前言：線性代數(shù)的重點(diǎn)
將分為兩種情況
- 齊次
- 非齊次
0X00 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系
齊次線性方程我們說(shuō)過(guò)很多次，這次我們要說(shuō)的是更普通的齊次線性方程秉颗，不是方陣，就是普通的矩陣
接下來(lái)我們來(lái)求解這個(gè)
其中 （一維列向量）稱做
解向量
當(dāng)方程出現(xiàn)非零解的時(shí)候送矩，既有無(wú)窮多解的時(shí)候：
解集 最大無(wú)關(guān)組
基礎(chǔ)解系
故有：
問(wèn)題的關(guān)鍵在于：
- 如何求
基礎(chǔ)解系 -
基礎(chǔ)解析包含多少個(gè)向量
我們來(lái)做一道題目：
我們先得到系數(shù)矩陣 A 的秩： 由于有 4 個(gè)未知量蚕甥，所以
基礎(chǔ)解系中包含 4 - 2 = 2個(gè)向量
此時(shí)可以將原方程組用行階梯形矩陣表示：
我們把兩個(gè)方程中的共同變量（）取出來(lái)，分別取線性無(wú)關(guān)向量：
將 x2, x3 帶入方程中：
求得兩個(gè)解向量：
所以得到該線性方程的通解是：
以后所有的求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系都用此方法
0X01 非齊次線性方程的基礎(chǔ)解系
現(xiàn)在我們回到更一般的情況：
當(dāng)非齊次線性方程有無(wú)窮解的時(shí)候求通解
首先我們得知道該方程是不是有無(wú)窮多解栋荸，假設(shè)我們有方程 如果方程有無(wú)窮多解則：
非齊次線性方程的基礎(chǔ)通解 = 特解 + 齊次線性方程的解
現(xiàn)在我們舉一個(gè)具體的例子：
首先寫(xiě)出增廣矩陣：
經(jīng)過(guò)初等行列變化以后得到階梯矩陣：
接下來(lái)我們來(lái)求它的齊次通解（也就是將等式右邊化為 0）：
按照之前的方法菇怀，首先給出 3 個(gè)自由變?cè)?/code>的取值：
帶入求得三個(gè)齊次方程的解向量
最后我們求原來(lái)線性方程的特解：
特解的方法很簡(jiǎn)單就是將之前在解齊次方程設(shè)置的自由變?cè)?/code>設(shè)為 0 就行，我們之前設(shè)置的是 晌块，得到一個(gè)特解：
最后我們得到原線性方程的通解：
特解 + 齊次線性方程的解 =
