數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法(14)-二叉樹

1. 二叉樹的實(shí)現(xiàn)分析

問題思考：如何存儲(chǔ)一棵完全二叉樹夯膀？
結(jié)果：使用一個(gè)數(shù)組，按照二叉樹中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置進(jìn)行存儲(chǔ)即可


完全二叉樹的存儲(chǔ)圖示.png

如果不是一顆完全二叉樹則在使用數(shù)組存儲(chǔ)的時(shí)候就要將沒有節(jié)點(diǎn)的位置置空舒萎，如下圖所示，當(dāng)一棵樹是斜樹的時(shí)候就會(huì)浪費(fèi)很多存儲(chǔ)空間，所以如果是斜樹使用鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)會(huì)更好一些莲祸，如果是一顆完全二叉樹則使用數(shù)組存儲(chǔ)是非常完美的。


一般樹的存儲(chǔ)圖示.png

2. 二叉樹的順序存儲(chǔ)實(shí)現(xiàn)

2.1 準(zhǔn)備條件

我們在實(shí)現(xiàn)順序存儲(chǔ)的二叉樹的時(shí)候椭迎，只需要一個(gè)數(shù)組即可锐帜，所以我們設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)組來存儲(chǔ)二叉樹。

代碼實(shí)現(xiàn)：

#include <stdio.h>
#include "stdlib.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define MAXSIZE 100 /* 存儲(chǔ)空間初始分配量 */
#define MAX_TREE_SIZE 100 /* 二叉樹的最大結(jié)點(diǎn)數(shù) */

typedef int Status;        /* Status是函數(shù)的類型,其值是函數(shù)結(jié)果狀態(tài)代碼畜号，如OK等 */
typedef int CElemType;      /* 樹結(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)類型缴阎，目前暫定為整型 */
typedef CElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; /* 0號(hào)單元存儲(chǔ)根結(jié)點(diǎn)  */
CElemType Nil = 0;   /*設(shè)整型以0為空 或者以 INT_MAX(65535)*/

// 節(jié)點(diǎn)的層和每層中的位置
typedef struct {
    int level; //結(jié)點(diǎn)層
    int order; //本層的序號(hào)(按照滿二叉樹給定序號(hào)規(guī)則)
} Position;

2.2 初始化并創(chuàng)建二叉樹

初始化一個(gè)二叉樹則需要將存儲(chǔ)這個(gè)二叉樹的所有節(jié)點(diǎn)置空即可，與清空一致简软。

代碼實(shí)現(xiàn)：

/// 初始化一個(gè)二叉樹
/// @param T 樹
Status InitBiTree(SqBiTree T) {
    // 將所有節(jié)點(diǎn)置空
    for (int i = 0; i<MAX_TREE_SIZE; i++) {
        T[i] = Nil;
    }
    return OK;
}

// 在順序存儲(chǔ)中清空和初始化的操作是一樣的
#define ClearBiTree InitBiTree

我們這里的創(chuàng)建一個(gè)二叉樹就是能夠自動(dòng)給樹創(chuàng)建一些節(jié)點(diǎn)蛮拔，方便后續(xù)的測試，這里默認(rèn)添加10個(gè)節(jié)點(diǎn)痹升，在添加的時(shí)候做了一個(gè)判斷建炫，當(dāng)前節(jié)點(diǎn)不為空，但其父節(jié)點(diǎn)為空則直接報(bào)錯(cuò)（根節(jié)點(diǎn)除外）疼蛾，其實(shí)我們這里判斷這個(gè)有點(diǎn)多余肛跌，我們是按照完全二叉樹的樣子去創(chuàng)建的，但是如果在我們手動(dòng)輸入的時(shí)候難免會(huì)有錯(cuò)察郁，所以多加些判斷衍慎。

代碼實(shí)現(xiàn)：

/// 創(chuàng)建一個(gè)樹（按照完全二叉樹初始化）
/// @param T 樹
Status CreateBiTree(SqBiTree T) {
    int i = 0;
    while (i<10) {// 添加10個(gè)節(jié)點(diǎn)
        T[i] = i+1;
        // 如果該節(jié)點(diǎn)不是根節(jié)點(diǎn)，但有值皮钠，而且其父節(jié)點(diǎn)沒值稳捆，則報(bào)錯(cuò)（防止手動(dòng)插入的時(shí)候犯錯(cuò)）
        if (i!=0 && T[i] != Nil && T[(i+1)/2-1] == Nil) {
            printf("出現(xiàn)無雙親的非根結(jié)點(diǎn)%d\n",T[i]);
            exit(0);
        }
        i++;
    }
    // 將其余節(jié)點(diǎn)置空
    while (i<MAX_TREE_SIZE) {
        T[i] = Nil;
        i++;
    }
    
