數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法

1 什么是復(fù)雜度分析坐慰？

1.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法解決是“如何讓計(jì)算機(jī)更快時間潮峦、更省空間的解決問題”入偷。
2.因此需從執(zhí)行時間和占用空間兩個維度來評估數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法的性能仅炊。
3.分別用時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度兩個概念來描述性能問題贺喝，二者統(tǒng)稱為復(fù)雜度菱鸥。
4.復(fù)雜度描述的是算法執(zhí)行時間（或占用空間）與數(shù)據(jù)規(guī)模的增長關(guān)系。

2 為什么要進(jìn)行復(fù)雜度分析躏鱼？

把代碼跑一遍，通過統(tǒng)計(jì)殷绍、監(jiān)控染苛，就能的到算法執(zhí)行的時間和占用的內(nèi)存大小。我們把它叫做“事后統(tǒng)計(jì)”主到。
但是茶行，這種統(tǒng)計(jì)方法有很大的局限性。

1. 測試結(jié)果非常依賴測試環(huán)境
   測試環(huán)境中硬件的不同會對測試結(jié)果有很大的影響登钥。比如畔师，我們拿同樣一段代碼，分別用 Intel Core i9 處理器和 Intel Core i3 處理器來運(yùn)行牧牢，不用說看锉，i9 處理器要比 i3 處理器執(zhí)行的速度快很多。還有塔鳍，比如原本在這臺機(jī)器上 a 代碼執(zhí)行的速度比 b 代碼要快伯铣，等我們換到另一臺機(jī)器上時，可能會有截然相反的結(jié)果轮纫。
2. 測試結(jié)果受數(shù)據(jù)規(guī)模的影響很大
   后面我們會講排序算法腔寡，我們先拿它舉個例子。對同一個排序算法掌唾，待排序數(shù)據(jù)的有序度不一樣放前，排序的執(zhí)行時間就會有很大的差別忿磅。極端情況下，如果數(shù)據(jù)已經(jīng)是有序的凭语，那排序算法不需要做任何操作贝乎，執(zhí)行時間就會非常短。除此之外叽粹，如果測試數(shù)據(jù)規(guī)模太小览效，測試結(jié)果可能無法真實(shí)地反應(yīng)算法的性能。比如虫几，對于小規(guī)模的數(shù)據(jù)排序锤灿，插入排序可能反倒會比快速排序要快！

3 如何進(jìn)行復(fù)雜度分析辆脸？

3.1 大 O 復(fù)雜度表示法

3.1.1 示例1

 int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

從 CPU 的角度來看但校，這段代碼的每一行都執(zhí)行著類似的操作：讀數(shù)據(jù)-運(yùn)算-寫數(shù)據(jù)。盡管每行代碼對應(yīng)的 CPU 執(zhí)行的個數(shù)啡氢、執(zhí)行的時間都不一樣状囱，但是，我們這里只是粗略估計(jì)倘是，所以可以假設(shè)每行代碼執(zhí)行的時間都一樣亭枷，為 unit_time。
在這個假設(shè)的基礎(chǔ)之上搀崭，這段代碼的總執(zhí)行時間是多少呢叨粘？
第 2、3 行代碼分別需要 1 個 unit_time 的執(zhí)行時間瘤睹，第 4升敲、5 行都運(yùn)行了 n 遍，所以需要 2nunit_time 的執(zhí)行時間轰传，所以這段代碼總的執(zhí)行時間就是 (2n+2)unit_time驴党。

3.1.2 示例2

 int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1;
     for (; j <= n; ++j) {
       sum = sum +  i * j;
     }
   }
 }

我們依舊假設(shè)每個語句的執(zhí)行時間是 unit_time。那這段代碼的總執(zhí)行時間 T(n) 是多少呢获茬？
第 2港庄、3、4 行代碼锦茁，每行都需要 1 個 unit_time 的執(zhí)行時間攘轩，第 5、6 行代碼循環(huán)執(zhí)行了 n 遍码俩，需要 2n * unit_time 的執(zhí)行時間度帮，第 7、8 行代碼循環(huán)執(zhí)行了 n2遍，所以需要 2n2 * unit_time 的執(zhí)行時間笨篷。
所以瞳秽，整段代碼總的執(zhí)行時間 T(n) = (2n2+2n+3)*unit_time

