上次說(shuō)了空間中心差分齐帚，時(shí)間顯格式情況下的FVM庐冯，這次說(shuō)一下時(shí)間隱格式情況下的處理。記得我在之前的內(nèi)容中說(shuō)過(guò)隱格式是無(wú)條件穩(wěn)定的慧妄，并用Von Neuemann定理給出過(guò)證明顷牌，并說(shuō)過(guò)隱格式不會(huì)出現(xiàn)違反物理意義的解，這里可以通過(guò)FVM的思想并通過(guò)對(duì)比顯格式在物理上給出最直觀的解釋塞淹。
上一次窟蓝，我做過(guò)的第三個(gè)假設(shè)中強(qiáng)調(diào)如果說(shuō)時(shí)間步長(zhǎng)無(wú)限小，那么就可以用其中一個(gè)時(shí)間點(diǎn)的值代替兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)之間的平均值饱普。
同樣觀察這個(gè)式子运挫，對(duì)于時(shí)間項(xiàng)，我們?nèi)蓚€(gè)時(shí)間點(diǎn)的平均值套耕，并將平均值賦給了前的面已知時(shí)間點(diǎn)谁帕，這種操作叫做時(shí)間項(xiàng)的顯式；相反如果我們賦值給了后面的時(shí)間節(jié)點(diǎn)冯袍，那么就叫做時(shí)間隱式格式匈挖，如下：
采用隱格式處理方程（1）
????可以得到：
同樣對(duì)于（2）式進(jìn)行系數(shù)代換；
仍然可以發(fā)現(xiàn)有意思的是：
物理意義和之前的顯格式是一樣的康愤。于是將（2）寫(xiě)成：
隱格式：
????顯格式：
觀察這個(gè)隱格式和顯格式p點(diǎn)在兩個(gè)不同時(shí)層上儡循，顯格式0時(shí)層P處的系數(shù)是有可能為負(fù)數(shù)的，如果為負(fù)值它的物理含義就是：0時(shí)層P點(diǎn)的溫度越高征冷，那么下一時(shí)層P點(diǎn)的溫度就會(huì)越低择膝，這很明顯是和物理現(xiàn)象相違背的；但是看隱格式检激，P處兩個(gè)時(shí)層的關(guān)系调榄，0
時(shí)層的系數(shù)只能是正數(shù)踊赠，不可能出現(xiàn)負(fù)數(shù)呵扛，所以這也說(shuō)明了P處兩個(gè)時(shí)層的關(guān)系只能是“正反饋關(guān)系”每庆，符合真實(shí)物理意義，這也就從物理規(guī)律上說(shuō)明了為什么隱格式?jīng)]有違背物理規(guī)律的解今穿。
同樣處理上一節(jié)的問(wèn)題：
中間的控制體缤灵，按照前面的結(jié)論有：
于是，得：
左邊的控制體：
于是蓝晒，有：
右側(cè)的控制體：
于是腮出，有：
于是，這個(gè)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了如下方程組問(wèn)題：
可以發(fā)現(xiàn)芝薇，隱格式的方程組和顯格式的很相似胚嘲，但是顯格式，我們等式左側(cè)全是未知洛二，右側(cè)全是已知馋劈；但是隱格式，等式左右都有未知量晾嘶。
可以通過(guò)一些《數(shù)值分析》的方法求解：
將原方程組化簡(jiǎn)為如下形式：
由于這是典型的三對(duì)角矩陣妓雾，利用三對(duì)角矩陣法最合適TDMA！
1.?TDMA算法
如果有了解過(guò)矩陣分解垒迂，那么對(duì)于這個(gè)TDMA就好理解了械姻，可能覺(jué)得好像沒(méi)學(xué)過(guò)？那么換個(gè)說(shuō)法机断，“三角追趕法”那應(yīng)該就熟悉一些了楷拳。這算法其實(shí)就是三角追趕法，而三角追趕法操作雖然有一絲絲的繁瑣吏奸，但是理解不難欢揖，如果是在《數(shù)值分析》考試的時(shí)候，完全可以利用Doolittle分解或者Crout分解的思路去分析苦丁，雖然貌似公式可能和教科書(shū)上的有多少出入浸颓，但奈何速度快啊，填空題啥的還是靠譜的旺拉。
TDMA：假設(shè)有這么一個(gè)三對(duì)角矩陣：
按照這樣的規(guī)律产上，可以總結(jié)出以下結(jié)論：
現(xiàn)在得到了每一個(gè)x的通式，最后要做的就是從xi開(kāi)始回代xi-1蛾狗，一直到x1.
于是直接用100個(gè)控制體去分析晋涣，結(jié)果如下圖:
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