    return OK;
}

2.3 判斷二叉樹是否為空樹

樹最重要的就是根，沒有根就沒有樹鳞芙，所以二叉樹的根節(jié)點(diǎn)為空則二叉樹就是空樹眷柔。
代碼實(shí)現(xiàn)：

// 判斷樹是否為空，只需要判斷根節(jié)點(diǎn)即可原朝，根節(jié)點(diǎn)都沒有指定為空
Status BiTreeIsEmpty(SqBiTree T) {
    
    if (T[0] == Nil) {
        return TRUE;
    } else {
        return FALSE;
    }
}

2.4 計(jì)算二叉樹的深度

要想計(jì)算二叉樹的深度就要找到最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)驯嘱，所以我們在順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)中通過從后往前遍歷的方法找到的第一個(gè)有值的節(jié)點(diǎn)就是該二叉樹的最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)。

根據(jù)二叉樹的節(jié)點(diǎn)規(guī)則喳坠，當(dāng)2的當(dāng)前深度的次冪超過剛才找到的位置時(shí)就找到了該二叉樹的深度鞠评。
代碼實(shí)現(xiàn)：

/// 二叉樹的深度
/// @param T 樹
int BiTreeDepth(SqBiTree T){
    int j = -1;
    // 如果樹為空則返回-1
    if (BiTreeIsEmpty(T)) { return j; }
    
    int i;
    for (i = MAX_TREE_SIZE-1; i>=0; i--) {
        if (T[i] != Nil) {
            break;
        }
    }
    
    do {
        j++;
    } while (pow(2, j) <= i); //計(jì)算2的次冪
    
    return 0;
}

2.5 給定位置賦值

賦值操作首先要根據(jù)層號(hào)和序號(hào)找到需要賦值的位置，然后需要判斷該位置是否合法壕鹉，合法后給該位置賦值剃幌。

代碼實(shí)現(xiàn)：

/// 給特定位置的節(jié)點(diǎn)賦值
/// @param T 樹
/// @param p 位置
/// @param e 值
Status setValue(SqBiTree T, Position p, CElemType e) {
    
    // 找到位置
    int i = (int)pow(2, p.level-1) + p.order - 2;
    
    // 判斷要賦值的位置的父節(jié)點(diǎn)是否為空
    if (T[(i+1)/2-1] == Nil && e != Nil) {
        return ERROR;
    }
    
    // 判斷要賦值的位置的子節(jié)點(diǎn)是否有值
    if ((T[i*2+1] != Nil || T[i*2+1] != Nil) && e !=Nil) {
        return ERROR;
    }
    
    // 賦值
    T[i] = e;
    
    return OK;
}

2.6 獲取根節(jié)點(diǎn)的值和指定位置的值

  • 根節(jié)點(diǎn)
    代碼實(shí)現(xiàn)： 
/// 獲取跟節(jié)點(diǎn)的值
/// @param T 樹
/// @param e 值存儲(chǔ)
Status Root(SqBiTree T,CElemType *e){
    if (BiTreeIsEmpty(T)) {
        return ERROR;
    }
    
    *e = T[0];
    return OK;
}
  • 其他節(jié)點(diǎn)

根據(jù)傳入的層號(hào)和該層序號(hào)找到此值的位置聋涨，返回即可

代碼實(shí)現(xiàn)：

/// 獲取給定位置的值
/// @param T 樹
/// @param p 位置
CElemType getValue(SqBiTree T, Position p) {
    
    // 打印層
    printf("要獲取的層號(hào)是：%d\n", (int)pow(2, p.level-1));
    // 打印序號(hào)
    printf("該層的序號(hào)是 %d\n", p.order);
    // 返回
    return T[(int)pow(2, p.level-1)+p.order-2];
}

2.7 獲取某節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)

獲取雙親節(jié)點(diǎn)只需找到該節(jié)點(diǎn)，按照二叉樹節(jié)點(diǎn)的規(guī)則负乡，返回其雙親節(jié)點(diǎn)即可

