0不知道快多少倍! 30，[僅供有能力的童鞋參考]]爆強(qiáng)公式：和差化積sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]積化和差sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 31义桂，爆強(qiáng)定理：直觀圖的面積是原圖的√2/4倍。 32蹈垢，三角形垂心爆強(qiáng)定理：1慷吊，向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O為三角形外心，H為垂心)2曹抬，若三角形的三個頂點(diǎn)都在函數(shù)y=1/x的圖象上溉瓶，則它的垂心也在這個函數(shù)圖象上。 33，維維安尼定理(不是很重要(僅供娛樂))堰酿，--正三角形內(nèi)(或邊界上)任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值疾宏，這定值等于該三角形的高。 34触创，爆強(qiáng)思路：如果出現(xiàn)兩根之積x1x2=m坎藐，兩根之和x1+x2=n，我們應(yīng)當(dāng)形成一種思路哼绑，那就是返回去構(gòu)造一個二次函數(shù)岩馍，再利用大于等于0，可以得到m抖韩、n范圍蛀恩。 35，常用結(jié)論：過(2p茂浮，0)的直線交拋物線y2=2px于A双谆、B兩點(diǎn)。O為原點(diǎn)励稳，連接AO.BO佃乘。必有角AOB=90度 36，爆強(qiáng)公式：ln(x+1)≤x(x>-1)該式能有效解決不等式的證明問題驹尼。舉例說明：ln(1/(22)+1)+ln(1/(32)+1)+…+ln(1/(n2)+1)<1(n≥2)證明如下：令x=1/(n2)趣避，根據(jù)ln(x+1)≤x有左右累和右邊再放縮得：左和<1-1/n<1證畢! 37，函數(shù)y=(sinx)/x是偶函數(shù)新翎。在(0程帕，派)上它單調(diào)遞減，(-派地啰，0)上單調(diào)遞增愁拭。利用上述性質(zhì)可以比較大小。 38亏吝，函數(shù)y=(lnx)/x在(0岭埠，e)上單調(diào)遞增，在(e蔚鸥，+無窮)上單調(diào)遞減惜论。另外y=x2(1/x)與該函數(shù)的單調(diào)性一致。 39止喷，幾個數(shù)學(xué)易錯點(diǎn)：1馆类，f`(x)<0是函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件;2，在研究函數(shù)奇偶性時弹谁，忽略最開始的也是最重要的一步：考慮定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱!;3乾巧，不等式的運(yùn)用過程中句喜，千萬要考慮"="號是否取到!4，研究數(shù)列問題不考慮分項沟于，就是說有時第一項并不符合通項公式咳胃，所以應(yīng)當(dāng)極度注意：數(shù)列問題一定要考慮是否需要分項! 40，提高計算能力五步曲：1社裆，扔掉計算器;2拙绊，仔細(xì)審題(提倡看題慢，解題快)泳秀，要知道沒有看清楚題目标沪，你算多少都沒用!;3，熟記常用數(shù)據(jù)嗜傅，掌握一些速算技巧;4金句，加強(qiáng)心算，估算能力;5吕嘀，[檢驗]!违寞。 41，一個美妙的公式…：爆強(qiáng)!已知三角形中AB=a偶房，AC=b趁曼，O為三角形的外心，則向量AO×向量BC(即數(shù)量積)=(1/2)[b2-a2]強(qiáng)烈推薦!證明：過O作BC垂線棕洋，轉(zhuǎn)化到已知邊上 42挡闰，①函數(shù)單調(diào)性的含義：大多數(shù)同學(xué)都知道若函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)，則函數(shù)值隨著自變量的增大(減小)而增大(減小)掰盘，但有些意思可能有些人還不是很清楚摄悯，若函數(shù)在D上單調(diào)，則函數(shù)必連續(xù)(分段函數(shù)另當(dāng)別論)這也說明了為什么不能說y=tanx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增愧捕，因為它的圖像被無窮多條漸近線擋住奢驯，換而言之，不連續(xù).還有次绘，如果函數(shù)在D上單調(diào)瘪阁，則函數(shù)在D上y與x一一對應(yīng).這個可以用來解一些方程.至于例子不舉了.②函數(shù)周期性：這里主要總結(jié)一些函數(shù)方程式所要表達(dá)的周期設(shè)f(x)為R上的函數(shù)，對任意x∈R(1)f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(加絕對值邮偎，下同)(2)f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a)(3)f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a(4)設(shè)T≠0罗洗，有f(x+T)=M[f(x)]其中M(x)滿足M[M(x)]=x,且M(x)≠x則函數(shù)的周期為2 43，③奇偶函數(shù)概念的推廣： (1)對于函數(shù)f(x)钢猛，若存在常數(shù)a，使得f(a-x)=f(a+x)轩缤，則稱f(x)為廣義(Ⅰ)型偶函數(shù)命迈，且當(dāng)有兩個相異實數(shù)a贩绕，b滿足時，f(x)為周期函數(shù)T=2(b-a) (2)若f(a-x)=-f(a+x)壶愤，則f(x)是廣義(Ⅰ)型奇函數(shù)淑倾，當(dāng)有兩個相異實數(shù)a，b滿足時征椒，f(x)為周期函數(shù)T=2(b-a) (3)有兩個實數(shù)a娇哆，b滿足廣義奇偶函數(shù)的方程式時，就稱f(x)是廣義(Ⅱ)型的奇勃救，偶函數(shù).