3.1.3 T(n)

盡管我們不知道 unit_time 的具體值，但是通過這兩段代碼執(zhí)行時間的推導(dǎo)過程率翅，我們可以得到一個非常重要的規(guī)律练俐，那就是，所有**代碼的執(zhí)行時間 T(n) **與每行代碼的執(zhí)行次數(shù) n 成正比冕臭。

T(n) = O(f(n));
T(n) 我們已經(jīng)講過了腺晾，它表示代碼執(zhí)行的時間；
n 表示數(shù)據(jù)規(guī)模的大泄脊蟆悯蝉；
f(n) 表示每行代碼執(zhí)行的次數(shù)總和。
公式中的 O托慨，表示代碼的執(zhí)行時間 T(n) 與 f(n) 表達(dá)式成正比鼻由。

所以，第一個例子中的 T(n) = O(2n+2)厚棵，第二個例子中的 T(n) = O(2n2+2n+3)蕉世。
這就是大 O 時間復(fù)雜度表示法。大 O 時間復(fù)雜度實(shí)際上并不具體表示代碼真正的執(zhí)行時間婆硬，而是表示代碼執(zhí)行時間隨數(shù)據(jù)規(guī)模增長的變化趨勢狠轻，所以，也叫作漸進(jìn)時間復(fù)雜度（asymptotic time complexity）柿祈，簡稱時間復(fù)雜度哈误。

當(dāng) n 很大時，你可以把它想象成 10000躏嚎、100000。而公式中的低階菩貌、常量卢佣、系數(shù)三部分并不左右增長趨勢，所以都可以忽略箭阶。我們只需要記錄一個最大量級就可以了虚茶，如果用大 O 表示法表示剛講的那兩段代碼的時間復(fù)雜度，就可以記為：T(n) = O(n)仇参； T(n) = O(n2)嘹叫。

3.2 時間復(fù)雜度分析

如何分析一段代碼的時間復(fù)雜度？有三個比較實(shí)用的方法

3.2.1 只關(guān)注循環(huán)執(zhí)行次數(shù)最多的一段代碼

• 大 O 這種復(fù)雜度表示方法只是表示一種變化趨勢诈乒。
• 我們通常會忽略掉公式中的常量罩扇、低階、系數(shù)，只需要記錄一個最大階的量級就可以了喂饥。
  所以消约，我們在分析一個算法、一段代碼的時間復(fù)雜度的時候员帮，也只關(guān)注循環(huán)執(zhí)行次數(shù)最多的那一段代碼就可以了或粮。這段核心代碼執(zhí)行次數(shù)的 n 的量級，就是整段要分析代碼的時間復(fù)雜度捞高。

 int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

其中第 2氯材、3 行代碼都是常量級的執(zhí)行時間，與 n 的大小無關(guān)硝岗，所以對于復(fù)雜度并沒有影響氢哮。循環(huán)執(zhí)行次數(shù)最多的是第 4、5 行代碼辈讶，所以這塊代碼要重點(diǎn)分析命浴。前面我們也講過，這兩行代碼被執(zhí)行了 n 次贱除，所以總的時間復(fù)雜度就是 O(n)生闲。

3.2.2 加法法則：總復(fù)雜度等于量級最大的那段代碼的復(fù)雜度

int cal(int n) {
   int sum_1 = 0;
   int p = 1;
   for (; p < 100; ++p) {
     sum_1 = sum_1 + p;
   }

   int sum_2 = 0;
   int q = 1;
   for (; q < n; ++q) {
     sum_2 = sum_2 + q;
   }
 
   int sum_3 = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1; 
     for (; j <= n; ++j) {
       sum_3 = sum_3 +  i * j;
     }
   }
 
   return sum_1 + sum_2 + sum_3;
 }

那第二段代碼和第三段代碼的時間復(fù)雜度是多少呢？答案是 O(n) 和 O(n2)月幌，你應(yīng)該能容易就分析出來碍讯，我就不啰嗦了。

綜合這三段代碼的時間復(fù)雜度扯躺，我們?nèi)∑渲凶畲蟮牧考壸叫恕Ｋ裕未a的時間復(fù)雜度就為 O(n2)录语。也就是說：總的時間復(fù)雜度就等于量級最大的那段代碼的時間復(fù)雜度倍啥。那我們將這個規(guī)律抽象成公式就是：
如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))澎埠；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).

