代數(shù)角度的不可壓縮性

前作已經(jīng)談過(guò)用整系數(shù)多項(xiàng)式作為實(shí)數(shù)版圖靈機(jī)的參照標(biāo)準(zhǔn)，在這基礎(chǔ)上我們不妨考慮實(shí)數(shù)版的算法信息論铆惑。離散版本的算法信息論認(rèn)為：設(shè)有通用圖靈機(jī)U與長(zhǎng)度為N的序列X范嘱，若U無(wú)法從任何長(zhǎng)度小于N的輸入計(jì)算得出X，則稱序列X是不可壓縮的鸭津，研究結(jié)果表明長(zhǎng)序列的不可壓縮性意味著算法會(huì)將其視為隨機(jī)序列彤侍。我們不妨將類似的思路移用到實(shí)數(shù)域上：

定義（不可壓縮性）：設(shè)有實(shí)數(shù)數(shù)組 $X= （{x_{1},x_{2}， ……x_{n} }）$ 逆趋，若 $\forall x_{i} \in X,P[X/x_{i} ]\neq x_{i}$ 盏阶，則稱實(shí)數(shù)數(shù)組 $X$ 是不可壓縮的。

式中 $P$ 為任一整系數(shù)多項(xiàng)式闻书， $X/x_{i}$ 為從數(shù)組 $X$ 中去除 $x_{i}$ 后的余集名斟。

不難看出脑慧，這是為了保證數(shù)組中每一個(gè)實(shí)數(shù)都無(wú)法用其他成員組成的整系數(shù)多項(xiàng)式來(lái)替代，而因?yàn)槲覀儗ⅰ皩?shí)數(shù)機(jī)”的能力限制在整系數(shù)多項(xiàng)式砰盐，這其實(shí)就意味著沒有辦法用輸入個(gè)數(shù)少于N的實(shí)數(shù)的計(jì)算來(lái)完整生成這個(gè)數(shù)組闷袒。

定理1：相對(duì)有理數(shù)域的代數(shù)獨(dú)立性蘊(yùn)含不可壓縮性。

證明：整系數(shù)多項(xiàng)式是有理系數(shù)多項(xiàng)式的特例岩梳，假若數(shù)組可壓縮囊骤，即 $\exists x_{i} ，P[X/x_{i} ]=x_{i}$ 冀值，則 $P[X/x_{i} ]-x_{i} =0$ 就破壞代數(shù)獨(dú)立性也物。故不可壓縮性得證。

離散版本的不可壓縮序列列疗，如Chaitin常數(shù)滑蚯，往往難以得出具體數(shù)位的描述。在連續(xù)情形抵栈，我們則可以借助代數(shù)研究的武器庫(kù)告材，窺視其一角：

定理2：數(shù)組 $e^\sqrt{2} ,e^\sqrt{3} ,e^\sqrt{5} ……e^\sqrt{prime(n)}$ 是不可壓縮的，其中 $prime(n)$ 為第n個(gè)素?cái)?shù)古劲。

證明：各項(xiàng)的指數(shù)分別是不同素?cái)?shù)的根式斥赋，故這些指數(shù)在有理數(shù)域上線性獨(dú)立。根據(jù)Lindemann–Weierstrass定理绢慢，該數(shù)組在有理數(shù)域上代數(shù)獨(dú)立灿渴。由定理1知其必有不可壓縮性。

我們能夠構(gòu)造性地給出不可壓縮的實(shí)數(shù)數(shù)組胰舆，那么骚露，據(jù)此構(gòu)造出的二進(jìn)制序列是否也具有強(qiáng)烈的“隨機(jī)性”呢？正如不可壓縮的Chaitin序列一樣缚窿？

問(wèn)題：二進(jìn)制序列B有無(wú)窮多位棘幸，第n位定義為 $e^\sqrt{prime(n)}$ 二進(jìn)制表示式中的第n位數(shù)字。B的性質(zhì)在何種程度上接近真隨機(jī)序列倦零？

