背景
對于未知的非線性函數(shù)壁拉，僅通過函數(shù)的輸入輸出數(shù)據(jù)難以準確尋找函數(shù)極值立叛。這類問題可以通過神經(jīng)網(wǎng)絡結合遺傳算法求解芝发，利用神經(jīng)網(wǎng)絡的非線性擬合能力和遺傳算法的非線性尋優(yōu)能力尋找函數(shù)極值泼诱。本文用神經(jīng)網(wǎng)絡遺傳算法尋優(yōu)如下非線性函數(shù)極值，函數(shù)表達式為
函數(shù)圖形如下圖1所示咪奖。
從函數(shù)方程和圖形可以看出盗忱，該函數(shù)的全局最小值為0，對應的坐標為(0,0)羊赵。雖然從函數(shù)方程和圖形中很容易找出函數(shù)極值及極值對應坐標趟佃，但是在函數(shù)方程未知的情況下函數(shù)極值及極值對應坐標就很難找到。
模型建立
神經(jīng)網(wǎng)絡遺傳算法函數(shù)極值尋優(yōu)主要分為BP神經(jīng)網(wǎng)絡訓練擬合和遺傳算法極值尋優(yōu)兩步，算法流程如下圖2所示闲昭。
神經(jīng)網(wǎng)絡訓練擬合根據(jù)尋優(yōu)函數(shù)的特點構建合適的BP神經(jīng)網(wǎng)絡罐寨，用非線性函數(shù)的輸出數(shù)據(jù)訓練BP網(wǎng)絡，訓練后的BP神經(jīng)網(wǎng)絡就可以預測函數(shù)輸出汤纸。遺傳算法極值尋優(yōu)把訓練后的BP神經(jīng)網(wǎng)絡預測結果作為個體適應度值衩茸，通過選擇、交叉和變異操作尋找函數(shù)的全局最優(yōu)值及對應輸入值贮泞。
本文根據(jù)非線性函數(shù)有2個輸入?yún)?shù)楞慈、1個輸出參數(shù)，確定BP神經(jīng)網(wǎng)絡結構為2-5-1.取函數(shù)的4 000組輸入輸出數(shù)據(jù)啃擦，從中隨機選取3 900組數(shù)據(jù)訓練網(wǎng)絡囊蓝，100組數(shù)據(jù)測試網(wǎng)絡性能，網(wǎng)絡訓練好后用于預測非線性函數(shù)輸出令蛉。
遺傳算法中個體采用實數(shù)編碼聚霜，由于尋優(yōu)函數(shù)只有2個輸入?yún)?shù)，所以個體長度為2珠叔。個體適應度值為BP神經(jīng)網(wǎng)絡預測值蝎宇，適應度值越小。交叉概率為0.4祷安，變異概率為0.2姥芥。
MATLAB實現(xiàn)
1、BP神經(jīng)網(wǎng)絡訓練擬合
用函數(shù)輸入輸出數(shù)據(jù)訓練BP神經(jīng)網(wǎng)絡汇鞭，使訓練后的網(wǎng)絡能夠擬合非線性函數(shù)輸出凉唐，保存訓練好的網(wǎng)絡用語計算個體適應度值。根據(jù)非線性函數(shù)方程隨機得到該函數(shù)的4 000組輸入輸出數(shù)據(jù)霍骄，存儲于data.mat中台囱，其中input為函數(shù)輸入數(shù)據(jù)，output為函數(shù)對應輸出數(shù)據(jù)读整，從中隨機抽取3 900組訓練數(shù)據(jù)訓練網(wǎng)絡簿训，100組測試數(shù)據(jù)測試網(wǎng)絡擬合性能。最后保存訓練好的網(wǎng)絡米间。
%% 清空環(huán)境變量
clc
clear
tic
%% 訓練數(shù)據(jù)預測數(shù)據(jù)提取及歸一化
%下載輸入輸出數(shù)據(jù)
load data1 input output
%從1到2000間隨機排序
k=rand(1,4000);
[m,n]=sort(k);
%找出訓練數(shù)據(jù)和預測數(shù)據(jù)
input_train=input(n(1:3900),:)';
output_train=output(n(1:3900),:)';
input_test=input(n(3901:4000),:)';
output_test=output(n(3901:4000),:)';
%選連樣本輸入輸出數(shù)據(jù)歸一化
[inputn,inputps]=mapminmax(input_train);
[outputn,outputps]=mapminmax(output_train);
%% BP網(wǎng)絡訓練
% %初始化網(wǎng)絡結構
net=newff(inputn,outputn,5);
net.trainParam.epochs=100;
net.trainParam.lr=0.1;
net.trainParam.goal=0.0000004;
%網(wǎng)絡訓練
net=train(net,inputn,outputn);
