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基函數(shù)

這里討論B-spline Basis Functions

設(shè)U 是m + 1個非遞減數(shù)的集合敛苇，u0 <= u2 <= u3 <= ... <= um千扶。ui稱為節(jié)點（knots）, 集合U 稱為節(jié)點向量（knot vector）, 半開區(qū)間[ui, ui+1) 是第i個節(jié)點區(qū)間（knot span）。注意某些ui可能相等，某些節(jié)點區(qū)間會不存在。如果一個節(jié)點 ui 出現(xiàn) k 次 (即，ui = ui+1 = ... = ui+k-1), 其中 k > 1, ui 是一個重復(fù)度（multiplicity）為k 的多重節(jié)點，寫為 ui(k)。 否則咳胃，如果ui只出現(xiàn)一次，它是一個簡單節(jié)點旷太。如果節(jié)點等間距(即展懈， ui+1 - ui 是一個常數(shù)，對 0 <= i <= m - 1)供璧，節(jié)點向量或節(jié)點序列稱為均勻的存崖；否則它是非均勻的。

為了定義B-樣條基函數(shù)嗜傅，我們還需要一個參數(shù)金句，基函數(shù)的次數(shù)（degree）p，第i個p次B-樣條基函數(shù)吕嘀，寫為Ni,p(u)违寞，遞歸定義如下：

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上述公式通常稱為Cox-de Boor遞歸公式。 這個定義看起來很復(fù)雜偶房；但是不難理解趁曼。如果次數(shù)（degree）為零（即， p = 0）棕洋，這些基函數(shù)都是階梯函數(shù)挡闰，這也是第一個表達式所表明的。即掰盘，如果u是在第i個節(jié)點區(qū)間[ui, ui+1)上基函數(shù)Ni,0(u)是1摄悯。 例如，如果我們有四個節(jié)點u0 = 0, u1 = 1, u2 = 2和 u3 = 3, 節(jié)點區(qū)間 0, 1 和2是[0,1), [1,2), [2,3)愧捕，0次基函數(shù)是N0,0(u) = 1 在 [0,1) 奢驯，在其它區(qū)間是0；N1,0(u) = 1 在 [1,2)上次绘，在其它區(qū)間是0瘪阁；N2,0(u) = 1在[2,3)上撒遣，其它區(qū)間是0。如下圖所示：

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為了理解p大于0時計算Ni,p(u)的方法管跺，我們使用三角計算格式义黎。所有節(jié)點區(qū)間列在左邊（第一）列，所有零次基函數(shù)在第二列豁跑。見下圖廉涕。

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兩個重要的觀察

因為 N_i,1(u) 是從 N_i,0(u) 和 N_i+1,0(u)計算的而 因為N_i,0(u)和N_i+1,0(u) 在區(qū)間[u_i, u_i+1)和[u_i+1, u_i+2)分別是非零的，N_i,1(u) 在這兩個區(qū)間都是非零的艇拍。換句話說火的，N_i,1(u)在[u_i, u_i+2)上是非零的。相似地淑倾，因為 N_i,2(u) 依賴于N_i,1(u) 和N_i+1,1(u)且因為這兩個基函數(shù)在[u_i, u_i+2)和[u_i+1, u_i+3)分別是非零的，N_i,2(u)在[u_i, u_i+3)上非零征椒〗慷撸總之，為確定基函數(shù)N_i,p(u), 的非零定義域勃救，可以追溯到三角計算格式直到回到第一列碍讨。例如，假設(shè)我們想找到 N_1,3(u)的非零定義域蒙秒〔颍基于上述討論，我們可從西北和西南方向追溯直到第一列為止晕讲，如下圖中藍色虛線所示覆获。因此 N_1,3(u)在 [u₁, u₂), [u₂, u₃), [u₃, u₄) 和[u₄, u₅)上是非零的∑笆。或弄息，相等地，它在[u₁, u₅)上非零勤婚。

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總之摹量，我們有下列觀察：

基函數(shù) N_i,p(u)** 在[u_i, u_i+p+1)****上非零÷ǎ或缨称，相等地，N_i,p(u)** 在 p+1****個節(jié)點區(qū)間[u_i, u_i+1), [u_i+1, u_i+2), ..., [u_i+p, u_i+p+1)****上非零祝迂。**
　　 接著睦尽，我們看相反的方向。給定一個節(jié)點區(qū)間[u_i, u_i+1),我們想知道哪個基函數(shù)會在計算中使用這個區(qū)間液兽。我們可以以這個節(jié)點區(qū)間開始并畫一個西北界限箭頭和一個西南界限的箭頭骂删。所有封閉在楔形里的基函數(shù)使用 N_i,0(u)（為什么掌动？）因此在該區(qū)間是非零的。因此宁玫，所有在[u_i, u_i+1)上非零的p 次基函數(shù)是這個楔形和包含所有N_i,p(u) 的列的交集粗恢。實際上，這一列和兩個箭頭形成一個等邊三角形欧瘪，而這一列是垂直邊眷射。 從 N_i,0(u) 數(shù)到 N_i,p(u) 有p+1列。因此佛掖，等邊三角形的垂直邊至多有p+1 項妖碉，即 N_i,p(u), N_i-1,p(u), N_i-2,p(u), ..., N_i-p+2,p(u), N_i-p+1,p(u) 和N_i-p,p(u)。

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讓我們看上圖芥被。為了找到所有3次在 [u₄, u₅) 上非零的基函數(shù)欧宜，畫出兩個箭頭和所有在垂直邊的函數(shù)是我們想要的。這個例子拴魄，是N_1,3(u), N_2,3(u), N_3,3(u), 和N_4,3(u).用黃色三角表示冗茸。藍色 (resp., 紅色) 三角顯示的是在[u₃, u₄) (resp., [u₂, u₃) )上非零的3次基函數(shù)。注意在[u₂, u₃)上只有3個3次基多項式匹中。.
總之夏漱，我們觀察到下列特性：
　　在任何一個節(jié)點區(qū)間 [ui, ui+1), 最多有 p+1個p 次基函數(shù)非零，即：Ni-p,p(u), Ni-p+1,p(u), Ni-p+2,p(u), ..., Ni-1,p(u) 和 Ni,p(u)顶捷。

系數(shù)的意義是什么?

最后挂绰，讓我們研究下Ni,p(u)定義中系數(shù)的意義。當計算 Ni,p(u) 時服赎，它使用Ni,p-1(u)和Ni+1,p-1(u)葵蒂。前者在 [ui, ui+p)上非零。如果u 是在這個半開區(qū)間专肪，那么u - ui 是u 和這個區(qū)間左端之間的距離刹勃，區(qū)間長度是ui+p - ui, ，而(u - ui) / (ui+p - ui) 是上述距離的比且在0和1之間嚎尤。見下圖荔仁。第二項，Ni,p-1(u)芽死，在[ui+1, ui+p+1)上非零乏梁。如果u 在該區(qū)間，那么ui+p+1 - u 是 u 到該區(qū)間右端的距離关贵，ui+p+1 - ui+1 是區(qū)間長度遇骑，而(ui+p+1 - u) / (ui+p+1 - ui+1) 是這兩個距離的比且值在0和1之間。因此, Ni,p(u) 是Ni,p-1(u) 和Ni+1,p-1(u)的線性組合揖曾，有兩個系數(shù)落萎，都在 u上是線性的亥啦，在0和1之間。

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