曼海姆定理中使用了一種特殊的圓啡莉，有人稱其“偽旁切圓”.為什么叫偽旁切圓呢靡馁？因為腹缩，正宗的旁切圓要切三角形的三邊所在的直線，如同內(nèi)切圓那樣做.而曼海姆定理中用的到的一個圓空扎，切三角形的兩邊所在的直線以及三角形的外接圓.正是這一個特殊的圓帶來了很不尋常的性質(zhì).
曼海姆定理:一圓與三角形的外接圓相切藏鹊，且與三角形的兩邊相切，則兩邊上切點(diǎn)連線之中點(diǎn)是三角形的內(nèi)心或旁心.
先證明這個內(nèi)切的情形.
如圖转锈，一圓內(nèi)切三角形ABC的外接圓于點(diǎn)D,分別切AB盘寡，AC于點(diǎn)E,F.求證：EF的中點(diǎn)K是三角形ABC的內(nèi)心.
偽旁切圓和外接圓位似，切點(diǎn)D是位似中心.
DEF和DE'F'這兩個三角形位似.如果取偽旁切圓的圓心O撮慨，和外接圓的圓心O'竿痰，那么，對應(yīng)的OF//O'F',OE//O'E'砌溺，（圖中未作圖）.
因為AC垂直于OF影涉，O'F'//OF,所以AC垂直于O'F'.根據(jù)垂徑定理，可知F'平分弧AF'C.同理规伐，E'平分弧AE'B.
連接BF'蟹倾，CE'則它們分別是角B和角C的平分線.那么，這兩線的交點(diǎn)是三角形ABC的內(nèi)心，設(shè)為I鲜棠，
根據(jù)Pascal定理肌厨，可知，EIF三點(diǎn)公線豁陆，即點(diǎn)I在直線EF上.
那么柑爸，I是內(nèi)心，I就在角A的平分線上.而切線 AE=AF盒音，三角形AEF是等腰三角形表鳍，所以，點(diǎn)I就與EF的中點(diǎn)K重合.因此EF的中點(diǎn)K里逆，是三角形ABC的內(nèi)心.
內(nèi)切這種情況在考試中經(jīng)常出現(xiàn).但由于Pascal定理初中教科書沒有要求进胯，所以，題目中常常有明確的提示原押，給出一個位似圓胁镐，使得Pascal定理容易證明.或者改變命題方式，簡化證明.
這種情況下有平行線诸衔，就算教科書對位似沒有講解盯漂，利用平行和圓周角定理、弦切角定理也可以證明.
而外切的情況笨农，相對復(fù)雜些.雖然同樣也是位似就缆，但是是反方向的，就是逆位似.觀察起來略費(fèi)勁些.
但實(shí)際上谒亦，一般的竭宰，關(guān)于內(nèi)心有一個定理，關(guān)于旁心也會有個類似的定理.曼海姆定理也如此.
當(dāng)兩圓外切的時候份招，EF的中點(diǎn)就是三角形的旁心.
外切的時候切揭，如果不利用位似，那么證明平行需要利用圓周角锁摔，弦切角廓旬，對頂角過渡，最終用內(nèi)錯角.E'是優(yōu)弧AE'B的中點(diǎn)谐腰，它包含的圓周角是C孕豹，那么，它對的圓周角就是C的補(bǔ)角.它的一半十气，弧AE'所對的圓周角就是C的補(bǔ)角的一半励背，故CE'平分外角.
同理BF'平分另一個外角.
如上，證明旁心在直線EF上砸西，且重合在點(diǎn)K上.
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