互信息=公平+明確

\mathbf {x}表示輸入數(shù)據(jù)带迟,c表示類(lèi)別標(biāo)簽,\mathbf { y} =p ( c \mid \mathbf { x } )表示模型輸出景描,輸入與其類(lèi)別間的互信息為:
\begin{aligned} \mathcal { I } ( c ; \mathbf { x } ) & = \iint d c d \mathbf { x } p ( c , \mathbf { x } ) \log \frac { p ( c , \mathbf { x } ) } { p ( c ) p ( \mathbf { x } ) } \\ & = \int d \mathbf { x } p ( \mathbf { x } ) \int d c p ( c \mid \mathbf { x } ) \log \frac { p ( c \mid \mathbf { x } ) } { p ( c ) } \\ & = \int d \mathbf { x } p ( \mathbf { x } ) \int d c p ( c \mid \mathbf { x } ) \log \frac { p ( c \mid \mathbf { x } ) } { \int d \mathbf { x } p ( \mathbf { x } ) p ( c \mid \mathbf { x } ) } \end{aligned}
上面的公式分項(xiàng)解釋如下:

  • \int d \mathbf {x} p ( \mathbf { x } )(\cdot)表示對(duì)于輸入取期望十办,在訓(xùn)練集中等價(jià)于\frac { 1 } { N _ { t s } } \sum _ { t s } ( \cdot ),其中N _ { t s }表示訓(xùn)練集的數(shù)據(jù)量超棺;
  • p(c \mid \mathbf {x} ) 表示模型輸出向族,\int dc p(c \mid \mathbf { x } ) (\cdot) 表示各類(lèi)輸出的均值,在實(shí)際訓(xùn)練中體現(xiàn)為\sum _ { i = 1 } ^ { N _ { c } } ( \cdot )棠绘;

于是上式在訓(xùn)練時(shí)可表示為:
\begin{aligned} \mathcal {I } ( c ; \mathbf { x } ) &= \frac { 1 } { N _ { t s } } \sum _ { t s } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { c } } y _ { i } \log \frac { y _ { i } } { \overline{y_ { i }} } \\ &= \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { c } }( -\overline{y _{ i } } \log \overline{ y } _ { i })+\frac { 1 } { N _ { t s } } \sum _ { t s } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { c } } y _ { i } \log y _ { i } \newline &= \mathcal { H } ( \overline { \mathbf { y } } ) - \overline { \mathcal { H } ( \mathbf { y } ) } \end{aligned}

  • \mathcal{H} ( \overline { \mathbf { y } } )表示類(lèi)別分布均值的熵件相,體現(xiàn)分類(lèi)器的“平均性”或“公平性”(fairness);
  • \overline{ \mathcal{H} ( \mathbf { y } ) }表示數(shù)據(jù)樣本類(lèi)別的熵的平均值氧苍,最小化該值體現(xiàn)分類(lèi)器的“明確性”或“堅(jiān)定性”(firmness)夜矗。

參考文獻(xiàn):
Bridle J, Heading A, MacKay D. Unsupervised classifiers, mutual information and'Phantom targets[J]. Advances in neural information processing systems, 1991, 4.

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