問題：兩條平行線可以相交于一點(diǎn)
- 在歐式幾何空間中企量，處于同一平面的兩條平行直線不能相交炸站，這是我們中學(xué)就學(xué)的知識俄周。
- 然而在透視空間中吁讨，兩條平行直線可以相交，例如：火車軌道隨著我們的視線越來越窄峦朗，最后兩條平行線在無窮遠(yuǎn)處交于一點(diǎn)建丧。
- 在歐式幾何（笛卡爾）空間中，描述2D/3D幾何非常合適波势，但是這種方法卻不合適處理透視空間的問題（實(shí)際上翎朱，笛卡爾空間是透視幾何的一個(gè)子集）,2D笛卡爾坐標(biāo)可以表示為(x, y)。
- 如果一個(gè)點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處艰亮，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)將會(∞,∞)闭翩，在歐氏空間，這變得沒有意義迄埃。平行線在透視空間的無窮遠(yuǎn)處交于一點(diǎn)疗韵，但是在歐氏空間卻不能，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一種方式來解決這個(gè)問題侄非。
方法：齊次坐標(biāo)
簡而言之蕉汪，齊次坐標(biāo)就是用N+1維來代表N維坐標(biāo)
- 我們可以在一個(gè)2D笛卡爾坐標(biāo)末尾加上一個(gè)額外的變量w來形成2D齊次坐標(biāo)流译，因此，一個(gè)點(diǎn)(X,Y)在齊次坐標(biāo)里面變成了（x,y,w）者疤，并且有
X = x/w
Y = y/w
- 例如福澡，笛卡爾坐標(biāo)系下（1，2）的齊次坐標(biāo)可以表示為（1驹马，2革砸，1），如果點(diǎn)（1糯累，2）移動(dòng)到無限遠(yuǎn)處算利，在笛卡爾坐標(biāo)下它變?yōu)?∞,∞)，然后它的齊次坐標(biāo)表示為（1泳姐，2效拭，0），因?yàn)?1/0, 2/0) = (∞,∞)胖秒，我們可以不用”∞"來表示一個(gè)無窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)了缎患。是不是豁然開朗的感覺。
為什么叫齊次坐標(biāo)阎肝？
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我們把齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為笛卡爾坐標(biāo)的方法是前面n-1個(gè)坐標(biāo)分量分別除以最后一個(gè)分量即可挤渔。
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轉(zhuǎn)化齊次坐標(biāo)到笛卡爾坐標(biāo)的過程中，我們有一個(gè)發(fā)現(xiàn)风题，例如：
image.png 你會發(fā)現(xiàn)(1, 2, 3), (2, 4, 6) 和(4, 8, 12)對應(yīng)同一個(gè)Euclidean point (1/3, 2/3)蚂蕴，任何標(biāo)量的乘積，例如(1a, 2a, 3a) 對應(yīng) 笛卡爾空間里面的(1/3, 2/3) 俯邓。因此，這些點(diǎn)是“齊次的”熔号，因?yàn)樗麄兇砹说芽栕鴺?biāo)系里面的同一個(gè)點(diǎn)稽鞭。換句話說，齊次坐標(biāo)有規(guī)模不變性引镊。
證明：兩條直線可以相交
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考慮如下方程組：
image.png 我們知道在笛卡爾坐標(biāo)系里面朦蕴，該方程組無解，因?yàn)镃 ≠ D,如果C=D,兩條直線就相同了弟头。
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讓我們在透視空間里面吩抓，用齊次坐標(biāo)x/w, y/w代替x ,y,
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現(xiàn)在我們有一個(gè)解(x, y, 0)，兩條直線相交于(x, y, 0)赴恨，這個(gè)點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處疹娶。
小結(jié)：齊次坐標(biāo)在圖形學(xué)中是一個(gè)非常基礎(chǔ)的概念伦连，例如3D場景映射到2D場景的過程中雨饺。
參考： http://www.songho.ca/math/homogeneous/homogeneous.html
