大家好，歡迎大家一起來(lái)探索勾股數(shù)的神奇規(guī)律：

首先展示兩組數(shù)據(jù)：

（1）第一組數(shù)據(jù)? ? ? （2）第二組數(shù)據(jù)

? ? ? ? ? 3懈糯，4，5单雾，? ? ? ? ? ? ? ? ? 6赚哗，8，10

? ? ? ? ? 5铁坎，12蜂奸，13? ? ? ? ? ? ? ? ? 8，15硬萍，17

? ? ? ? ? 7扩所，24，25? ? ? ? ? ? ? ? ? 10朴乖，24祖屏，26

? ? ? ? ? 9，40买羞，41? ? ? ? ? ? ? ? ? 12袁勺，35，37

? ? ? ? ? 11畜普，60期丰，61? ? ? ? ? ? ? ? 14，48吃挑，50

? ? ? ? ? 13钝荡，84，85? ? ? ? ? ? ? ? 16舶衬，63埠通，65

? ? ? ? ? 15，110逛犹，111? ? ? ? ? ? 18端辱，80梁剔，82

一、引

根據(jù)題目的提示舞蔽，我們可以發(fā)現(xiàn)這些數(shù)都符合勾股定理（a2+b2=c2）荣病，并且均為正整數(shù)，所以上述所有數(shù)組都是勾股數(shù)喷鸽。

下面讓我們探索勾股數(shù)的規(guī)律吧?(?^o^?)?

二众雷、勾股數(shù)的規(guī)律

1、我們先觀察第一組數(shù)據(jù)做祝。首先發(fā)現(xiàn)其最小值為奇數(shù)砾省，而另外兩數(shù)是連續(xù)正整數(shù)。表面上似乎只能看到這么多混槐，我們繼續(xù)深入编兄。

我們用乘方進(jìn)行嘗試。先給暫時(shí)沒(méi)看出關(guān)系的最小值進(jìn)行乘方声登。

32=9狠鸳，52=25，72=49

大家有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)悯嗓，在第一列數(shù)據(jù)中件舵，每組數(shù)的較大兩數(shù)之和正好等于這組數(shù)最小值的平方。即：

32=9=4+5脯厨，52=25=12+13铅祸，72=49=24+25

我們?cè)僭噹捉M進(jìn)行驗(yàn)證。

92=81=40+41合武，112=121=60+61

目前看來(lái)這個(gè)規(guī)律是正確的临梗。那么我們?cè)俅巫⒁獾介_始時(shí)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：第一列中每組數(shù)較大兩數(shù)差為一。那么總結(jié)這兩點(diǎn)就可初步發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：

? ? 一個(gè)正奇數(shù)(除1外)與兩個(gè)和等于此正奇數(shù)平方的連續(xù)正整數(shù)是一組勾股數(shù)稼跳。

? ? 設(shè)n為一正奇數(shù)(n≠1)盟庞，那么以n為最小值的一組勾股數(shù)可以是: n，(n2-1)/2汤善，(n2+1)/2

當(dāng)然什猖，上面數(shù)據(jù)再多也只是特例，讓我們用代數(shù)式進(jìn)行普遍性的驗(yàn)證：

? [(n2+1)/2]2 - [(n2-1)/2]2

=(n2+1)2/4 - (n2-1)2/4

=[n?+2n2+1-n?+2n2-1]/4

=n2 （勾股定理逆定理）

驗(yàn)證成功红淡，上述規(guī)律正確??o(^o^)o

2卸伞、第一組數(shù)據(jù)探索出了規(guī)律，我們繼續(xù)探索第二組數(shù)據(jù)锉屈。

我們?nèi)绶ㄅ谥疲紫劝l(fā)現(xiàn)第二組數(shù)據(jù)均以偶數(shù)為最小數(shù)垮耳，而另外兩數(shù)是差為2的正整數(shù)颈渊。似乎也只能看出這么多遂黍，那我們繼續(xù)用最小數(shù)乘方對(duì)比另外兩數(shù)之和進(jìn)行嘗試。

62=36俊嗽，? ? 82=64雾家，? ? ? 102=100

10+8=18，15+17=32绍豁，24+26=50

這次好像是后兩數(shù)之和的二倍等于最小數(shù)平方芯咧？我們進(jìn)行更多嘗試。

122=144=2(35+37)竹揍，142=196=2(48+50)

初步看來(lái)規(guī)律正確敬飒，那我們還是用代數(shù)式驗(yàn)證一下普遍性吧：

? ? 設(shè)m為一正偶數(shù)，那么以m為最小值的一組勾股數(shù)可以是：

? ? ? m芬位，(m2/4)-1无拗，(m2/4)+1

驗(yàn)證:[(m2/4)+1]2-[(m2/4)-1]2

? ? ? =[(m2/4)2+m2+1]-[(m2/4)2-m2+1]

? ? ? =(m2/4)2+m2/2+1-(m2/4)2+m2/2-1

? ? ? =m2

驗(yàn)證成功，規(guī)律正確?? 這點(diǎn)可總結(jié)為以下規(guī)律：

? ? 當(dāng)一個(gè)正偶數(shù)為最小值時(shí)昧碉，它(除0,2和4)與兩個(gè)和之二倍等于此正偶數(shù)平方的差為一的正整數(shù)是一組勾股數(shù)英染。

? ? 設(shè)m為一正偶數(shù)，那么以m為最小值(m≠0,m≠2,m≠4)的一組勾股數(shù)可以是：m被饿，(m2/4)-1四康，(m2/4)+1

3、規(guī)律總結(jié)完了嗎狭握？當(dāng)然沒(méi)有闪金。還有一些特殊的勾股數(shù)需要我們探索⊙v⊙

下面我們看這些數(shù)：

①12，16哥牍，20? ? ②18毕泌，24，30

首先根據(jù)勾股定理可以判斷它們都是勾股數(shù)嗅辣。但是仔細(xì)觀察撼泛，我們發(fā)現(xiàn)它們每組的三個(gè)數(shù)都是一組勾股數(shù)的正整數(shù)倍。

3澡谭，4愿题，5分別乘4得12，16蛙奖，20

6潘酗，8，10分別乘3得18雁仲，24仔夺，30

一組勾股數(shù)的正整數(shù)倍也是一組勾股數(shù)嗎？我們還是用代數(shù)式驗(yàn)證一下：

? ? 設(shè)a2+b2=c2

? ? 則各項(xiàng)乘n倍后為na2+nb2=nc2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n(a2+b2)=nc2

符合等式的基本性質(zhì)攒砖，規(guī)律成立??我們可以由此進(jìn)行總結(jié)：

一組勾股數(shù)的正整數(shù)倍還是一組勾股數(shù)缸兔。

三日裙、結(jié)

ps：本次探索成果主要用于尋找勾股數(shù)，而用其逆命題判斷勾股數(shù)時(shí)可能會(huì)有覆蓋不完全現(xiàn)象(如20惰蜜，21昂拂，29)，有興趣的小伙伴可以繼續(xù)深入吖抛猖。

? ? ? ? 那么本次關(guān)于勾股數(shù)神奇規(guī)律的探索就至此告一段落了格侯，一起期待下個(gè)課題吧。

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