001數(shù)學(xué)教育需要有心人
同樣是數(shù)學(xué)教師办斑，有的似乎從來沒有什么問題，好像一切盡在掌握中，于是除了日漸老去一切都不會再有改變乡翅；而有的就常常產(chǎn)生各種各樣的問題鳞疲，于是就思考、請教蠕蚜、讀書尚洽、研究，于是就逐漸能提出一些關(guān)鍵問題靶累、重要問題腺毫，慢慢地成了會思考、有積淀的優(yōu)秀教師挣柬，我知道的師前老師就是屬于后一種的高中數(shù)學(xué)教師.
002概念教學(xué)的“無痕化”傾向
復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)著名特級教師潮酒、正高級教師李秋明先生認(rèn)為，要想做好數(shù)學(xué)教學(xué)邪蛔，強(qiáng)化對數(shù)學(xué)這門學(xué)科自身的理解尤其重要急黎，并提倡：作為一個(gè)用心的教師，應(yīng)好好閱讀并梳理各年級教科書中的疑惑點(diǎn)侧到，并通過深入數(shù)學(xué)內(nèi)部尋找知識發(fā)展的過去叁熔、今生而展開研究.具體到尤為重要的概念教學(xué)，人民教育出版社章建躍博士曾總結(jié)過“一個(gè)定義床牧、三項(xiàng)注意、幾道例題遭贸、大量練習(xí)”的概念課教學(xué)際習(xí)戈咳。這種教學(xué)不講概念產(chǎn)生的背景，也不經(jīng)歷概念的概括過程壕吹，僅從“邏輯意義”列舉“概念要素”和“注意事項(xiàng)”著蛙，忽視“概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法”，導(dǎo)致學(xué)生難以達(dá)成對概念的實(shí)質(zhì)性理解耳贬，無法形成相應(yīng)的“心理意義”沒有“過程”的教學(xué)因?yàn)槿狈?shù)學(xué)思想方法為紐帶踏堡，概念間的關(guān)系無法認(rèn)識，聯(lián)系也難以建立咒劲，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)缺乏整體性顷蟆，其可利用性、可辨別性和穩(wěn)定性等功能指標(biāo)就會大打折扣腐魂，總之帐偎，上述教學(xué)沒有為學(xué)生留下相應(yīng)的“思維痕跡”和“心理痕跡”，筆者姑且稱其為“無痕化”教學(xué)蛔屹，究其原因削樊，表面來看是課時(shí)所限與急功近利的分?jǐn)?shù)壓力所迫，因?yàn)橄鄬^程教學(xué)，“告訴+模仿十大量練習(xí)”式教學(xué)更容易收獲好的分?jǐn)?shù)漫贞，但筆者認(rèn)為甸箱，從根本上來看，正如李秋明先生所說迅脐，教師對概念理解力的不足才是影響他們無法做到“緩緩過渡芍殖、淺入深出、概括提煉仪际、駐足細(xì)品”的關(guān)鍵原因.這啟發(fā)我們：對概念的深入理解是教師專業(yè)發(fā)展的又一著力點(diǎn).
003唯物辯證法認(rèn)為围小，整體與部分是辯證統(tǒng)一的.一方面，整體居于主導(dǎo)地位树碱，統(tǒng)率著部分肯适，具有部分不具備的功能，部分離不開整體成榜，要求我們樹立全局觀念框舔，立足整體，統(tǒng)籌全局赎婚，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)目標(biāo).另一方面刘绣，整體由部分組成，部分制約整體挣输，關(guān)鍵部分的功能及其變化甚至對整體的功能起決定作用.要求我們重視部分的作用纬凤，搞好局部，用局部的發(fā)展推動(dòng)整體的發(fā)展.
每一部分及各部分之間的相互連接關(guān)系呈現(xiàn)出整體的結(jié)構(gòu).
讓我們把思維的視角放大一下撩嚼，從對解題的思考轉(zhuǎn)向?qū)Τ醯葦?shù)學(xué)知識乃至數(shù)學(xué)這門科學(xué)的思考.當(dāng)然停士，有些思考可能仍停留于“感受、體會”這個(gè)層面完丽，尚需更多對此感興趣的讀者加以補(bǔ)充恋技、完善、提升.