/// 獲取某個(gè)節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)
/// @param T 樹
/// @param e 節(jié)點(diǎn)值
CElemType GetParent(SqBiTree T, CElemType e){
    // 判斷樹是否為空
    if (T[0] == Nil) { return Nil; }
    // 遍歷找到值所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)牍白，根節(jié)點(diǎn)沒有雙親節(jié)點(diǎn)，所以從1開始
    for (int i = 1; i<MAXSIZE; i++) {
        if (T[i] == e) {
            return T[(i+1)/2 - 1];
        }
    }
    
    return Nil;
}

2.8 獲取某節(jié)點(diǎn)的孩子節(jié)點(diǎn)（左右）

很簡單抖棘，只需找到相應(yīng)節(jié)點(diǎn)茂腥，然后根據(jù)規(guī)則查找左右孩子即可。

代碼實(shí)現(xiàn)：

/// 獲取某個(gè)節(jié)點(diǎn)的左孩子
/// @param T 樹
/// @param e 節(jié)點(diǎn)值
CElemType getLeftChild(SqBiTree T, CElemType e) {
    // 樹空判斷
    if (T[0]==Nil) { return Nil; }
    
    // 找到e的位置
    for (int i=0; i<MAXSIZE-1; i++) {
        if (T[i]==e) {
            return T[i*2+1];
        }
    }
    
    return  Nil;
}

/// 獲取某個(gè)節(jié)點(diǎn)的右孩子
/// @param T 樹
/// @param e 節(jié)點(diǎn)值
CElemType getRightChild(SqBiTree T, CElemType e) {
    // 樹空判斷
    if (T[0]==Nil) { return Nil; }
    
    // 找到e的位置
    for (int i=0; i<MAXSIZE-1; i++) {
        if (T[i]==e) {
            return T[i*2+2];
        }
    }
    
    return  Nil;
}

2.9 獲取某節(jié)點(diǎn)的兄弟節(jié)點(diǎn)（左右）

首先根據(jù)節(jié)點(diǎn)值找到節(jié)點(diǎn)切省，如果是找做兄弟則該節(jié)點(diǎn)必須是個(gè)右節(jié)點(diǎn)最岗，反之也是。


/// 獲取某個(gè)節(jié)點(diǎn)的左兄弟
/// @param T 樹
/// @param e 節(jié)點(diǎn)值
CElemType GetLeftSibling(SqBiTree T, CElemType e){
    
    // 樹空判斷
    if (T[0]==Nil) { return Nil; }
    
    // 找到e的位置
    for (int i=1; i<MAXSIZE-1; i++) {
        // 值相等朝捆，并且找到的位置是右孩子般渡，不然沒有左兄弟
        if (T[i]==e && i%2==0) {
            return T[i-1];
        }
    }
    
    return Nil;
}

/// 獲取某個(gè)節(jié)點(diǎn)的右兄弟
/// @param T 樹
/// @param e 節(jié)點(diǎn)值
CElemType GetRightSibling(SqBiTree T, CElemType e){
    
    // 樹空判斷
    if (T[0]==Nil) { return Nil; }
    
    // 找到e的位置
    for (int i=1; i<MAXSIZE-1; i++) {
        // 值相等，并且找到的位置是左孩子芙盘，不然沒有右兄弟
        if (T[i]==e && i%2==1) {
            return T[i+1];
        }
    }
    
    return Nil;
}

3. 二叉樹的遍歷

3.1 前序遍歷

前序遍歷（DLR/NLR）驯用，是二叉樹遍歷的一種，也叫做先序遍歷儒老。前序遍歷首先訪問根結(jié)點(diǎn)然后遍歷左子樹晨汹，最后遍歷右子樹。

前序遍歷.png

遍歷結(jié)果為：ABCDGHCEIF

實(shí)現(xiàn)代碼：

/// 前序遍歷
/// @param T 樹
/// @param e 節(jié)點(diǎn)
void PreTraverse(SqBiTree T, int e) {
    // 打印節(jié)點(diǎn)
    printf("%d ",T[e]);
    
    // 前序遍歷左子樹
    if (T[2*e+1] != Nil) {
        PreTraverse(T, 2*e+1);
    }
    
    // 前序遍歷右子樹
    if (T[2*e+2] != Nil) {
        PreTraverse(T, 2*e+2);
    }
}

/// 前序遍歷封裝
/// @param T 樹
Status PreOrderTraverse(SqBiTree T){
    
    //樹不為空
    if (!BiTreeIsEmpty(T)) {
        PreTraverse(T, 0);
    }
    printf("\n");
    return  OK;
}

3.2 中序遍歷

中序遍歷（LDR/LNR）是二叉樹遍歷的一種贷盲。在二叉樹中，中序遍歷首先遍歷左子樹剥扣，然后訪問根結(jié)點(diǎn)巩剖，最后遍歷右子樹。

中序遍歷.png

遍歷結(jié)果為：GDHBAEICF

實(shí)現(xiàn)代碼：

/// 中序遍歷
/// @param T 樹
/// @param e 節(jié)點(diǎn)
void InTraverse(SqBiTree T, int e){
    // 如果傳入節(jié)點(diǎn)的左子樹不為空就一直尋找
    if (T[2*e+1] != Nil) {
        InTraverse(T, 2*e+1);
    }
    // 打印節(jié)點(diǎn)
    printf("%d ",T[e]);
    
