概率論（二）：隨機(jī)變量及其分布

隨機(jī)變量

設(shè)隨機(jī)試驗的樣本空間為 $S=$ {e}. $X=X(e)$ 是定義在樣本空間 $S$ 上的實值單值函數(shù)。稱 $X=X(e)$ 為隨機(jī)變量洽故。

離散型隨機(jī)變量及其分布律

當(dāng)隨機(jī)變量的值為有限個或可列無限個時，此時隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量庄新。假如離散型隨機(jī)變量 $X$ 的所有可能取值為 $x_{i}(i=1,2,\dots )$ , $X$ 取各個可能值的概率广恢，即事件{ $X=x_{k}$ }的概率，為: $P\left \{X=x_{i} \right \}=p_{i},i=1,2,\dots$ ,馋没，此概率公式稱為分布律
由之前概率的定義可知：

$p_{i}\geqslant 0,i=1,2,\dots;$
$\sum_{i=1 }^{\infty }p_{i}=1$

(0-1)分布

當(dāng)隨機(jī)變量 $X$ 只可能取0與1兩個值時昔逗，它的分布律是： $P\left \{X=k \right \}=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1$ ,稱 $X$ 服從以 $p$ 為參數(shù)的（0-1）分布或兩點分布

伯努利試驗與二項分布

如果試驗 $E$ 只有兩個可能結(jié)果： $A$ 與 $\overline{A}$ ，則說 $E$ 是伯努利試驗篷朵，設(shè) $p$ 為 $A$ 發(fā)生的概率勾怒。
進(jìn)一步，如果將伯努利試驗 $E$ 獨立重復(fù)進(jìn)行 $n$ 次声旺，則說這一串獨立試驗為 $n$ 重伯努利試驗笔链。
設(shè) $X$ 表示 $n$ 重伯努利試驗中事件 $A$ 發(fā)生的次數(shù)，此時 $X$ 為一個隨機(jī)變量腮猖，則說 $X$ 服從參數(shù)為 $n$ , $p$ 的二項分布鉴扫，記作: $X\sim b(n,p)$ ，分布律為： $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},k=0,1,\dots ,n$ 澈缺。當(dāng) $n=1$ 時坪创，二項分布則變?yōu)閮牲c分布。

泊松分布

設(shè)隨機(jī)變量 $X$ 所有取值為 $0,1,2,\dots$ 姐赡，而取各個值的概率為： $P\left \{ X=k\right \}=\frac{\lambda^ke^{\lambda}}{k!},k=0,1,2,\dots,$ , $\lambda$ 為常數(shù)且大于零莱预。X則是服從參數(shù)為 $\lambda$ 的泊松分布，記作： $X\sim \pi (\lambda)$

泊松定理：設(shè) $\lambda >0$ 是一個常數(shù)项滑， $n$ 是任意正整數(shù)依沮，設(shè) $np_{n}=\lambda$ ,則對于任一固定的非負(fù)整數(shù) $k$ ，有 $\lim_{n\rightarrow \infty }\binom{n}{k}p^{k}_{n}(1-p_{n})^{n-k}=\frac{\lambda ^{k}e^{-\lambda}}{k!}$ 杖们，也就是說以 $n,p$ 為參數(shù)的二項分布的概率值可由參數(shù)為 $\lambda =np$ 的泊松分布概率值近似

隨機(jī)變量的分布函數(shù)

設(shè) $X$ 是一個隨機(jī)變量， $x$ 是任意實數(shù)肩狂，函數(shù) $F(x)=P\left \{X\leqslant x \right \},-\infty <x<\infty$ 稱為 $X$ 的分布函數(shù)摘完。

$F(x)$ 是一個不減函數(shù)： $F(x_{2})-F(x_{1})=P\left \{ x_{1}<X\leqslant x_{2} \right \}\geqslant 0$
$0 \leqslant F(x) \leqslant 1,F(-\infty )=\lim_{x\rightarrow -\infty }F(x)=0,F(\infty)=\lim_{x\rightarrow \infty }F(x)=1$
$F(x+0)=F(x)$ ,即 $F(x)$ 是右連續(xù)的

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

如果對于隨機(jī)變量的分布函數(shù) $F(x)$ ，存在非負(fù)函數(shù) $f(x)$ 傻谁，使對于任意實數(shù) $x$ 有 $F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$ ,則稱 $X$ 為連續(xù)型隨機(jī)變量孝治，函數(shù) $f(x)$ 稱為 $X$ 的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度

概率密度性質(zhì)：

$f(x)\geqslant 0$
$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$
對于任意實數(shù) $x_{1},x_{2}(x_{1}\leqslant x_{2}),P(x_{1}<X\leqslant x_{2})=F(x_{2})-F(x_{1})=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx$
若 $f(x)$ 在點 $x$ 處連續(xù)，則有 $F{}'(x)=f(x)$

均勻分布

若連續(xù)型隨機(jī)變量 $X$ 具有概率密度 $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b-a},a<x<b & \\ 0,otherwise & \end{matrix}\right.$ 谈飒，則稱 $X$ 在區(qū)間 $(a,b)$ 上服從均勻分布岂座，記作： $X\sim U(a,b)$
其分布函數(shù)為 $F(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & x<a \\ \frac{x-a}{b-a} & a \leqslant x<b \\ 1 & x \geqslant b \end{matrix}\right.$

指數(shù)分布

若連續(xù)型隨機(jī)變量 $X$ 具有概率密度： $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\Theta } e^{-\frac{x}{\Theta }}& x>0\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$ ,其中 $\Theta >0$ 為常數(shù)，則稱 $X$ 服從參數(shù)為 $\Theta$ 的指數(shù)分布

其分布函數(shù)為： $F(x)=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-\frac{x}{\Theta }} &x>0 \\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$

無記憶性： $P\left \{X>s+t | X>s \right \}=P\left \{ X>t \right \}$

正態(tài)分布

若連續(xù)型隨機(jī)變量 $X$ 具有概率密度： $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}e^{-\frac{(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}},-\infty <x<\infty$ ,其中 $\mu ,\sigma (\sigma >0)$ 為常數(shù)杭措，則稱隨機(jī)變量 $X$ 服從參數(shù)為 $\mu ,\sigma$ 的正態(tài)分布或高斯分布费什，記作： $X\sim N(\mu,\sigma)$
其分布函數(shù)為： $F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}\int_{-\infty }^{x}e^{-\frac{(t-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}dt$

$f(x)$ 曲線關(guān)于 $x=\mu$ 對稱： $P\left \{\mu -h<X\leqslant\mu \right \}=P\left \{\mu <X\leqslant \mu +h \right \}$
當(dāng) $x=\mu$ 時，取到最大值： $f(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$

當(dāng) $\mu=0,\sigma=1$ 時稱隨機(jī)變量 $X$ 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布手素，概率密度為： $\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}$ 鸳址，分布函數(shù)為： $\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^{2}}{2}} dt$

$\Phi(-x)=1-\Phi(x)$
線性變換：若 $X\sim N(\mu,\sigma)$ ，則 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$

假如隨機(jī)變量 $X$ 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布泉懦，若 $z_{\alpha}$ 滿足： $P(X>z_{\alpha})=\alpha,0<\alpha<1$ 稿黍，則點 $z_{\alpha}$ 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 $\alpha$ 位點