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請(qǐng)聯(lián)系作者

人面猴
序言：七十年代末误续，一起剝皮案震驚了整個(gè)濱河市，隨后出現(xiàn)的幾起案子扫茅，更是在濱河造成了極大的恐慌蹋嵌，老刑警劉巖，帶你破解...
沈念sama閱讀 206,968評(píng)論 6贊 482
死咒
序言：濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件葫隙，死亡現(xiàn)場(chǎng)離奇詭異栽烂，居然都是意外死亡，警方通過(guò)查閱死者的電腦和手機(jī)，發(fā)現(xiàn)死者居然都...
沈念sama閱讀 88,601評(píng)論 2贊 382
救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
文/潘曉璐我一進(jìn)店門腺办，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來(lái)焰手，“玉大人，你說(shuō)我怎么就攤上這事怀喉∈槠蓿” “怎么了？”我有些...
開封第一講書人閱讀 153,220評(píng)論 0贊 344
道士緝兇錄：失蹤的賣姜人
文/不壞的土叔我叫張陵躬拢，是天一觀的道長(zhǎng)躲履。經(jīng)常有香客問(wèn)我，道長(zhǎng)估灿，這世上最難降的妖魔是什么崇呵？我笑而不...
開封第一講書人閱讀 55,416評(píng)論 1贊 279
?港島之戀（遺憾婚禮）
正文為了忘掉前任，我火速辦了婚禮馅袁，結(jié)果婚禮上，老公的妹妹穿的比我還像新娘荒辕。我一直安慰自己汗销，他們只是感情好，可當(dāng)我...
茶點(diǎn)故事閱讀 64,425評(píng)論 5贊 374
惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來(lái)的
文/花漫我一把揭開白布抵窒。她就那樣靜靜地躺著弛针，像睡著了一般。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪李皇。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上削茁，一...
開封第一講書人閱讀 49,144評(píng)論 1贊 285
城市分裂傳說(shuō)
那天，我揣著相機(jī)與錄音掉房，去河邊找鬼茧跋。笑死，一個(gè)胖子當(dāng)著我的面吹牛卓囚，可吹牛的內(nèi)容都是我干的瘾杭。我是一名探鬼主播，決...
沈念sama閱讀 38,432評(píng)論 3贊 401
雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開眼哪亿，長(zhǎng)吁一口氣：“原來(lái)是場(chǎng)噩夢(mèng)啊……” “哼粥烁！你這毒婦竟也來(lái)了？” 一聲冷哼從身側(cè)響起蝇棉，我...
開封第一講書人閱讀 37,088評(píng)論 0贊 261
萬(wàn)榮殺人案實(shí)錄
序言：老撾萬(wàn)榮一對(duì)情侶失蹤讨阻，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎，沒想到半個(gè)月后篡殷，有當(dāng)?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體钝吮，經(jīng)...
沈念sama閱讀 43,586評(píng)論 1贊 300
?護(hù)林員之死
正文獨(dú)居荒郊野嶺守林人離奇死亡，尸身上長(zhǎng)有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
茶點(diǎn)故事閱讀 36,028評(píng)論 2贊 325
?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年，在試婚紗的時(shí)候發(fā)現(xiàn)自己被綠了搀绣。大學(xué)時(shí)的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片飞袋。...
茶點(diǎn)故事閱讀 38,137評(píng)論 1贊 334
活死人
序言：一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡，死狀恐怖链患，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出巧鸭，到底是詐尸還是另有隱情，我是刑警寧澤麻捻，帶...
沈念sama閱讀 33,783評(píng)論 4贊 324
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布纲仍，位于F島的核電站，受9級(jí)特大地震影響贸毕，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏郑叠。R本人自食惡果不足惜，卻給世界環(huán)境...
茶點(diǎn)故事閱讀 39,343評(píng)論 3贊 307
男人毒藥：我在死后第九天來(lái)索命
文/蒙蒙一明棍、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望乡革。院中可真熱鬧，春花似錦摊腋、人聲如沸沸版。這莊子的主人今日做“春日...
開封第一講書人閱讀 30,333評(píng)論 0贊 19
一樁弒父案兴蒸，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽(yáng)视粮。三九已至，卻和暖如春橙凳，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間蕾殴，已是汗流浹背。一陣腳步聲響...
開封第一講書人閱讀 31,559評(píng)論 1贊 262
情欲美人皮
我被黑心中介騙來(lái)泰國(guó)打工岛啸，沒想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留钓觉，地道東北人。一個(gè)月前我還...
沈念sama閱讀 45,595評(píng)論 2贊 355
代替公主和親
正文我出身青樓值戳，卻偏偏與公主長(zhǎng)得像议谷，于是被迫代替她去往敵國(guó)和親。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子堕虹，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 42,901評(píng)論 2贊 345

代數(shù)角度的不可壓縮性

推薦閱讀更多精彩內(nèi)容