行列式（三）- 克拉默法則

對(duì)任意 $n \times n$ 矩陣 $\boldsymbol{A}$ 和任意的 $\mathbb{R}^{n}$ 中向量 $\boldsymbol驼鞭$ 秦驯，令 $\boldsymbol{A}_i(\boldsymbol)$ 表示 $\boldsymbol{A}$ 中第 $i$ 列由向量 $\boldsymbol挣棕$ 替換得到的矩陣译隘。
定理 7（克拉默法則）
設(shè) $\boldsymbol{A}$ 是一個(gè)可逆的 $n \times n$ 矩陣，對(duì) $\mathbb{R}^{n}$ 中任意向量 $\boldsymbol洛心$ 固耘，方程 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol$ 的唯一解可由下式給出：
$x_i = \frac{det \;\boldsymbol{A}_i(\boldsymbol词身)}{det \;\boldsymbol{A}}, i=1,2,\cdots,n$
證：用 $\boldsymbol{a_1},\cdots, \boldsymbol{a_n}$ 表示 $\boldsymbol{A}$ 的列厅目，用 $\boldsymbol{e_1},\cdots, \boldsymbol{e_n}$ 表示 $n \times n$ 單位矩陣 $\boldsymbol{I}$ 的列。若 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol$ 损敷，則由矩陣乘法的定義有：
$\begin{aligned} \boldsymbol{A}\times \boldsymbol{I}_i(\boldsymbol{x}) &=\boldsymbol{A}\begin{bmatrix}\boldsymbol{e}_1 & \cdots & \boldsymbol{x} & \cdots & \boldsymbol{e}_n\end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} \boldsymbol{Ae}_1 & \cdots & \boldsymbol{Ax} & \cdots & \boldsymbol{Ae}_n \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \boldsymbol{a}_1 & \cdots & \boldsymbol户辫 & \cdots & \boldsymbol{a}_n \end{bmatrix} \\ &= \boldsymbol{A}_i(\boldsymbol)\end{aligned}$
由行列式的乘法性質(zhì)：
$(det \;\boldsymbol{A})(det \;\boldsymbol{I}_i(\boldsymbol{x}))=det \;\boldsymbol{A}_i(\boldsymbol嗤锉)$
左邊第二個(gè)行列式為 $x_i$ （沿第 $i$ 行作余因子展開），從而 $(det \;\boldsymbol{A})x_i=det \;\boldsymbol{A}_i(\boldsymbol墓塌)$ 瘟忱。由 $\boldsymbol{A}$ 可逆，從而 $det \;\boldsymbol{A} \neq 0$ 苫幢，于是得證访诱。

利用克拉默法則解方程組 $\begin{cases}3x_1 - 2x_2 = 6 \\ -5x_1 + 4x_2 = 8 \end{cases}$
解：視此方程組為 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol$ 型韩肝，利用上面引入的記號(hào)触菜。
$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -5 & 4 \end{bmatrix},\boldsymbol{A}_1(\boldsymbol)=\begin{bmatrix} 6 & 8 \\ -5 & 4 \end{bmatrix},\boldsymbol{A}_2(\boldsymbol哀峻)=\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$
由于 $det \;\boldsymbol{A}=3 * 4 - (-2) * (-5) = 2$ 涡相，故此方程組有唯一解。由克拉默法則剩蟀，有：
$\begin{aligned}x_1&=\frac{det \;\boldsymbol{A}_1(\boldsymbol催蝗)}{det \;\boldsymbol{A}}=\frac{24 + 16}{2}=20 \\ x_2&=\frac{det \;\boldsymbol{A}_2(\boldsymbol)}{det \;\boldsymbol{A}}=\frac{24 + 30}{2}=27 \end{aligned}$

最后編輯于：2019.03.13 20:30:41

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