最近在做薪酬績效分析報(bào)告，借助Power pivot處理數(shù)據(jù)秒赤，便找了些數(shù)據(jù)分析的理論知識(shí)。真正做分析的時(shí)候致讥，發(fā)現(xiàn)已被我忘得一干二凈的統(tǒng)計(jì)學(xué)對于描述統(tǒng)計(jì)分析有著不可忽視的作用，于是打開百度器赞，從輸入“離散程度”開始垢袱。（以下所有概念均來自百度，我只是知識(shí)的搬運(yùn)工港柜，為了方便自己學(xué)習(xí)）

1離散程度

通過對隨機(jī)變量取值之間離散程度的測定请契，可以反映各個(gè)觀測個(gè)體之間的差異大小，從而也就可以反映分布中心的指標(biāo)對各個(gè)觀測變量值代表性的高低夏醉。

通過對隨機(jī)變量取值之間離散程度的測定爽锥，可以反映隨機(jī)變量次數(shù)分布密度曲線的瘦俏或矮胖程度。

1.1離散程度的測度指標(biāo)

可用來測度觀測變量值之間差異程度的指標(biāo)有很多畔柔，在統(tǒng)計(jì)分析推斷中最常用的主要有極差氯夷、平均差和標(biāo)準(zhǔn)差等幾種。

1.1.1極差

極差又稱全距靶擦，是觀測變量的最大取值與最小取值之間的離差腮考，也就是觀測變量的最大觀測值與最小觀測值之間的區(qū)間跨度。極差的計(jì)算公式為：

R=?Max(xi)??Min(xi)

1.1.2平均差

平均差是總體各單位標(biāo)志對其算術(shù)平均數(shù)的離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)奢啥。它綜合反映了總體各單位標(biāo)志值的變動(dòng)程度秸仙。平均差越大，則表示標(biāo)志變動(dòng)度越大桩盲，反之則表示標(biāo)志變動(dòng)度越小寂纪。

1.1.3標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差是隨機(jī)變量各個(gè)取值偏差平方的平均數(shù)的算術(shù)平方根，是最常用的反映隨機(jī)變量分布離散程度的指標(biāo)赌结。標(biāo)準(zhǔn)差既可以根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算捞蛋，也可以根據(jù)觀測變量的理論分布計(jì)算，分別稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差和總體標(biāo)準(zhǔn)差柬姚。

標(biāo)準(zhǔn)差是一組數(shù)值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念拟杉。一個(gè)較大的標(biāo)準(zhǔn)差，代表大部分的數(shù)值和其平均值之間差異較大量承；一個(gè)較小的標(biāo)準(zhǔn)差搬设，代表這些數(shù)值較接近平均值。

例如撕捍，兩組數(shù)的集合 {0,5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是7 拿穴，但第二個(gè)集合具有較小的標(biāo)準(zhǔn)差。

標(biāo)準(zhǔn)差可以當(dāng)作不確定性的一種測量忧风。例如在物理科學(xué)中默色，做重復(fù)性測量時(shí)，測量數(shù)值集合的標(biāo)準(zhǔn)差代表這些測量的精確度狮腿。當(dāng)要決定測量值是否符合預(yù)測值腿宰，測量值的標(biāo)準(zhǔn)差占有決定性重要角色：如果測量平均值與預(yù)測值相差太遠(yuǎn)（同時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值做比較）呕诉，則認(rèn)為測量值與預(yù)測值互相矛盾。這很容易理解吃度，因?yàn)橹刀悸湓谝欢〝?shù)值范圍之外甩挫，可以合理推論預(yù)測值是否正確。

2分布中心

隨機(jī)變量的分布中心是隨機(jī)變量一切取值的一個(gè)代表规肴，可以用來反映其數(shù)值的一般水平捶闸。

隨機(jī)變量的分布中心可以揭示隨機(jī)變量一切取值的次數(shù)分布在直角坐標(biāo)系內(nèi)的集中位置，可以用來反映隨機(jī)變量分布密度曲線的中心位置拖刃，即對稱中心或尖峰位置。

用來測度隨機(jī)變量次數(shù)分布中心的指標(biāo)可以有多種贪绘，其中在統(tǒng)計(jì)分析推斷中常用的主要有算術(shù)平均數(shù)兑牡、中位數(shù)和眾數(shù)等幾種。

2.1算術(shù)平均數(shù)

算術(shù)平均數(shù)又稱算術(shù)均值税灌，是隨機(jī)變量的所有觀測值總和與觀測值個(gè)數(shù)的比值均函。

2.2中位數(shù)