3.2.3 乘法法則：嵌套代碼的復(fù)雜度等于嵌套內(nèi)外代碼復(fù)雜度的乘積

如果 T1(n)=O(f(n))虽缕，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)T2(n)=O(f(n))O(g(n))=O(f(n)*g(n)).
也就是說蒲稳，假設(shè) T1(n) = O(n)氮趋，T2(n) = O(n2)，則 T1(n) * T2(n) = O(n3)江耀。落實(shí)到具體的代碼上剩胁，我們可以把乘法法則看成是嵌套循環(huán)

int cal(int n) {
   int ret = 0; 
   int i = 1;
   for (; i < n; ++i) {
     ret = ret + f(i);
   } 
 } 
 
 int f(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i < n; ++i) {
    sum = sum + i;
  } 
  return sum;
 }

整個 cal() 函數(shù)的時間復(fù)雜度就是，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)祥国。

3.3 幾種常見時間復(fù)雜度實(shí)例分析

雖然代碼千差萬別昵观，但是常見的復(fù)雜度量級并不多。我稍微總結(jié)了一下，這些復(fù)雜度量級幾乎涵蓋了你今后可以接觸的所有代碼的復(fù)雜度量級索昂。

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我們把時間復(fù)雜度為非多項(xiàng)式量級的算法問題叫作NP（Non-Deterministic Polynomial康谆，非確定多項(xiàng)式）問題领斥。

當(dāng)數(shù)據(jù)規(guī)模 n 越來越大時，非多項(xiàng)式量級算法的執(zhí)行時間會急劇增加沃暗，求解問題的執(zhí)行時間會無限增長月洛。所以，非多項(xiàng)式時間復(fù)雜度的算法其實(shí)是非常低效的算法孽锥。因此嚼黔，關(guān)于 NP 時間復(fù)雜度我就不展開講了。

3.3.1 O(1)

首先你必須明確一個概念惜辑，O(1) 只是常量級時間復(fù)雜度的一種表示方法唬涧，并不是指只執(zhí)行了一行代碼。比如這段代碼盛撑，即便有 3 行碎节，它的時間復(fù)雜度也是 O(1），而不是 O(3)抵卫。

 int i = 8;
 int j = 6;
 int sum = i + j;

只要代碼的執(zhí)行時間不隨 n 的增大而增長狮荔，這樣代碼的時間復(fù)雜度我們都記作 O(1)。

一般情況下介粘，只要算法中不存在循環(huán)語句殖氏、遞歸語句，即使有成千上萬行的代碼姻采，其時間復(fù)雜度也是Ο(1)

3.3.2 O(logn)受葛、O(nlogn)

對數(shù)階時間復(fù)雜度非常常見，同時也是最難分析的一種時間復(fù)雜度偎谁。

 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }

根據(jù)我們前面講的復(fù)雜度分析方法，第三行代碼是循環(huán)執(zhí)行次數(shù)最多的纲堵。所以巡雨，我們只要能計(jì)算出這行代碼被執(zhí)行了多少次，就能知道整段代碼的時間復(fù)雜度席函。

從代碼中可以看出铐望，變量 i 的值從 1 開始取，每循環(huán)一次就乘以 2。當(dāng)大于 n 時正蛙，循環(huán)結(jié)束督弓。還記得我們高中學(xué)過的等比數(shù)列嗎？實(shí)際上乒验，變量 i 的取值就是一個等比數(shù)列愚隧。如果我把它一個一個列出來，就應(yīng)該是這個樣子的：

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 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 3;
 }

根據(jù)我剛剛講的思路夹囚，很簡單就能看出來纵刘，這段代碼的時間復(fù)雜度為 O(log3n)。
實(shí)際上荸哟，不管是以 2 為底假哎、以 3 為底，還是以 10 為底鞍历，我們可以把所有對數(shù)階的時間復(fù)雜度都記為 O(logn)舵抹。為什么呢？

