第八講 一元函數(shù)積分學(xué)的概念與計(jì)算

這一講有兩個(gè)部分的內(nèi)容膘融，積分的概念和積分的計(jì)算

第一部分 積分的概念

  1. 不定積分
    原函數(shù)：設(shè)函數(shù)f(x)定義在某個(gè)區(qū)間I上，若存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)祭玉，對(duì)于該區(qū)間上任意一點(diǎn)都有F'(x)=f(x)成立氧映，則稱F(x)是f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)，稱\int f(x)dx=F(x)+C為f(x)在區(qū)間I上的不定積分脱货，其中C為任意常數(shù)
    原函數(shù)(不定積分)存在定理：
    連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)岛都；含有第一類間斷點(diǎn)，無(wú)窮間斷點(diǎn)的函數(shù)f(x)在包含該間斷點(diǎn)的區(qū)間內(nèi)比沒(méi)有原函數(shù)（可參考前面介紹的導(dǎo)數(shù)介值定理）

  2. 定積分
    定積分的精確定義：\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(a+\frac{b-a}{n}i)\frac{b-a}{n}=\int_a^bf(x)dx
    \color{red}{特例}：取a=0,b=1振峻，則
    \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(\frac{i}{n})\frac{1}{n}=\int_0^1f(x)dx

例題
計(jì)算\lim_{n\to\infty}(\frac{n+1}{n^2+1}+\frac{n+2}{n^2+4}+\cdots+\frac{n+n}{n^2+n^2})
夾逼準(zhǔn)則失效臼疫，所以采用定積分定義來(lái)解此題
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{n+i}{n^2+i^2}
第一步：提出\frac{1}{n}\color{red}{(最好從次數(shù)低的部分提取)}
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{n^2+ni}{n^2+i^2}\cdot \frac{1}{n}
第二步：湊出\frac{i}{n}
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{1+\frac{i}{n}}{1+(\frac{i}{n})^2}\cdot \frac{1}{n}
第三步：按照定義構(gòu)造函數(shù)
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{1+\frac{i}{n}}{1+(\frac{i}{n})^2}\cdot \frac{1}{n}=\int_0^1\frac{1+x}{1+x^2}dx
=\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx+\int_0^1\frac{x}{1+x^2}=(\arctan x+\frac{1}{2}\ln (1+x^2))|_0^1
=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\ln 2

定積分的性質(zhì)：

  • 可以根據(jù)定積分的定義來(lái)求長(zhǎng)度、面積扣孟、體積以及\color{red}{曲面面積}(\int dx)
  • 積分的線性性質(zhì)：設(shè)k_1,k_2為常數(shù)烫堤，則\int_a^b[k_1f(x)\pm k_2g(x)]dx=k_1\int_a^bf(x)dx\pm k_2\int_a^bg(x)dx
  • 積分的可拆可加性：無(wú)論a,b,c的大小情況如何，總有\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx
  • 積分的保號(hào)性：若區(qū)間在[a,b]上有f(x)\le g(x)凤价，則有\int_a^bf(x)dx\le\int_a^bg(x)dx(只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)完全相等的時(shí)候才等于0)
    推論：若非負(fù)函數(shù)不恒等于零鸽斟，則其積分必然大于零
    特殊地，有
    |\int_a^bf(x)dx|\le \int_a^b|f(x)|dx

估值定理：設(shè)M,m分別是f(x)在[a,b]上的最大值和最小值利诺，則有：
m(b-a)\le \int_a^bf(x)dx\le M(b-a)

積分中值定理：\color{red}{(重要等級(jí)三顆星)}
設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)富蓄，則在[a,b]上至少存在一點(diǎn)\xi，使得
\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)

證明
連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)慢逾，設(shè)F(x)=\int_a^xf(t)dt立倍，則F(x)為f(x)的原函數(shù)
在[a,b]上用拉格朗日中值定理可得：
F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)
\int_a^bf(x)dx-\int_a^af(t)dt=F'(\xi)(b-a)
\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)
\xi\in(a,b)\subset[a,b]

反常積分：無(wú)窮區(qū)間積分和無(wú)界函數(shù)積分
無(wú)窮區(qū)間上反常積分的概念和收斂性：
\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{x\to +\infty}F(x) - F(a)，如果此極限存在則稱反常積分收斂侣滩，否則稱其為發(fā)散口注。
無(wú)界函數(shù)的反常積分的概念和收斂性：
\int_a^b f(x)dx=\lim_{x\to b^-}F(x)-F(a)，如果此極限存在則稱反常積分收斂君珠，否則稱其為發(fā)散寝志。