中位數(shù)是指將數(shù)據(jù)按大小順序排列起來，形成一個(gè)數(shù)列菱涤，居于數(shù)列中間位置的那個(gè)數(shù)據(jù)苞也。中位數(shù)用Me表示。

從中位數(shù)的定義可知粘秆，所研究的數(shù)據(jù)中有一半小于中位數(shù)如迟，一半大于中位數(shù)。中位數(shù)的作用與算術(shù)平均數(shù)相近攻走，也是作為所研究數(shù)據(jù)的代表值殷勘。在一個(gè)等差數(shù)列或一個(gè)正態(tài)分布數(shù)列中，中位數(shù)就等于算術(shù)平均數(shù)昔搂。

在數(shù)列中出現(xiàn)了極端變量值的情況下玲销，用中位數(shù)作為代表值要比用算術(shù)平均數(shù)更好，因?yàn)橹形粩?shù)不受極端變量值的影響摘符；如果研究目的就是為了反映中間水平贤斜，當(dāng)然也應(yīng)該用中位數(shù)。在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的處理和分析時(shí)逛裤，可結(jié)合使用中位數(shù)瘩绒。

2.3眾數(shù)

眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，一組數(shù)據(jù)可以有多個(gè)眾數(shù)别凹，也可以沒有眾數(shù)草讶。

3次數(shù)分布

分布數(shù)列(distribution?series)是在統(tǒng)計(jì)分組的基礎(chǔ)上，將總體的所有單位按某個(gè)標(biāo)志分組歸類炉菲，將各組的總體單位數(shù)匯總堕战，并按一定的順序排列坤溃，形成總體單位在各組的分布，又稱為次數(shù)分布嘱丢。

標(biāo)志：標(biāo)志是用來說明總體單位特征的名稱薪介。例如，研究工人情況時(shí)越驻，全部工人是一個(gè)總體汁政，每一個(gè)工人是一個(gè)總體單位。如某工人的性別是男缀旁，年齡是32歲记劈，月工資收入為100元，工種是車工等并巍，均稱為標(biāo)志目木。性別、年齡懊渡、工種刽射、月工資收入是標(biāo)志的名稱；男性剃执、32歲誓禁，100元、車工則是這些標(biāo)志的具體表現(xiàn)肾档。標(biāo)志名稱及其具體表現(xiàn)摹恰，可以反映每個(gè)總體單位的具體情況。

分布在各組的單位數(shù)稱為次數(shù)或頻數(shù)阁最，以f表示戒祠，各組次數(shù)與總次數(shù)之比稱為頻率，以f/f表示速种。次數(shù)分布可以表明總體中所有單位在各組的分布特征姜盈，并據(jù)以研究總體某一標(biāo)志的平均水平及其變動(dòng)規(guī)律。例如配阵，人口按性別分組后形成的人口數(shù)在各組分布情況的數(shù)列馏颂；學(xué)生按年齡分組后形成的學(xué)生人數(shù)在各組分布情況的數(shù)列等，都是次數(shù)分布數(shù)列棋傍。

次數(shù)分布數(shù)列直觀地表明了總體單位的分布特征和結(jié)構(gòu)狀況救拉，在此基礎(chǔ)上還可以進(jìn)一步研究其構(gòu)成、平均水平及其變動(dòng)規(guī)律瘫拣，它是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種重要手段亿絮。

表1就是次數(shù)分布數(shù)列的舉例。

3.1分布數(shù)列的分類

按分組標(biāo)志的特征不同，分布數(shù)列可分為屬性分布數(shù)列和變量分布數(shù)列兩種派昧。

3.1.1屬性分布數(shù)列

按品質(zhì)標(biāo)志分組形成的次數(shù)分布數(shù)列黔姜，稱為屬性分布數(shù)列，一般叫品質(zhì)數(shù)列蒂萎，它由組的名稱和各組的次數(shù)兩要素組成秆吵。對于品質(zhì)數(shù)列，如果分組標(biāo)志選擇合適五慈，分組標(biāo)準(zhǔn)定得恰當(dāng)纳寂，那么事物性質(zhì)的差異表現(xiàn)將會(huì)比較明確，總體中各組的劃分也就容易解決泻拦，從而能準(zhǔn)確地反映現(xiàn)象總體的分布特征毙芜。

3.1.2變量分布數(shù)列

按數(shù)量標(biāo)志分組形成的次數(shù)分布數(shù)列，稱為變量分布數(shù)列聪轿，一般叫變量數(shù)列爷肝，由變量值和各組的次數(shù)兩要素構(gòu)成。各組次數(shù)的多少陆错，反映了各組變量值在總體中作用的大小。