在新一輪課改中逻族，“結(jié)構(gòu)”這個(gè)概念受到廣泛重視.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》指出：“數(shù)學(xué)知識具有一定的結(jié)構(gòu)蜻底，這種結(jié)構(gòu)形成了數(shù)學(xué)知識所特有的邏輯序”，“所有的數(shù)學(xué)知識只有通過學(xué)生自身的'再創(chuàng)造'活動(dòng)聘鳞，才能納入其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中薄辅，才可能稱為有效的和用得上的知識”；北京師范大學(xué)曹才翰教授指出“只有當(dāng)學(xué)生獲得了結(jié)構(gòu)化的知識時(shí)抠璃，才能對知識形成深刻的长搀、真正的理解”；華東師范大學(xué)葉瀾教授主持研究了15年的“新基礎(chǔ)教育”更把其“長程兩段”教學(xué)策略的根本特征概括為“學(xué)結(jié)構(gòu)鸡典、用結(jié)構(gòu)”源请，
這些論述對我們的啟發(fā)是：在學(xué)好數(shù)學(xué)各章節(jié)知識的基礎(chǔ)上，應(yīng)時(shí)常通過思考尋找它們彼此之間的聯(lián)系，從而構(gòu)建起相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)及自己對這些知識理解的認(rèn)知結(jié)構(gòu)谁尸，從知識運(yùn)用的角度看舅踪，我們可以較為通俗地把“結(jié)構(gòu)方法稱為“模型方法”：模擬某類事物結(jié)構(gòu)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，就是模擬該類事物的一種“數(shù)學(xué)模型”良蛮，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)各種數(shù)學(xué)模型抽碌，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的活動(dòng)就是“數(shù)學(xué)建模”活動(dòng)决瞳。
歷史上货徙，哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家很早就試圖把數(shù)學(xué)統(tǒng)一起來，當(dāng)然皮胡，那時(shí)數(shù)學(xué)要比今天簡單得多痴颊，在畢達(dá)格拉斯時(shí)代，只有算術(shù)和幾何.而今天的數(shù)學(xué)是由無數(shù)枝繁葉茂的大樹構(gòu)成的森林.它擁有十多個(gè)大的分科：代數(shù)屡贺、幾何蠢棱、數(shù)論、函數(shù)論甩栈、概率論泻仙、運(yùn)籌學(xué)、計(jì)算方法量没、數(shù)理邏輯玉转、圖論、微分方程殴蹄、泛函分析冤吨、拓?fù)洹⒛：龜?shù)學(xué)……這些分科又分為多達(dá)數(shù)百個(gè)分支
畢達(dá)格拉斯做了第一次嘗試饶套，試圖把數(shù)學(xué)統(tǒng)一于自然數(shù)，但這次嘗試由于無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)而以失敗告終垒探，在以后相當(dāng)長的時(shí)間內(nèi)妓蛮，人們寄希望于幾何，希望把數(shù)學(xué)統(tǒng)一于歐幾里得幾何.最后發(fā)現(xiàn)圾叼，連幾何也是不統(tǒng)一的（出現(xiàn)了所謂的非歐幾何等）,人們的希望又破滅了.萊布尼茲蛤克、弗雷格和羅素都希望把數(shù)學(xué)統(tǒng)一于邏輯，使龐大的夷蚊、復(fù)雜的构挤、內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)歸結(jié)為通俗的、直觀的惕鼓、易于洞察的邏輯筋现，結(jié)果導(dǎo)出了極不通俗、極為復(fù)雜而令人難以洞察的理論和可化歸公理.直覺主義派的布勞威爾和形式主義派的希爾伯特，又希望數(shù)學(xué)統(tǒng)一于算術(shù).結(jié)果矾飞，連算術(shù)也不是統(tǒng)一的——這是哥德爾定理的推論一膨，在經(jīng)過這些試圖尋求把數(shù)學(xué)統(tǒng)一起來的努力都失敗之后，數(shù)學(xué)反倒變得更加生機(jī)勃勃洒沦，更加豐富多彩豹绪，更加多樣化了.
法國結(jié)構(gòu)主義數(shù)學(xué)家團(tuán)體“布爾巴基”創(chuàng)造了極有價(jià)值的研究成果：整個(gè)數(shù)學(xué)可概括為“代數(shù)結(jié)構(gòu)”“序結(jié)構(gòu)”“拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)”三種母結(jié)構(gòu)（后人又補(bǔ)充了測度結(jié)構(gòu)）,各門類數(shù)學(xué)知識無非是這三種結(jié)構(gòu)之一，或其子結(jié)構(gòu)申眼，或其綜合瞒津，提出“數(shù)學(xué)就是研究結(jié)構(gòu)的”，其中括尸，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是用來描述連續(xù)性巷蚪、分離性、附近姻氨、邊界這些空間性質(zhì)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)钓辆，恩格斯說：“數(shù)學(xué)是研究物質(zhì)及其運(yùn)動(dòng)的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué).”事實(shí)上，布爾巴基學(xué)派提出的這幾種結(jié)構(gòu)恰好都是現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系與形式在我們頭腦中的反映肴焊；代數(shù)結(jié)構(gòu)一運(yùn)算一來自數(shù)量關(guān)系前联；序結(jié)構(gòu)一先后一來自時(shí)間觀念；拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)一連續(xù)性一來自空間經(jīng)驗(yàn)娶眷。
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的實(shí)數(shù)系似嗤，它有加減與乘除，這是兩種互相聯(lián)系的代數(shù)結(jié)構(gòu)届宠；它有大小之分烁落，這是序結(jié)構(gòu)；它的連續(xù)性（如只有實(shí)數(shù)才能填滿整條數(shù)軸豌注，有理數(shù)不具有這個(gè)特點(diǎn)）體現(xiàn)了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).
