微積分的本質/傅里葉變換

01、微積分的本質 - 前言

微積分到底是干嘛周瞎？舉個例子相赁，我們知道圓周是 l = 2πr，那么呵曹，怎么證明圓的面積就是 S = πr^2 ?
我們用 dr（differentials r）導數定義表示微小的分割后的 r款咖，一個圓可以切割成無數同心環(huán)，每個同心環(huán)的面積可以展開當成矩形奄喂。

一個r=3的圓铐殃，拆成矩形拼在一起，可以看成求圓面積即求該三角形的面積

02跨新、微積分的本質 - 導數的悖論

導數是高維到低維的轉化

致敬

如圖背稼，表示一個汽車加速行駛再停下來的過程，一個是行駛距離與時間的圖像玻蝌，一個是速度與時間的圖像蟹肘，速度的大小表示距離變換的快慢，即s(t)求導后的結果就是v(t)

本集俯树，討論導數的概率帘腹，有種說法，導數是瞬時的變化率许饿，這種說法是自相矛盾的阳欲，應該換為：最佳的接近瞬時變化的變化值（為了規(guī)避在0點時候，一個悖論）

3陋率、微積分的本質 - 用幾何來求導

通過幾何來推導x^2的導數是2x

4球化、微積分的本質 - 直觀理解鏈式法則和乘積法則

求導的復合乘法函數的乘法法則，如圖f(x)= sin(x)x^2瓦糟，這樣的復合函數求導可以通過幾何面積乘法來推導筒愚，進而得出該圖的理論，乘法復合函數的求導是什么樣的

對于嵌套的復合函數的求導過程推導過程菩浙，鏈式法則巢掺，原函數sin(x^2)句伶，對它求導就是如圖過程

5、微積分的本質 - 指數函數的求導

推導的第一步

推導的第二步陆淀，右邊括號分式里的值等于什么考余？這是非常關鍵的點

e的導數還是e

對于指數函數，我們可以借助e這個神奇數字

在實際中轧苫，我們是見不到這樣的a^t的寫法楚堤，都是等價于e^ct寫法，c = ln(a),ln(2)=0.6931

指數這個性質含懊，我們才能選擇 1 钾军，利用e來方便求導

6、微積分的本質 - 隱函數求導怎么回事绢要？

x,y同時由一個等式定義并互相聯(lián)系在一起的，這種曲線就是所謂的隱函數曲線拗小，比如x^2 + y^2 = 1重罪，即滿足所有x,y的性質和所有的 (x,y) 的集合。

對于這樣的隱函數哀九，求導過程實際是上兩邊同時求導剿配，再簡單運算一下即可得出

又比如，一個5米長的木板阅束，靠墻端以1米速度勻速下落呼胚，即函數y(t)，滿足 dy/dt = 1息裸，那么墻角端的木板在t時間的速度是多少蝇更？怎么求？方法多種呼盆，這里用求導的方式去求年扩，即對等式兩邊同時求導。先設木板腳端方程x(t)访圃，求y(t)=4時候厨幻，x(t)的速度是多少？我們根據圖中右下角公式腿时，可以得出况脆，y(t)=4,x(t)=3，勾股定理批糟，套用右下角公式格了，2*3* dx/dt + 2*4*dy/dt = 0，已知dy/dt =1 ,那么dx/dt值為4/3徽鼎，這個dx/dt就是該瞬間的木板下腳速度

隱函數求導案例笆搓，對于 ln ,我們能把它變成 e^ 的方式

就這么可以求出最后結果1/x性湿，也就是 ln(x)的導數是 1/x。本節(jié)說了這么多是為了帶我們初步了解一下多元微積分

7满败、微積分的本質 - 極限

圖8肤频，對于這種極限，就要避免0\0的形式出現算墨，那么怎么求0\0這樣的形式呢宵荒？

圖9。對于上面一張圖8净嘀，我們分別畫出3條線报咳，3個函數的曲線，分子挖藏、分母的函數都在x=1時為0

接合上圖8圖9暑刃，如何求sin(πx)/(x^2-1)這樣的函數在 x=1時候的極限呢？
我們可以這樣膜眠，各自求分母分子極限岩臣。分子求導可得cos(πx)*π*dx，分母求導可得2x*dx宵膨，接著架谎，我們把x=1代入式子中，并相除辟躏，約掉了dx谷扣，得出-π/2，也就是圖8這個奇怪的函數在x=1時候捎琐，極限是-π/2会涎。

