? ? ? 淺談數(shù)學(xué)方法論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的實踐? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 問 志 祥

(云南省曲靖市第一小學(xué)云南曲靖655000）? ? ? ? 摘要：數(shù)學(xué)方法論主要是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律菲嘴，數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)励堡，文明與創(chuàng)造等法則的一門學(xué)科卦尊。數(shù)學(xué)方法論給教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中提供了理論指導(dǎo)，通過對它的學(xué)習(xí)有利于教師由“經(jīng)驗型教學(xué)”轉(zhuǎn)向“理論指導(dǎo)下的自覺實踐”腾窝，以數(shù)學(xué)思維方法的分析去帶動和促進具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的教學(xué)。數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識居砖，是數(shù)學(xué)知識的精髓虹脯。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)方法論? 思想方法? 數(shù)學(xué)教學(xué)? 實踐

一、問題的提出

　? 無論從學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)方面和教師教學(xué)實踐方面都需要教師精通數(shù)學(xué)方法論奏候，只有熟知了這些方法論才能開展有效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)循集。隨著課程改革的進行，對于我們數(shù)學(xué)教學(xué)也提出了更高的要求蔗草≈渫《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（試驗稿）》在總體目標重明確要求學(xué)生能夠“獲得適應(yīng)未來社會和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識（包括數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗）以及基本的數(shù)學(xué)思想法和必要的應(yīng)用技能咒精。數(shù)學(xué)方法論主要是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律镶柱、數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)造等法則的一門新興學(xué)科模叙。數(shù)學(xué)方法論很大程度上可以被說成對于數(shù)學(xué)思想（維）方法的研究歇拆，其目標就是幫助人們學(xué)會數(shù)學(xué)的思維∠蚵ィ或者說查吊，如何能夠按照數(shù)學(xué)家的思維模式去進行思維。通過對具體數(shù)學(xué)事例的研究實現(xiàn)對真實思維過程的“理性重建”湖蜕，獲得各個方法論原則的深刻體會逻卖，并使之真正成為“可以理解的”“可以學(xué)到手的”和“能夠加以推廣應(yīng)用的”。數(shù)學(xué)方法論對于數(shù)學(xué)教學(xué)的積極意義主要在于：以數(shù)學(xué)方法論為指導(dǎo)進行具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的教學(xué)有助于我們將數(shù)學(xué)課“講活”“講懂”“講深”昭抒。因此评也，日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中加強數(shù)學(xué)思想方法的滲透炼杖，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維顯得更加重要。在教學(xué)過程中教師要充分認識到數(shù)學(xué)方法論的重要性,授之于“漁”而非授之于“魚”盗迟，重視學(xué)生正確的科學(xué)的思維方法的培養(yǎng)坤邪，從根本上提高學(xué)生的解題能力。本文通過闡述數(shù)學(xué)方法論的概念及意義罚缕，列舉數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)解題中的幾個應(yīng)用艇纺，來說明數(shù)學(xué)方法論的的重要性。

二邮弹、數(shù)學(xué)方法論對數(shù)學(xué)教學(xué)的意義

2．1數(shù)學(xué)思想方法是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的根本途徑.

數(shù)學(xué)課程改革強調(diào)要重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識黔衡，不僅要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能，而且還要掌握數(shù)學(xué)的思想方法.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)腌乡，是分析數(shù)學(xué)處理數(shù)學(xué)解決數(shù)學(xué)問題的方針和策略盟劫，是學(xué)生進行探究性學(xué)習(xí)的工具。方法論的數(shù)學(xué)教學(xué)使教學(xué)真正“授之于漁而非授之于魚”讓學(xué)生由“學(xué)會”變成“會學(xué)”与纽，為其今后終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).侣签。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)能力的核心要素，只有抓住這一要素才能從根本上提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力急迂。數(shù)學(xué)教材以及數(shù)學(xué)知識可以變動影所，但不管怎樣，數(shù)學(xué)思想方法總能發(fā)揮它的作用.在教學(xué)中袋毙，若僅僅簡單地進行數(shù)學(xué)知識的堆積是不可能培養(yǎng)出學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的型檀，只有引導(dǎo)學(xué)生真正理解和掌握了數(shù)學(xué)思想方法，才能使學(xué)生在運用數(shù)學(xué)思想方法的過程中駕馭數(shù)學(xué)顯示能力听盖。所以數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵就在于形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法.

