1.三維空間下的線性變換
上篇筆記講了向量與矩陣在二維空間的幾何含義，這篇從三維空間說起。
相比于二維空間下的線性變換，三維空間多考慮了一個基向量。
三維空間進行線性變換可以變換為一個三維空間揽趾、一個平面、一條線苛骨、甚至是原點篱瞎。
2.行列式
行列式是用來度量變換前后空間改變的比例大小。我們通常以基向量構成的平面或立體為觀察點智袭，只需觀察變換前后基向量構成的空間大小變化情況奔缠，就能得出行列式的值。
行列式的值可正可負吼野，也可為0校哎。
取基向量為，
瞳步，則它們圍成的正方形面積為1闷哆。若變換后的基向量的相對順序不改變，即
仍在
的右邊单起，那么行列式為正抱怔，反之為負。
2.1 行列式為0
明白了行列式的幾何意義嘀倒，行列式為0就很容易理解了屈留。線性變換將空間面積/體積壓縮至0局冰。
2D空間中，det=0意味著空間被壓縮成了一條直線或者是一個點灌危。
3D空間中康二，det=0意味著空間被壓縮成了一個平面、直線勇蝙、或者是一個點沫勿。
以方程組來闡述：
向量經(jīng)過一個線性變換
變成了向量
。
1.如果將此3維空間壓縮到至更低維度味混，則相當于行列式為0产雹，此時
沒有逆變換
，因為線性變換后空間變成了平面翁锡、直線蔓挖、或者是一個點。
上述情況下盗誊，都不能通過逆變換將其變?yōu)樵瓉淼?D空間时甚。
但可能存在解，因為
恰好處于變換后的平面、直線上梨熙，甚至于
為零向量开镣。
變換后空間的維度被稱為此矩陣的秩，因此如果不是滿秩咽扇，則矩陣的列必然線性相關邪财。因為變換后的某些基向量沒有為張成空間做出貢獻。我們用列空間來描述變換后基向量張成的空間质欲，那么秩更精確的定義就是列空間的維數(shù)树埠。
只要變換后不是滿秩，那么說明變換壓縮了空間嘶伟，并且有一系列向量變換成了零向量怎憋，這類向量張成的空間我們稱之為零空間——或者叫做核。即齊次線性方程組的解就是核九昧。
2.2 行列式不為0
表明變換為滿秩绊袋。此時空間中只有零向量不進行變換。其他所有向量都進行了變換铸鹰。變換存在逆變換癌别，我們可以通過計算逆變換來求解方程組。
逆變換的性質如下：
對空間應用一個
代表的變換蹋笼，然后應用一個
代表的逆變換展姐，空間無任何變化躁垛。
求解形如的非齊次線性方程組時，如果方程組有解(行列式不為0)圾笨，那么一定存在唯一一個
使得線性變換后與
重合缤苫。
3.非方陣
之前我們針對的都是方陣，即行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣墅拭，如果換成非方陣活玲，情況有什么不同呢？
我們往往要針對不同維度的變量進行轉換谍婉，或者是降維舒憾，或者是升維，一個很常見的應用就是神經(jīng)網(wǎng)絡穗熬，信息在不同維度間傳遞镀迂，這就涉及到利用非方陣來進行線性變換。
如圖所示：
唤蔗，
探遵，要使
，則
的非方陣妓柜。
以幾何意義來看箱季，其基向量變成了三維，但
的一組基向量只包含2個向量棍掐。因此
所代表的線性變換是把空間中的向量從二維變成了三維藏雏，但是其基向量張成的空間維數(shù)仍為2，也就是說其秩為2作煌，與變換前基向量張成的空間維數(shù)一樣掘殴，因此這個非方陣仍然是滿秩。
4.參考
主要內(nèi)容來源于b站up主@3Blue1Brown的線性代數(shù)的本質