如上，當你需要計算一些0/0型的極限時瑞凑，你可以分別對分母分子進行求導在塔，然后代入那個值，這種神奇的技巧就叫 洛必達法則 拨黔。

8蛔溃、微積分的本質 - 積分與微積分基本定理

牛頓-萊布尼茲公式。求一個函數f(x)的積分篱蝇，即求這個函數f(x)的原函數贺待，通過原函數F(x)來計算積分，也就是f(x)在圖像中形成的面積零截。若f(x)是一個汽車的速度函數麸塞，那么F(x)就是距離函數

9、微積分的本質 - 面積和斜率有什么聯(lián)系涧衙？(無限個數量怎么求平均值哪工？)

為求f(x)在點(a,b)區(qū)段的平均值奥此，即求f(x)圍城的面積/b-a，那么就等于反導原函數F(x)中的 F(b)-F(a) / b-a雁比，這個式子仔細看就是原函數F(x)在(a,b)間的斜率稚虎。

9.1、微積分的本質 - 高階導數

二階導數表示斜率的變化偎捎，二階導數值越大蠢终，表面斜率變換越快。

如圖茴她，以汽車加速開車并停下來的過程寻拂，以距離和時間為變量，得函數s(t),一階求導反映的是速度變化丈牢，二階導反映的是加速度的變化祭钉，三階導反映的是急動度的變化

高階導數最大的作用就是幫助我們得到函數的近似。

10己沛、微積分的本質 - 泰勒級數

如圖慌核，為了模擬函數f(x)=cos(x),我們分別比較f(x)、f'(x)泛粹、f''(x)的值，并與之對應指數函數肮疗，選指數函數是因為它的求導簡單方便

泰勒級數晶姊，即通過模擬a點附近的近似趨勢，進而模擬出a點附近的函數

泰勒級數并不意味著多項式數據越多就越接近原函數伪货，實際上泰勒函數有收斂域们衙，超過收斂域，多項式再怎么多碱呼，也不會接近原函數蒙挑，如ln(x)等。

泰勒級數是利用某個函數單個點的導數來近似這個點附近的函數值愚臀。

形象展示傅里葉變換

傅里葉變換的應用太多了忆蚀，比如音頻的分解，現實聲音中有許多不同雜音姑裂，如何將不同音頻分解出來馋袜，

1圖實際上表示的是原地上下按固定頻率震動的波而已，x軸是時間而已舶斧，看起來像波遠去欣鳖，其實就在原地，那么對于一個原地蹦跶的頻率茴厉，我們給它另外一個維度的速度泽台，即讓這個波真正的移動什荣，便于理解，我們給它一個繞圓的速度怀酷，即2圖稻爬，兩個分量，一個每秒振3次胰坟，一個每秒繞半圈因篇，即振6次繞一圈

當信號頻率和纏繞頻率相等時(每秒3拍)，就會出現這樣的圖笔横，且保持竞滓。這樣的圖，質心只有一個點且不變化

那如何利用這個分離頻率呢吹缔？這樣商佑，我們把線看成鐵絲，通過觀察這些鐵絲纏繞形成的物體的質量重心的變換厢塘。

如圖茶没，圖左中質心有x軸y軸，我們先只觀察x軸晚碾，圖右中 y為坐標質心的x坐標抓半，x軸為纏繞頻率。圖右可以稱為原函數的近傅里葉變換

那我們會問格嘁，為什么要觀察質心的x軸變換笛求？而不是y軸？質心的運動根據歐拉公式圓的推導 e^-2πift糕簿，其實質心的y軸就是纏繞頻率的變換探入。你想想，纏繞圖它實際上是一個二維信號懂诗，一個維度信號上下振動蜂嗽，一個維度信號平移逐步加速，放到圓上可直接通過歐拉轉換殃恒，那么質心的x和y植旧，就是2個維度頻率的體現，y值的頻率圖像表達的是虛部i 的頻率离唐。

歐拉公式隆嗅，角度可以換成 2π

那么，為什么是質心侯繁？我們想想積分的定義胖喳，積分即求這個圖像組成的面積，面積的平均值就在質心贮竟。傅里葉公式去掉了除平均這塊丽焊，相當于傅里葉的結果是質心的x坐標再乘以這段時間值较剃。

傅里葉變換