%% BP網(wǎng)絡預測
%預測數(shù)據(jù)歸一化
inputn_test=mapminmax('apply',input_test,inputps);
%網(wǎng)絡預測輸出
an=sim(net,inputn_test);
%網(wǎng)絡輸出反歸一化
BPoutput=mapminmax('reverse',an,outputps);
%% 結果分析
figure(1)
plot(BPoutput,':og')
hold on
plot(output_test,'-*');
legend('預測輸出','期望輸出','fontsize',12)
title('BP網(wǎng)絡預測輸出','fontsize',12)
xlabel('樣本','fontsize',12)
ylabel('輸出','fontsize',12)
%預測誤差
error=BPoutput-output_test;
figure(2)
plot(error,'-*')
title('神經(jīng)網(wǎng)絡預測誤差')
figure(3)
plot((output_test-BPoutput)./BPoutput,'-*');
title('神經(jīng)網(wǎng)絡預測誤差百分比')
errorsum=sum(abs(error))
toc
2煎楣、適應度函數(shù)
把訓練好的BP神經(jīng)網(wǎng)絡預測輸出作為個體適應度值。
function fitness = fun(x)
% 函數(shù)功能：計算該個體對應適應度值
% x input 個體
% fitness output 個體適應度值
%
load data net inputps outputps
%數(shù)據(jù)歸一化
x=x';
inputn_test=mapminmax('apply',x,inputps);
%網(wǎng)絡預測輸出
an=sim(net,inputn_test);
%網(wǎng)絡輸出反歸一化
fitness=mapminmax('reverse',an,outputps);
3车伞、遺傳算法主函數(shù)
%% 清空環(huán)境變量
clc
clear
%% 初始化遺傳算法參數(shù)
%初始化參數(shù)
maxgen=100; %進化代數(shù)，即迭代次數(shù)
sizepop=20; %種群規(guī)模
pcross=[0.4]; %交叉概率選擇喻喳，0和1之間
pmutation=[0.2]; %變異概率選擇另玖，0和1之間
lenchrom=[1 1]; %每個變量的字串長度，如果是浮點變量，則長度都為1
bound=[-5 5;-5 5]; %數(shù)據(jù)范圍
individuals=struct('fitness',zeros(1,sizepop), 'chrom',[]); %將種群信息定義為一個結構體
avgfitness=[]; %每一代種群的平均適應度
bestfitness=[]; %每一代種群的最佳適應度
bestchrom=[]; %適應度最好的染色體
%% 初始化種群計算適應度值
% 初始化種群
for i=1:sizepop
%隨機產(chǎn)生一個種群
individuals.chrom(i,:)=Code(lenchrom,bound);
x=individuals.chrom(i,:);
%計算適應度
individuals.fitness(i)=fun(x); %染色體的適應度
end
%找最好的染色體
[bestfitness bestindex]=min(individuals.fitness);
bestchrom=individuals.chrom(bestindex,:); %最好的染色體
avgfitness=sum(individuals.fitness)/sizepop; %染色體的平均適應度
% 記錄每一代進化中最好的適應度和平均適應度
trace=[avgfitness bestfitness];
%% 迭代尋優(yōu)
% 進化開始
for i=1:maxgen
i
% 選擇
individuals=Select(individuals,sizepop);
avgfitness=sum(individuals.fitness)/sizepop;
%交叉
individuals.chrom=Cross(pcross,lenchrom,individuals.chrom,sizepop,bound);
% 變異
individuals.chrom=Mutation(pmutation,lenchrom,individuals.chrom,sizepop,[i maxgen],bound);