  1. 變限積分：
    當(dāng)x在[a,b]上變動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)于每一個(gè)x值葛躏，積分\int_a^bf(t)dt就有一個(gè)確定的值澈段，因此\int_a^bf(t)dt是一個(gè)邊上限的函數(shù)，記為\varphi(x)=\int_a^xf(t)dt(a\le x\le b)舰攒，稱函數(shù)\varphi(x)為變上限的定積分，同理可定義變下限的定積分和上下限都變化的定積分悔醋，這些都統(tǒng)稱為變限積分

定積分是一個(gè)數(shù)摩窃，而變限積分是一個(gè)函數(shù)

變限積分的求導(dǎo)公式：
設(shè)F(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(t)dt，則
F'(x)=f(\varphi_2(x))\varphi_2'(x)-f(\varphi_1(x))\varphi_1'(x)

第二部分 積分的計(jì)算

\begin{cases}基本積分公式\\湊微分法\\換元法\\分部積分法\\有理函數(shù)積分\end{cases}

  1. 基本積分公式
  • \int x^k dx=\frac{1}{k+1}x^{k+1}+C,(k\ne -1)
  • \int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C
  • \int e^xdx=e^x+C;\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C,(a>0,a\ne 1)
  • \int \sin xdx = -\cos x;\int \cos xdx=\sin x +C
    \int\tan xdx=-\ln|\cos x| + C;\int\cot xdx=\ln |\sin x|+C
    \int\frac{dx}{\cos x}=\int \sec x dx=\ln|\sec x+\tan x|+C
    \int\frac{dx}{\sin x}=\int \csc xdx=\ln|\csc x-\cot x|+C
    \int\sec^2xdx=\tan x + C;\int\csc^2xdx=\cot x + C
    \int\sec x\tan x dx=\sec x+C;\int\csc x\cot xdx=-\csc x+C
  • \int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C
    \int\frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C
  • \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C
    \int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac{x}{a}+C
  • \int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C,常見(jiàn)a=1
    \int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C
  • \int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C
    \int\frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x+a}{x-a}|+C
  • \int\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2+x^2}+C,(a\gt |x|\ge 0)
  • \int\sin^2xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C,(\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2})
    \int\cos^2xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C,(\cos^2 x=\frac{1+\cos2x}{2})
    \int\tan^2xdx=\tan x-x+C,(\tan^2x=\sec^2x-1)
    \int\cot^2xdx=-\cot x-x+C,(\cot^2x=\csc^2x-1)

  1. 湊微分法
    \int F(g(x))g'(x)dx=\int F(g(x))d(g(x))
    “湮滅”：
    \int_a^b\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+c
    d(\int_a^b\frac{1}{1+x^2} dx) = d(\arctan x + c)
    \frac{1}{1+x^2}dx=d(\arctan x)

  2. 換元法
    換元法的基本思想和湊微分法的基本思想恰好相反
    實(shí)戰(zhàn)思維結(jié)構(gòu)：

  • 三角函數(shù)代換
    \begin{cases}\sqrt{a^2+x^2},令x=a\sin t\\\sqrt{a^2+x^2},令x=a\tan t\\\sqrt{x^2-a^2},令x=a\sec t\end{cases}
  • 恒等變換之后再做三角代換
    當(dāng)被積函數(shù)含有\sqrt{ax^2+bx+c}時(shí)，可化為以下三種形式\sqrt{\varphi^2(x)+k^2},\sqrt{\varphi^2(x)-k^2},\sqrt{k^2-\varphi^2(x)}猾愿，再進(jìn)行三角代換
  • 根式代換
    當(dāng)被積函數(shù)含有根式\sqrt[n]{ax+b},\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}},\sqrt{ae^{bx}+c}時(shí)鹦聪，一般令根式\sqrt{*}=t
  • 倒代換
    當(dāng)被積函數(shù)中的分式的分母次數(shù)比分子次數(shù)高時(shí)，可用x=\frac{1}{t}的代換方式蒂秘，令分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)
  • 復(fù)雜函數(shù)的直接代換
    當(dāng)被積函數(shù)中含有a^x,e^x,\ln x,\arcsin x,\arctan x等時(shí)泽本，可考慮直接令復(fù)雜函數(shù)等于t，這種方法一般和分部積分法結(jié)合使用
  1. 分部積分法
    基本思想：\int udv=uv-\int vdu

證明
(uv)'=u'v+uv'
\frac{d(uv)}{dx}=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dx}
d(uv)=vdu+udv
\int d(uv)=\int vdu+\int udv
uv=\int vdu+\int udv
\int udv=uv-\int vdu