且若f(x)是廣義(Ⅱ)型偶函數(shù)碍讨，那么當(dāng)f在[a+b/2，∞)上為增函數(shù)時蒙秒，有f(x1) 44勃黍，④函數(shù)對稱性： (1)若f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c則函數(shù)關(guān)于(a+b/2，c/2)成中心對稱(2)若f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)則函數(shù)關(guān)于直線x=a+b/2成軸對稱⑤柯西函數(shù)方程：若f(x)連續(xù)或單調(diào)(1)若f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0),則f(x)=㏒ax (2)若f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0),則f(x)=x2u(u由初值給出) (3)f(x+y)=f(x)f(y)則f(x)=a2x (4)若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,則f(x)=ax2+bx(5)若f(x+y)+f(x-y)=2f(x),則f(x)=ax+b特別的若f(x)+f(y)=f(x+y)晕讲，則f(x)=kx 45覆获，與三角形有關(guān)的定理或結(jié)論中學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何最基本的圖形就是三角形①正切定理(我自己取的，因為不知道名字)：在非Rt中瓢省，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC②任意三角形射影定理(又稱第一余弦定理)：在ABC中a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA③任意三角形內(nèi)切圓半徑r=2S/a+b+c(S為面積)弄息，外接圓半徑應(yīng)該都知道了吧④梅涅勞斯定理：設(shè)A1,B1，C1分別是ABC三邊BC勤婚，CA摹量，AB所在直線的上的點(diǎn)，則A1蛔六，B1荆永，C1共線的充要條件是CB1/B1A·BA1/A1C·AC1/C1B=1 44，易錯點(diǎn)：1国章，函數(shù)的各類性質(zhì)綜合運(yùn)用不靈活具钥，比如奇偶性與單調(diào)性常用來配合解決抽象函數(shù)不等式問題;2，三角函數(shù)恒等變換不清楚液兽，誘導(dǎo)公式不迅捷骂删。 45，易錯點(diǎn)：3四啰，忽略三角函數(shù)中的有界性宁玫，三角形中角度的限定，比如一個三角形中柑晒，不可能同時出現(xiàn)兩個角的正切值為負(fù);4欧瘪，三角的平移變換不清晰，說明：由y=sinx變成y=sinwx的步驟是將橫坐標(biāo)變成原來的1/∣w∣倍 46匙赞，易錯點(diǎn)：5佛掖，數(shù)列求和中妖碉，常常使用的錯位相減總是粗心算錯，規(guī)避方法：在寫第二步時芥被，提出公差欧宜，括號內(nèi)等比數(shù)列求和，最后除掉系數(shù);6拴魄，數(shù)列中常用變形公式不清楚冗茸，如：an=1/[n(n+2)]的求和保留四項 47，易錯點(diǎn)：7匹中，數(shù)列未考慮a1是否符合根據(jù)sn-sn-1求得的通項公式;8夏漱，數(shù)列并不是簡單的全體實數(shù)函數(shù)，即注意求導(dǎo)研究數(shù)列的最值問題過程中是否取到問題 48职员，易錯點(diǎn)：9麻蹋，向量的運(yùn)算不完全等價于代數(shù)運(yùn)算;10，在求向量的模運(yùn)算過程中平方之后焊切，忘記開方扮授。比如這種選擇題中常常出現(xiàn)2，√2的答案…专肪，基本就是選√2刹勃，選2的就是因為沒有開方;11，復(fù)數(shù)的幾何意義不清晰 49嚎尤，關(guān)于輔助角公式：asint+bcost=[√(a2+b2)]sin(t+m)其中tanm=b/a[條件：a>0]說明：一些的同學(xué)習(xí)慣去考慮sinm或者cosm來確定m荔仁，個人覺得這樣太容易出錯最好的方法是根據(jù)tanm確定m.(見上)。舉例說明：sinx+√3cosx=2sin(x+m)芽死，因為tanm=√3乏梁，所以m=60度，所以原式=2sin(x+60度) 50关贵，A遇骑、B為橢圓x2/a2+y2/b2=1上任意兩點(diǎn)。若OA垂直O(jiān)B揖曾，則有1/∣OA∣2+1/∣OB∣2=1/a2+1/b2