表2是品質(zhì)數(shù)列金赦，反映某地區(qū)人口的民族構(gòu)成狀況音瓷。表3是變量數(shù)列，反映某地區(qū)人口的年齡結(jié)構(gòu)情況夹抗。

按連續(xù)與否绳慎，分布數(shù)列可分為間斷分布數(shù)列和連續(xù)分布數(shù)列兩種。

3.1.3間斷分布數(shù)列

又稱不連續(xù)分布數(shù)列漠烧。它是只能以整數(shù)而不是小數(shù)形式出現(xiàn)的分布數(shù)列杏愤，比如，年齡分布數(shù)列已脓，職工人數(shù)分布數(shù)列珊楼，設(shè)備臺(tái)數(shù)分布數(shù)列等。

3.1.4連續(xù)分布數(shù)列

它指能以小數(shù)形式表現(xiàn)的分布數(shù)列度液，比如厕宗，工資分布數(shù)列，產(chǎn)值分布數(shù)列堕担，商品銷售額分布數(shù)列等已慢。

表4是間斷分布數(shù)列的舉例。

表5是連續(xù)分布數(shù)列的舉例霹购。

3.2累計(jì)頻數(shù)分布

分布數(shù)列本身既可反映總體的次數(shù)分布佑惠，而且在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，還可以在次數(shù)分布的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究頻數(shù)膜楷、頻率的分布狀況旭咽。累計(jì)頻數(shù)分布，分別就頻數(shù)與頻率進(jìn)行累計(jì)把将，表明總體某一標(biāo)志值的特定數(shù)值以下的觀察值個(gè)數(shù)和比率轻专，概括總體各單位的分布特征。

累計(jì)頻數(shù)分布有兩種形式：向上累計(jì)和向下累計(jì)察蹲。

3.2.1向上累計(jì)頻數(shù)或比率

向上累計(jì)頻數(shù)分布请垛，是將各組次數(shù)或比率，由變量值低的組向變量值高的組逐組累計(jì)洽议。向上累計(jì)頻數(shù)宗收，表明某組上限以下各組單位數(shù)之和是多少；向上累計(jì)頻率亚兄，表明某組上限以下各組單位數(shù)之和占總體單位比重的大小混稽。

3.2.2向下累計(jì)頻數(shù)或比率

向下累計(jì)頻數(shù)分布，是將各組次數(shù)或比率审胚，由變量值高的組向變量值低的組逐組累計(jì)匈勋。向下累計(jì)頻數(shù)，表明某組下限以上的各組單位數(shù)之和是多少膳叨；向下累計(jì)頻率洽洁，表明某組下限以上各組單位數(shù)之和占總體單位數(shù)比重的大小。

表6是累計(jì)頻數(shù)分布的具體形式菲嘴。

由表6得知饿自，不及格的學(xué)生有4人，占全部學(xué)生的5.0%龄坪；70分以下的學(xué)生有18人昭雌，占全部學(xué)生的22.5%。80分以上的學(xué)生有40人健田，占全部學(xué)牛的50.0%烛卧；成績優(yōu)秀(90分以卜)的16人，占全部學(xué)生的20.0%抄课。

累計(jì)頻數(shù)分布的特點(diǎn)是：第一唱星，首組的累計(jì)頻數(shù)等于首組的頻數(shù)；第二跟磨，最末一組的累計(jì)頻數(shù)等于總體單位總量间聊。

累計(jì)頻率分布的特點(diǎn)是：第一，首組的累計(jì)頻率就是首組的頻率抵拘；第二哎榴，最末一組的累計(jì)頻率等于1(或100%)。

3.3次數(shù)分布的主要類型

3.3.1正態(tài)分布

正態(tài)分布，又稱鐘形分布尚蝌，其特征是“中間大迎变、兩頭小”，即靠近中間的變量值分布的次數(shù)多飘言，靠近兩端的變量值分布的次數(shù)少衣形，如圖1所示。

社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中有很多都屬于鐘形分布姿鸿。例如谆吴，人的身高及體重、學(xué)生的成績苛预、農(nóng)作物產(chǎn)量句狼、市場價(jià)格、零件公差等現(xiàn)象都屬于正態(tài)分布热某。

3.3.2U形分布

U形分布的特征是靠近中間的變量值分布的次數(shù)少腻菇，靠近兩端的變量值分布的次數(shù)多，形成“兩頭大昔馋、中間小”的分布特征筹吐。人口按年齡分組的死亡率、機(jī)器產(chǎn)品按使用時(shí)間分組的失效率秘遏，其分布圖均呈這種圖形(見圖2)骏令。