% 計算適應度
for j=1:sizepop
x=individuals.chrom(j,:); %解碼
individuals.fitness(j)=fun(x);
end
%找到最小和最大適應度的染色體及它們在種群中的位置
[newbestfitness,newbestindex]=min(individuals.fitness);
[worestfitness,worestindex]=max(individuals.fitness);
% 代替上一次進化中最好的染色體
if bestfitness>newbestfitness
bestfitness=newbestfitness;
bestchrom=individuals.chrom(newbestindex,:);
end
individuals.chrom(worestindex,:)=bestchrom;
individuals.fitness(worestindex)=bestfitness;
avgfitness=sum(individuals.fitness)/sizepop;
trace=[trace;avgfitness bestfitness]; %記錄每一代進化中最好的適應度和平均適應度
end
%進化結束
%% 結果分析
figure();
[r c]=size(trace);
plot([1:r]',trace(:,2),'r-');
title('適應度曲線','fontsize',12);
xlabel('進化代數(shù)','fontsize',12);
ylabel('適應度','fontsize',12);
axis([0,100,0,1])
% 窗口顯示
disp('適應度');
x=bestchrom;
disp([bestfitness]);
disp('變量');
disp([x]);
4谦去、結果分析
BP神經(jīng)網(wǎng)絡擬合結果分析
本文中個體的適應度值為BP神經(jīng)網(wǎng)絡預測值慷丽，因此BP神經(jīng)網(wǎng)絡預測精度對于最優(yōu)位置的尋找具有非常重要的意義。由于尋優(yōu)非線性函數(shù)有2個輸入?yún)?shù)鳄哭、1個輸出參數(shù)要糊，所以構建的BP神經(jīng)網(wǎng)絡的結構為2-5-1。共取非線性函數(shù)4 000組輸入輸出數(shù)據(jù)妆丘，從中隨機選擇3 900組數(shù)據(jù)訓練BP神經(jīng)網(wǎng)絡锄俄，100組數(shù)據(jù)作為測試數(shù)據(jù)測試BP神經(jīng)網(wǎng)絡擬合性能，BP神經(jīng)網(wǎng)絡預測輸出和期望輸出對比如下圖3所示勺拣。
從BP神經(jīng)網(wǎng)絡預測結果可以看出奶赠，BP神經(jīng)網(wǎng)絡可以準確預測非線性函數(shù)輸出，可以把網(wǎng)絡預測近似看成函數(shù)實際輸出药有。
遺傳算法尋優(yōu)結果分析BP神經(jīng)網(wǎng)絡訓練結束后毅戈，可以利用遺傳算法尋找該非線性函數(shù)的最小值。遺傳算法的迭代次數(shù)是100次愤惰，種群規(guī)模是20苇经，交叉概率為0.4，變異概率為0.2宦言，采用浮點數(shù)編碼扇单，個體長度為21，優(yōu)化過程中最優(yōu)個體適應度值變化曲線如下圖4所示蜡励。
遺傳算法得到的最優(yōu)個體適應度值為0.0155令花，最優(yōu)個體為[0.0062 0.0002]，最優(yōu)個體適應度值同非線性函數(shù)實際最小值0和最小值對應坐標(0,0)非常接近凉倚，說明該方法是有效的兼都。
討論
本文所使用的方法有比較重要的工程應用價值，比如對于某項試驗來說稽寒，試驗目的是獲取到最大試驗結果對應的實驗條件扮碧，但是由于時間和經(jīng)費限制，該試驗只能進行有限次杏糙，可能單靠試驗結果找不到最優(yōu)的試驗條件慎王。這時可以在已知試驗數(shù)據(jù)的基礎上，通過本文介紹的神經(jīng)網(wǎng)絡遺傳算法尋找最優(yōu)試驗條件宏侍。
思路就是先根據(jù)試驗條件數(shù)和試驗結果數(shù)確定BP神經(jīng)網(wǎng)絡結構赖淤；然后把試驗條件作為輸入數(shù)據(jù)，試驗結果作為輸出數(shù)據(jù)訓練BP網(wǎng)絡谅河，使得訓練后的網(wǎng)絡可以預測一定試驗條件下的試驗結果咱旱；最后把試驗條件作為遺傳算法中的種群個體确丢，把網(wǎng)絡預測的試驗結果作為個體適應度值，通過遺傳算法推導最優(yōu)試驗結果及其對應試驗條件吐限。