2．2數(shù)學(xué)課堂教學(xué)現(xiàn)代化的改革要求

　　現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂不在是單純的“傳授式”教學(xué)胀溺，在新課標中明確指出：“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者皆看、引導(dǎo)者和合作者仓坞。”意在進一步改變數(shù)學(xué)的教學(xué)模式腰吟，拓寬學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中的空間无埃，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。而且把“具有解決問題的能力”作為有“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的一個重要的標志毛雇。而數(shù)學(xué)方法論在教學(xué)實踐中以“問題解決”為中心組織教學(xué)嫉称，強調(diào)“數(shù)學(xué)的思維”,把問題作為載體，將數(shù)學(xué)思維方法的分析滲透到具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的教學(xué)中灵疮，使學(xué)生真正看到思維的力量织阅，并使之成為可以理解的、可以學(xué)到手的和能夠加以推廣應(yīng)用的震捣。這一教學(xué)理論為我們從更深的層次認識數(shù)學(xué)教學(xué)提供了理論依據(jù)荔棉，值得我們?nèi)ド钊雽W(xué)習(xí)研究闹炉。因此，為了讓教師更好適應(yīng)和駕馭課堂教學(xué)润樱，必須掌握一定的數(shù)學(xué)方法論渣触。

2．3數(shù)學(xué)方法論的教學(xué)使學(xué)生更容易理解學(xué)科內(nèi)容.

心理學(xué)認為：如果知識結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)觀念在統(tǒng)攝和概括的水平上高于新知識，那么這時利用認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)觀念學(xué)習(xí)新知識便成為下位學(xué)習(xí).學(xué)生在掌握了一些數(shù)學(xué)思想方法后再去學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識壹若，就屬于下位學(xué)習(xí)嗅钻，這樣的學(xué)習(xí)更具穩(wěn)定性，有利于新知識的學(xué)習(xí)舌稀，新知識就能夠順利納入到已有的認知結(jié)構(gòu)中去啊犬，而數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)形成的核心.當學(xué)生有了一定的數(shù)學(xué)思想方法后才能更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容，挖掘數(shù)學(xué)體系內(nèi)在的深層的意義壁查，才能對數(shù)學(xué)知識做出深刻的解釋和理解.

三、數(shù)學(xué)方法論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的實踐案例

在數(shù)學(xué)方法論中剔应，重點闡述了觀察睡腿、聯(lián)想、嘗試峻贮、試驗席怪、歸納猜想、類比推廣纤控、模擬挂捻、化歸、公理化方法船万、數(shù)學(xué)悖論等數(shù)學(xué)論證方法刻撒，數(shù)學(xué)與物理方法，數(shù)學(xué)智力的開發(fā)與創(chuàng)新意識的培養(yǎng)等耿导。如果把這些理論和我們的實踐教學(xué)活動聯(lián)系起來將使我們的數(shù)學(xué)課更加有數(shù)學(xué)味声怔，幫助學(xué)生領(lǐng)會內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想方法，認識數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征和應(yīng)用價值舱呻。

3．1數(shù)學(xué)方法論在解題教學(xué)中應(yīng)用

數(shù)學(xué)大師波利亞曾說過：“良好的組織使得所提供的知識易于用上醋火，這甚至可能比知識的廣泛性更為重要。至少在有些情況下箱吕，知識太多可能反而成了累贅芥驳，可能會妨礙解題者看出一條簡單的途徑，而良好的組織則有利而無弊茬高≌籽”數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效開展離不開教師的合理引導(dǎo)，教學(xué)中突出以問題為主線雅采，啟迪學(xué)生思考爵憎，使學(xué)生在課堂中深刻的感受如何發(fā)現(xiàn)問題慨亲、提出問題、分析問題宝鼓、解決問題的整個過程刑棵，理解和認識發(fā)生和發(fā)展的必然的因果關(guān)系，從而領(lǐng)悟到分析愚铡、思考和解決問題的數(shù)學(xué)思想方法蛉签，最終內(nèi)化為自身知識結(jié)構(gòu)的重要部分。

3．2數(shù)學(xué)方法論在概念教學(xué)中應(yīng)用

一位數(shù)學(xué)家說過：“一堆沒有親身體驗和視覺形象所支持的概念沥寥、定義不能開發(fā)智力碍舍，而只能關(guān)閉思路∫匮牛”概念的形成有兩種途徑：一種是直接從客觀事物的空間形式或數(shù)量關(guān)系的反映而得到的片橡，另一種是在已有數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多層次的抽象概括而成淮野。而概念的形成本身有著一定的發(fā)展過程捧书，凝聚著前人探索的智慧。在概念再創(chuàng)造過程種骤星，應(yīng)對學(xué)生的思維給予暴露的機會经瓷，充分經(jīng)歷概念形成的兩個階段，從具體到抽象洞难，再從抽象到具體舆吮，有利于學(xué)生對概念的自我意識和自我反省。