\color{red}{分部積分法使用技巧:}
"反姻僧、對(duì)规丽、冪、指(三)撇贺、三(指)"從左往右赌莺，求積分難度降低，化作v松嘶；從右往左艘狭，求導(dǎo)數(shù)難度降低，化作u翠订。

分部積分法的推廣：

反復(fù)使用分部積分

分部積分的三種使用情形：

  • 冪函數(shù)或三角函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)\int P_n(x)e^{kx}dx(將冪函數(shù)求導(dǎo)至零)

    故\int (x^3+2x+6)e^{2x}dx=e^{2x}(\frac{1}{2}x^3-\frac{3}{4}x^2+\frac{7}{4}x+\frac{17}{8})+C
  • 指數(shù)函數(shù)乘以三角函數(shù)\int e^{ax}\sin bxdx(積分再現(xiàn))

    故\int e^x\sin xdx=\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C
  • 冪函數(shù)乘以對(duì)數(shù)函數(shù)\int P_n(x)\ln xdx(只需使用一次分部積分)

    故\int x^2\ln xdx=\frac{1}{3}x^3\ln x-\frac{1}{9}x^3+C
  1. 有理函數(shù)的積分
    將形如\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}dx(n\lt m)的積分稱為有理函數(shù)的積分巢音，其中P_n(x),Q_m(x)分別是n次多項(xiàng)式和m次多項(xiàng)式
    求積方法：先將Q_m(x)因式分解，再將\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}拆成若干最簡(jiǎn)有理分式之和
    分解的基本原則：
  • Q_m(x)的一次單因式ax+b產(chǎn)生一項(xiàng)\frac{A}{ax+b}
  • Q_m(x)的k重一次因式(ax+b)^k產(chǎn)生k項(xiàng)尽超，分別為\frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{(ax+b)^2}+\cdots+\frac{A_k}{(ax+b)^k}
  • Q_m(x)的二次單因式px^2+qx+r產(chǎn)生一項(xiàng)\frac{Ax+B}{px^2+qx+r}
  • Q_m(x)的k重二次單因式(px^2+qx+r)^k產(chǎn)生k項(xiàng)\frac{A_1x+B_1}{px^2+qx+r}+\frac{A_2x+B_2}{(px^2+qx+r)^2}+\cdots+\frac{A_kx+B_k}{(px^2+qx+r)^k}

定積分的計(jì)算
找到原函數(shù)后港谊，可以直接使用牛頓-萊布尼茨公式算出定積分
\int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)
在此基礎(chǔ)上，還可以使用一些技巧進(jìn)行化簡(jiǎn)

  1. 若f(x)是連續(xù)偶函數(shù)橙弱，則
    \int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx
  2. 若f(x)是連續(xù)奇函數(shù)歧寺，則
    \int_{-a}^af(x)dx=0
  3. 若f(x)為連續(xù)周期函數(shù)，則
    \int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx
  4. 若f(x)為連續(xù)函數(shù)棘脐，則\color{red}{(重要等級(jí)三顆星)}
    \int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx（也被稱為區(qū)間再現(xiàn)法）

證明
令x=a+b-t
\int_a^bf(x)dx\Rightarrow \int_b^af(a+b-t)(-dt)
=\int_a^bf(a+b-t)dt
=\int_a^bf(a+b-x)dx

\color{red}{區(qū)間再現(xiàn)法的運(yùn)用}(f(x)+f(a+b-x))

計(jì)算\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx
使用區(qū)間再現(xiàn)法：
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin(\frac{\pi}{2}-x)+\cos(\frac{\pi}{2}-x)}
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}
\because\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}
=\int_0^{\frac{\pi}{2}}1dx=x|_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}
\therefore\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx=\frac{\pi}{4}

  1. 若f(x)為連續(xù)函數(shù)斜筐，則\color{red}{(重要等級(jí)無(wú)窮顆星)}
    華里士公式：\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx=
    \begin{cases}\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2},其中n為正偶數(shù)\\\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{2}{3},其中n為大于1的奇數(shù)\end{cases}
    華里士公式的推廣：
    \int_0^{\pi}\sin^nxdx=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx
    \int_0^{\pi}\cos^nxdx=\begin{cases}0，n為正奇數(shù)\\2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx蛀缝，n為正偶數(shù)\end{cases}
    \int_0^{2\pi}\sin^nxdx=\int_0^{2\pi}\cos^nxdx=\begin{cases}0顷链，n為正奇數(shù)\\4\int_0^{2\pi}\sin^nxdx，n為正偶數(shù)\end{cases}
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