    // 如果右子樹也不為空則從該節(jié)點(diǎn)的右子樹繼續(xù)向下遍歷
    if (T[2*e+2] != Nil) {
        InTraverse(T, 2*e+2);
    }
}

/// 中序遍歷的包裝
/// @param T 樹
Status InOrderTraverse(SqBiTree T){
    
    // 樹不為空則開始遍歷
    if (!BiTreeIsEmpty(T)) {
        InTraverse(T, 0);
    }
    printf("\n");
    return OK;
}

3.3后序遍歷

后序遍歷（LRD/LRN）二叉樹遍歷的一種钠怯。在二叉樹中佳魔，先左后右再根，即首先遍歷左子樹晦炊，然后遍歷右子樹鞠鲜，最后訪問根結(jié)點(diǎn)。

后續(xù)遍歷.png

遍歷結(jié)果為：GHDBIEFCA

實(shí)現(xiàn)代碼：

/// 后序遍歷
/// @param T 樹
/// @param e 節(jié)點(diǎn)
void PostTraverse(SqBiTree T, int e){
    // 如果傳入節(jié)點(diǎn)的左子樹不為空就一直尋找
    if (T[2*e+1] != Nil) {
        PostTraverse(T, 2*e+1);
    }
    
    // 如果右子樹也不為空則從該節(jié)點(diǎn)的右子樹繼續(xù)向下遍歷
    if (T[2*e+2] != Nil) {
        PostTraverse(T, 2*e+2);
    }
    
    // 打印節(jié)點(diǎn)
    printf("%d ",T[e]);
}

/// 后續(xù)遍歷的包裝
/// @param T 樹
Status PostOrderTraverse(SqBiTree T)
{
    if(!BiTreeIsEmpty(T)){
        PostTraverse(T,0);
    }
        
    printf("\n");
    return OK;
}

3.4 層序遍歷

層序遍歷二叉樹遍歷的一種断国。即從根節(jié)點(diǎn)開始從左至右一層一層的遍歷每個(gè)節(jié)點(diǎn)贤姆。


層序遍歷.png

遍歷結(jié)果為：ABCDEFGHI

實(shí)現(xiàn)代碼：

/// 層序遍歷
/// @param T ??
void LevelOrderTraverse(SqBiTree T) {
    // 初始化一個(gè)遍歷存儲(chǔ)值
    int i = MAX_TREE_SIZE-1;
    // 找到最后一個(gè)有值的
    while (T[i] == Nil) { i--; }
    // 遍歷打印
    for (int j = 0; j<=i; j++) {
        if (T[j] != Nil) {
            printf("%d ", T[j]);
        }
    }
    printf("\n");
}

4 二叉樹的鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)實(shí)現(xiàn)

詳細(xì)細(xì)節(jié)見注釋，主要通過插入的時(shí)候進(jìn)行前序方法進(jìn)行設(shè)計(jì)稳衬，使用'#'作為判斷到達(dá)葉子節(jié)點(diǎn)的條件霞捡，來實(shí)現(xiàn)葉子節(jié)點(diǎn)的置空操作。
代碼實(shí)現(xiàn)：


#include <stdio.h>
#include "string.h"
#include "stdlib.h"
#include "math.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

/* 存儲(chǔ)空間初始分配量 */
#define MAXSIZE 100
/* Status是函數(shù)的類型,其值是函數(shù)結(jié)果狀態(tài)代碼薄疚，如OK等 */
typedef int Status;

char *chars;
int indexs = 0;

typedef char CElemType;
CElemType Nil=' '; /* 字符型以空格符為空 */
typedef struct BiTNode  /* 結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu) */
{
    CElemType data;        /* 結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù) */
    struct BiTNode *lchild,*rchild; /* 左右孩子指針 */
}BiTNode,*BiTree;


/// 初始化
/// @param T 樹
Status InitBiTree(BiTree *T) {
    *T = NULL;
    return OK;
}

/// 創(chuàng)建一棵鏈?zhǔn)綐?/// @param T 樹
void CreateBiTree(BiTree *T){
    // 使用一個(gè)全局?jǐn)?shù)組來實(shí)現(xiàn)初始化的插入
    CElemType c = chars[indexs++];
    printf("%c ", c);
    /*
     1.如果第一個(gè)節(jié)點(diǎn)就是占位的則樹就是空的
     2.由于葉子節(jié)點(diǎn)沒有孩子碧信，為了占有其左右孩子指針赊琳，通過#來判斷，
     如遇#其孩子指針為空
     3.通過#號(hào)來結(jié)束插入砰碴，初始化構(gòu)建的時(shí)候需要設(shè)計(jì)好順序
     