3．3數(shù)學(xué)方法論對提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的作用

著名數(shù)學(xué)家克萊因認為“數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南”队贱。數(shù)學(xué)是一門使人創(chuàng)造性思維嚴格化和理論體系嚴謹化的科學(xué)色冀。數(shù)學(xué)方法論強調(diào)用演繹與推理的理念，來論證概念間轉(zhuǎn)換的恒等變化露筒，從中體現(xiàn)準確呐伞、簡潔地揭示有條件到結(jié)論嚴密的邏輯關(guān)系。而缺乏演繹與推理的人慎式，會犯“想當然”的錯誤伶氢。歷史能揭示出數(shù)學(xué)知識的顯示、來源與應(yīng)用瘪吏，它告訴我們數(shù)學(xué)知識當時如何出現(xiàn)在人們頭腦中的——即如何產(chǎn)生的癣防。

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

時。

解析：①當時掌眠，

左邊蕾盯，右邊，左邊? = 右邊蓝丙，所以等式成立级遭。

②假設(shè)時等式成立望拖，即有

，

則當時挫鸽，

说敏，

所以當時，等式也成立丢郊。

由①盔沫，②可知，對一切等式都成立枫匾。

這就運用了數(shù)學(xué)方法論中的歸納法架诞。

例 2? 雞兔同籠，籠中有頭50干茉，有足140谴忧，問雞、兔各有幾只角虫？

? ? 分析:化歸的實質(zhì)是待解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題俏蛮，這里包含了轉(zhuǎn)化的思考，可以先對已知成分進行變形上遥。每只雞有2只腳，每只兔有4只腳争涌，這是問題中不言而喻的已知成分》鄢現(xiàn)在對問題中的已知成分進行變形：“一聲令下”，要求每只雞懸起一只腳（呈金雞獨立狀）亮垫，又要求每只兔懸起兩只前腳（呈玉兔拜月狀）模软。那么，籠中仍有頭50饮潦，而腳只剩下70只了燃异，并且，這時雞的頭數(shù)與足數(shù)相等继蜡，而兔的足數(shù)與兔的頭數(shù)不等——有一頭兔回俐，就多出一只腳，現(xiàn)在有頭50稀并，有足70仅颇，這就說明有兔20頭，有雞30頭碘举。

這就運用了數(shù)學(xué)方法論中的化歸法忘瓦。

例3? 假設(shè)我們可以沿地球赤道緊緊地拉一根繩子，打上結(jié)引颈，此時耕皮，繩子長度與赤道相等境蜕。然后把繩子剪開，加長10米凌停，這樣繩子已不緊扣在赤道上粱年，產(chǎn)生了縫隙，問該縫隙有多少大苦锨？

解：設(shè)地球赤道為L,地球的半徑為R,縫隙為a

　　實際情況讓學(xué)生大吃一驚逼泣，縫隙居然有1.59米，大多說學(xué)生都可以從縫隙中走過舟舒。數(shù)學(xué)教育能培養(yǎng)正確的認知態(tài)度拉庶，使主觀想象符合客觀實際，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹求實的個性品質(zhì)秃励。演繹與推理的理念氏仗，使人克服想當然的錯誤，正確認識自己夺鲜，正確認識世界皆尔，這是學(xué)生走向社會的必備素質(zhì)。同時數(shù)學(xué)方法論在教學(xué)中特別指出數(shù)學(xué)史的重要性币励。著名數(shù)學(xué)家克萊因認為“數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南”慷蠕。歷史能揭示出數(shù)學(xué)知識的顯示、來源與應(yīng)用食呻，它不僅告訴我們數(shù)學(xué)知識當時如何出現(xiàn)在人們頭腦中的——即如何產(chǎn)生的流炕。

例4 將8個數(shù)字從左至右排成一行，從第三個數(shù)開始仅胞，每個數(shù)都恰好等于前面兩個數(shù)字之和每辟。如第七個數(shù)字和第八個數(shù)字分別是81，131干旧，求第一個數(shù)字是多少渠欺？

解: 第六個數(shù)字是：131－81＝50

第五個數(shù)字是：81－﹙131－81﹚＝31

第四個數(shù)字是：第六個數(shù)字減去第五個數(shù)字131－81－[81－(131－81﹚]＝19

第三個數(shù)字是：第五個數(shù)字減去第四個數(shù)字[81－﹙131－81﹚]－131－81－[81－﹙131－81﹚]＝12

第二個數(shù)字是：第四個數(shù)字減去第三個數(shù)字﹛131－81－[81－﹙131－81﹚]﹜－﹛[81－﹙131－81﹚]－131－81－[81－﹙131－81﹚]﹜＝8