圖2的曲線表明嬰幼兒和老年人的死亡率較高，中青年的死亡率較低垄提，或者是機(jī)器剛投入使用時(shí)失效率較高，隨后急劇下降周拐，保持相當(dāng)一段時(shí)間后失效率又急劇增高的事實(shí)铡俐。這種分布曲線，其中間部分占據(jù)了整個(gè)曲線的絕大部分妥粟。

3.3.3J形分布

J形分布的特征是“一邊小审丘、一邊大”，即大部分變量值集中在某一端分布勾给。它有正J形曲線和反J形曲線兩種滩报。前者表明次數(shù)隨變量值的增大而增多，如投資額與利潤率之間的相互變動(dòng)關(guān)系播急，如圖3(a)所示脓钾；后者表明次數(shù)隨變量值的增大而減少，如商品的銷售量和其價(jià)格的增減變動(dòng)關(guān)系桩警，如圖3(b)所示可训。

次數(shù)分布的類型主要取決于社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象本身的性質(zhì)。編制的次數(shù)分配數(shù)列和圖形有時(shí)可能會(huì)因總體所處的客觀條件不同而表現(xiàn)不同，但其形態(tài)仍應(yīng)符合該現(xiàn)象的分布特征握截。

4正態(tài)分布

正態(tài)分布（Normal distribution）飞崖，也稱“常態(tài)分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution）谨胞。正態(tài)曲線呈鐘型固歪，兩頭低，中間高胯努，左右對稱因其曲線呈鐘形牢裳，因此人們又經(jīng)常稱之為鐘形曲線。

若隨機(jī)變量X服從一個(gè)數(shù)學(xué)期望為μ康聂、方差為σ^2的正態(tài)分布贰健，記為N(μ，σ^2)恬汁。其概率密度函數(shù)為正態(tài)分布的期望值μ決定了其位置伶椿，其標(biāo)準(zhǔn)差σ決定了分布的幅度。當(dāng)μ = 0,σ = 1時(shí)的正態(tài)分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布氓侧。

4.1參數(shù)含義

正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)脊另，即期望（均數(shù)）μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ，σ2為方差约巷。

正態(tài)分布具有兩個(gè)參數(shù)μ和σ^2的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布偎痛，第一參數(shù)μ是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的均值，第二個(gè)參數(shù)σ^2是此隨機(jī)變量的方差独郎，所以正態(tài)分布記作N（μ,σ2）踩麦。

μ是正態(tài)分布的位置參數(shù)，描述正態(tài)分布的集中趨勢位置氓癌。概率規(guī)律為取與μ鄰近的值的概率大谓谦，而取離μ越遠(yuǎn)的值的概率越小。正態(tài)分布以X=μ為對稱軸贪婉，左右完全對稱反粥。正態(tài)分布的期望、均數(shù)疲迂、中位數(shù)才顿、眾數(shù)相同，均等于μ尤蒿。

σ描述正態(tài)分布資料數(shù)據(jù)分布的離散程度郑气，σ越大，數(shù)據(jù)分布越分散优质，σ越小竣贪，數(shù)據(jù)分布越集中军洼。σ也稱為是正態(tài)分布的形狀參數(shù)，σ越大演怎，曲線越扁平匕争，反之，σ越小爷耀，曲線越瘦高甘桑。

4.2圖形特征

集中性：正態(tài)曲線的高峰位于正中央，即均數(shù)所在的位置歹叮。

對稱性：正態(tài)曲線以均數(shù)為中心跑杭，左右對稱，曲線兩端永遠(yuǎn)不與橫軸相交咆耿。

均勻變動(dòng)性：正態(tài)曲線由均數(shù)所在處開始德谅，分別向左右兩側(cè)逐漸均勻下降。

曲線與橫軸間的面積總等于1萨螺，相當(dāng)于概率密度函數(shù)的函數(shù)從正無窮到負(fù)無窮積分的概率為1窄做。即頻率的總和為100%。

關(guān)于μ對稱慰技，并在μ處取最大值椭盏，在正（負(fù)）無窮遠(yuǎn)處取值為0，在μ±σ處有拐點(diǎn)吻商，形狀呈現(xiàn)中間高兩邊低掏颊，正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線呈鐘形，因此人們又經(jīng)常稱之為鐘形曲線艾帐。

4.3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)度分布表

（吐槽一句：微積分貌似也學(xué)這張表了乌叶，全還給老師了。柒爸。）

表頭的橫向表示小數(shù)點(diǎn)后第二位枉昏，表頭的縱向則為整數(shù)部分以及小數(shù)點(diǎn)后第一位；兩者聯(lián)合作為完整的x揍鸟。例如：要查假設(shè)X=1.15，左邊一列找到1.1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表句旱，上面一行找到0.05阳藻，1.1和 0.05所對應(yīng)的值為0.8749。