     */
    if (c == '#') {
        *T = NULL;
    } else {
        *T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        // 如果沒創(chuàng)建成功就報(bào)錯(cuò)
        if (!*T) { exit(OVERFLOW); }
        // 賦值
        (*T)->data = c;
        // 構(gòu)造左子樹
        CreateBiTree(&(*T)->lchild);
        // 構(gòu)造右子樹
        CreateBiTree(&(*T)->rchild);
    }
}

/// 判斷是否是空樹
/// @param T 樹
Status BiTreeIsEmpty(BiTree T)
{
    if (T == NULL) {
        return TRUE;
    } else {
        return FALSE;
    }
}

/// 獲取根節(jié)點(diǎn)的值
/// @param T 樹
CElemType GetRoot(BiTree T) {
    if (BiTreeIsEmpty(T)) {
        return Nil;
    }
    return T->data;
}

/// 銷毀二叉樹
/// @param T 樹
void DestroyBiTree(BiTree *T){
    // 空就不銷毀了
    if (*T) {
        // 銷毀左孩子
        if ((*T)->lchild) {
            DestroyBiTree(&(*T)->lchild);
        }
        
        // 銷毀右孩子
        if ((*T)->lchild) {
            DestroyBiTree(&(*T)->rchild);
        }
        // 釋放根節(jié)點(diǎn)
        free(*T);
        // 置空
        *T = NULL;
    }
}


/// 二叉樹深度
/// @param T 樹
int BiTreeDepth(BiTree T){
    
    /*
     由于存在左子樹和右子樹躏筏，那個(gè)最深需要比較一下
     */
    
    int i,j;
    // 計(jì)算左孩子的深度
    if (T->lchild) {
        i = BiTreeDepth(T->lchild);
    } else { i=0; }//沒有左子樹i為0
    
    // 計(jì)算有子樹的深度
    if (T->rchild) {
        j = BiTreeDepth(T->rchild);
    } else { j=0; }//沒有左子樹i為0
    
    return i>j?i+1:j+1;
}

/// 獲取某個(gè)節(jié)點(diǎn)的值
/// @param p 節(jié)點(diǎn)
CElemType GetValue(BiTree p) {
    return p->data;
}

/// 設(shè)置某個(gè)節(jié)點(diǎn)的值
/// @param p 節(jié)點(diǎn)
/// @param value 值
void SetValue(BiTree p,CElemType value){
    p->data = value;
}

/// 前序遍歷
/// @param T 二叉樹
void PreOrderTraverse(BiTree T){
    // 非空判斷
    if (T==NULL) { return; }
    // 打印
    printf("%c ", T->data);
    // 遍歷左子樹
    PreOrderTraverse(T->lchild);
    // 遍歷右子樹
    PreOrderTraverse(T->rchild);
}

/// 中序遍歷
/// @param T 二叉樹
void InOrderTraverse(BiTree T){
    // 非空判斷
    if (T==NULL) { return; }
    // 遍歷左子樹
    InOrderTraverse(T->lchild);
    // 打印
    printf("%c ", T->data);
    // 遍歷右子樹
    InOrderTraverse(T->rchild);
}

/// 后序遍歷
/// @param T 二叉樹
void PostOrderTraverse(BiTree T){
    // 非空判斷
    if (T==NULL) { return; }
    // 遍歷左子樹
    PostOrderTraverse(T->lchild);
    // 遍歷右子樹
    PostOrderTraverse(T->rchild);
    // 打印
    printf("%c ", T->data);
}



int main(int argc, const char * argv[]) {
    // insert code here...

    BiTree T;
    
    InitBiTree(&T);
    chars = "ABDH#K###E##CFI###G#J##";
    CreateBiTree(&T);
    
    printf("二叉樹是否為空%d\n", BiTreeIsEmpty(T));
    printf("樹的深度是%d\n", BiTreeDepth(T));
    printf("樹根的值是%c\n", GetRoot(T));
    
    printf("\n前序遍歷二叉樹:");
    PreOrderTraverse(T);
    
    printf("\n中序遍歷二叉樹:");
    InOrderTraverse(T);
    
    printf("\n后序遍歷二叉樹:");
    PostOrderTraverse(T);
    
    printf("\n");
    
    return 0;
}
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