所以第一個數(shù)字是：12－8＝4

這就運用了數(shù)學(xué)方法論中的簡單性原則。

四椎眯、數(shù)學(xué)方法論在教學(xué)實踐中注意的問題

4．1注重滲透的循序漸進和逐步積累

　　在教學(xué)中首先要強調(diào)解決問題以后的“反思”挠将。因為在一個過程中提煉出來的數(shù)學(xué)思想方法，對學(xué)生來說才是易于體會盅视、易于接受的捐名；其次，要注意滲透的長期性闹击，應(yīng)該看到镶蹋，對于數(shù)學(xué)思想方法的滲透不是一朝一夕就能見到學(xué)生數(shù)學(xué)能力提高的，需要一個過程。數(shù)學(xué)思想方法必須經(jīng)過循序漸進的滲透和反復(fù)訓(xùn)練贺归，才能使學(xué)生真正地有所領(lǐng)悟淆两。

4．2關(guān)注學(xué)生最近發(fā)展區(qū)和層次性

　　在貫徹數(shù)學(xué)思想方法地教學(xué)中，要關(guān)注學(xué)生的最進發(fā)展區(qū)拂酣，盡可能幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法并根據(jù)學(xué)生的差異秋冰，采取不同的思想方法解決問題，幫助學(xué)生完成學(xué)習(xí)遷移婶熬。教育的基本任務(wù)是找到這樣的策略剑勾，既考慮到個別的差異，又能促進個體最充分地發(fā)展赵颅。因此虽另，教師盡可能設(shè)計有利于學(xué)生發(fā)展的教學(xué)環(huán)節(jié)，如在教案設(shè)計饺谬，課堂探究等過程中捂刺，都應(yīng)該注意不同層次的學(xué)生能不同程度的領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想方法，使全體學(xué)生盡量使用數(shù)學(xué)思想方法分析問題募寨、解決問題的思維策略族展，促成其最近發(fā)展區(qū)的形成。最終實現(xiàn)使“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展“斡ィ現(xiàn)代教育理論及心理學(xué)發(fā)展成果指出：人的智能是多元的仪缸；知識是個體通過與其環(huán)境的相互作用作用后獲得的信息及其組織；要用開放列肢、多元的眼光看待世界腹殿，為人充分展示生命的本真提供舞臺±椋基于這些理論，我們應(yīng)該從不同的視角刻炒、不同的層面去看待每個學(xué)生决采，善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生各自的優(yōu)勢智能領(lǐng)域，并運用評價促進學(xué)生將其優(yōu)勢智能領(lǐng)域的優(yōu)秀品質(zhì)想其他智能領(lǐng)域遷移坟奥；應(yīng)該注重對學(xué)生建構(gòu)知識時采用的策略或方法的評價树瞭，把評價作為教學(xué)的一個組成部分；應(yīng)該采用師對生爱谁、生對生及學(xué)生自我評價相結(jié)合的多元評價機制晒喷。

4．3提高教師的自身認識和可行性

　? 古人云：“師者，人之楷模也”访敌，意思是教師是學(xué)生的楷模凉敲，對學(xué)生起著潛移默化的影響。前蘇聯(lián)教育家烏申斯基說：“教師的思想道德、人格對學(xué)生的心靈上的影響是任何教科書爷抓，任何道德箴言势决，任何懲罰和獎勵都不能代替的一種力量”。以自己高尚的品質(zhì)蓝撇、良好的修養(yǎng)與人格去感化果复、影響所教育對象，做到以情感人渤昌，以理服人虽抄，達到理想的教育目的。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)必須通過具體的教學(xué)過程加以實現(xiàn)独柑，通常以具體的知識內(nèi)容為載體迈窟，必須把握好數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的契機——概念的形成，結(jié)論推導(dǎo)的過程群嗤，方法思考的過程菠隆，思路探索的過程，規(guī)律揭示的過程等狂秘。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要注意有機結(jié)合骇径、自然滲透、依勢而行者春、潛移默化的啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟蘊含于數(shù)學(xué)知識中各種數(shù)學(xué)思想方法破衔。教學(xué)理論應(yīng)用于教學(xué)實踐的過程，決不是機械地對號入座钱烟，這是對教師教學(xué)智慧的一種考驗晰筛。

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