我們知道劣砍，對數(shù)之間是可以互相轉(zhuǎn)換的惧蛹，log3n 就等于 log32 * log2n，所以 O(log3n) = O(C * log2n)刑枝，其中 C=log32 是一個常量香嗓。基于我們前面的一個理論：在采用大 O 標(biāo)記復(fù)雜度的時候装畅，可以忽略系數(shù)宇立，即 O(Cf(n)) = O(f(n))饲梭。所以，O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此，在對數(shù)階時間復(fù)雜度的表示方法里，我們忽略對數(shù)的“底”，統(tǒng)一表示為 O(logn)。

如果你理解了我前面講的 O(logn)腋逆，那 O(nlogn) 就很容易理解了。還記得我們剛講的乘法法則嗎侈贷？如果一段代碼的時間復(fù)雜度是 O(logn)惩歉，我們循環(huán)執(zhí)行 n 遍，時間復(fù)雜度就是 O(nlogn) 了铐维。而且柬泽，O(nlogn) 也是一種非常常見的算法時間復(fù)雜度。比如嫁蛇，歸并排序锨并、快速排序的時間復(fù)雜度都是 O(nlogn)。

3.3.3 O(m+n)睬棚、O(m*n)

我們再來講一種跟前面都不一樣的時間復(fù)雜度第煮，代碼的復(fù)雜度由兩個數(shù)據(jù)的規(guī)模來決定。老規(guī)矩抑党，先看代碼包警！

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

從代碼中可以看出，m 和 n 是表示兩個數(shù)據(jù)規(guī)模底靠。我們無法事先評估 m 和 n 誰的量級大害晦，所以我們在表示復(fù)雜度的時候，就不能簡單地利用加法法則暑中，省略掉其中一個壹瘟。所以，上面代碼的時間復(fù)雜度就是 O(m+n)鳄逾。
針對這種情況稻轨，原來的加法法則就不正確了，我們需要將加法規(guī)則改為：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))雕凹。但是乘法法則繼續(xù)有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))殴俱。

4 空間復(fù)雜度分析

• 時間復(fù)雜度的全稱是漸進(jìn)時間復(fù)雜度，表示算法的執(zhí)行時間與數(shù)據(jù)規(guī)模之間的增長關(guān)系枚抵。
• 空間復(fù)雜度全稱就是漸進(jìn)空間復(fù)雜度（asymptotic space complexity）线欲，表示算法的存儲空間與數(shù)據(jù)規(guī)模之間的增長關(guān)系。

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

• 第 2 行代碼中汽摹，我們申請了一個空間存儲變量 i询筏，但是它是常量階的，跟數(shù)據(jù)規(guī)模 n 沒有關(guān)系竖慧，所以我們可以忽略嫌套。
• 第 3 行申請了一個大小為 n 的 int 類型數(shù)組，除此之外圾旨，剩下的代碼都沒有占用更多的空間踱讨，所以整段代碼的空間復(fù)雜度就是 O(n)。
• 我們常見的空間復(fù)雜度就是 O(1)砍的、O(n)痹筛、O(n2 )，像 O(logn)廓鞠、O(nlogn) 這樣的對數(shù)階復(fù)雜度平時都用不到帚稠。而且，空間復(fù)雜度分析比時間復(fù)雜度分析要簡單很多床佳。所以滋早，對于空間復(fù)雜度，掌握剛我說的這些內(nèi)容已經(jīng)足夠了砌们。

5 內(nèi)容小結(jié)

• 復(fù)雜度也叫漸進(jìn)復(fù)雜度杆麸，包括時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度，用來分析算法執(zhí)行效率與數(shù)據(jù)規(guī)模之間的增長關(guān)系浪感，可以粗略地表示昔头，越高階復(fù)雜度的算法，執(zhí)行效率越低影兽。
• 常見的復(fù)雜度并不多揭斧，從低階到高階有：O(1)、O(logn)峻堰、O(n)讹开、O(nlogn)、O(n2 )茧妒。

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