深度學(xué)習(xí)中的Logistic Regression 1 ---一元線(xiàn)性回歸

前言

要理解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算女揭,我們應(yīng)該簡(jiǎn)化問(wèn)題蚤假,簡(jiǎn)化系統(tǒng)。所以我們先從只有一個(gè)神經(jīng)元的情況入手吧兔,另外為了繼續(xù)簡(jiǎn)化磷仰,我們將神經(jīng)元的輸出定以為二元輸出,即1或0 境蔼。這樣就將單一的神經(jīng)元學(xué)習(xí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二值邏輯回歸問(wèn)題(Binary Logistic Regression)

二值邏輯回歸問(wèn)題

為了更好的理解邏輯回歸灶平,我們先用數(shù)學(xué)歸納法的方式,從一元線(xiàn)性回歸開(kāi)始箍土,逐漸擴(kuò)展到n元回歸逢享。

一元線(xiàn)性回歸

一元線(xiàn)性回歸簡(jiǎn)而言之就是在二維平面的坐標(biāo)體系下,給定m個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)吴藻,即 (x^{(i)}, y^{(i)}), i \in Z, i \in [1,m] 瞒爬,找到一個(gè)最能代表這些數(shù)據(jù)點(diǎn)的直線(xiàn),即所有數(shù)據(jù)到達(dá)該直線(xiàn)的距離之和為最小调缨。為了用數(shù)學(xué)語(yǔ)言精確表達(dá)疮鲫,我們先定義以下數(shù)據(jù)集:

(x^{(1)}, y^{(1)}), (x^{(2)}, y^{(2)}) ... (x^{(m)}, y^{(m)})

我們的目標(biāo)就是找一條直線(xiàn):

y=\theta x + b

即最終通過(guò)這個(gè)數(shù)據(jù)集找到最優(yōu)的 \theta 和 b,為此我們需要定一個(gè)代價(jià)函數(shù)(Cost Function),為了表示上文的 “所有數(shù)據(jù)到達(dá)該直線(xiàn)的距離之和為最小”弦叶, 代價(jià)函數(shù)這樣定義:

J(\theta, b)=\frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{m}((\theta x^{(i)} + b) - y^{(i)})^2

通常在統(tǒng)計(jì)學(xué)中俊犯,解決一元線(xiàn)性回歸問(wèn)題,即為了讓上面的 J(\theta, b) 達(dá)到最小伤哺, 一般是用最小二乘法燕侠,即對(duì) J(\theta, b)\theta 和 b的偏導(dǎo)數(shù),當(dāng)偏導(dǎo)數(shù)等于0的時(shí)候立莉,建立方程組求出具體的 \theta 和 b的值绢彤,即

\left\{ \begin{aligned} \frac{\partial J(\theta, b)}{\partial \theta} & = 0 \\ \frac{\partial J(\theta, b)}{\partial b} & = 0 \\ \end{aligned} \right.

但是在這里為了給深度學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備,我們準(zhǔn)備用梯度下降法來(lái)求最佳的 \theta 和 b蜓耻,梯度下降法的好處是很方便編寫(xiě)代碼求出期望的參數(shù)茫舶。首先給\theta 和 b設(shè)定初始值,再給定一個(gè)學(xué)習(xí)比率(learning rate) \alpha, 通過(guò)以下遞歸式刹淌,經(jīng)過(guò)一定次數(shù)的迭代得到最終的期望的參數(shù):

\left\{ \begin{aligned} \theta := \theta - \alpha\frac{\partial J(\theta, b)}{\partial \theta}\\ \theta := \theta - \alpha\frac{\partial J(\theta, b)}{\partial b}\\ \end{aligned} \right.

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