高級(jí)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 10：大樣本OLS(下)

此文內(nèi)容為《高級(jí)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)及STATA應(yīng)用》的筆記麻捻，陳強(qiáng)老師著篮愉，高等教育出版社出版浮创。

我只將個(gè)人會(huì)用到的知識(shí)作了筆記诊沪，并對(duì)教材較難理解的部分做了進(jìn)一步闡述养筒。為了更易于理解，我還對(duì)教材上的一些部分（包括代碼和正文）做了修改端姚。

僅供學(xué)習(xí)參考晕粪，請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載，侵刪渐裸！

5 大樣本OLS
- 5.7 大樣本OLS的假定
  - 5.7.1 線性假定
  - 5.7.2 漸近獨(dú)立的平穩(wěn)過(guò)程
  - 5.7.3 前定解釋變量
  - 5.7.4 秩條件
  - 5.7.5 鞅差分序列
  - 5.7.6 解釋變量四階矩存在
- 5.8 OLS的大樣本性質(zhì)
  - 5.8.1 $\pmb b$ 為一致估計(jì)量
  - 5.8.2 $\pmb b$ 位漸近正態(tài)
  - 5.8.3 ${\rm Avar}(\pmb b)$ 的一致估計(jì)
- 5.9 線性假設(shè)的大樣本檢驗(yàn)
  - 5.9.1 單個(gè)系數(shù)的檢驗(yàn)
  - 5.9.2 線性假設(shè)的檢驗(yàn)

$\S \text{ 第 5 章 } \S$

$\text{大樣本OLS}$

5 大樣本OLS

5.7 大樣本OLS的假定

5.7.1 線性假定

$y_i = \pmb x_i^\prime \pmb \beta + \varepsilon_i$

5.7.2 漸進(jìn)獨(dú)立的平穩(wěn)過(guò)程（ergodic stationarity）

$(K+1)$ 維隨機(jī)過(guò)程 $\{y_i,\pmb x_i\}$ 是漸進(jìn)獨(dú)立的平穩(wěn)過(guò)程

5.7.3 前定解釋變量（predetermined regressors）

所有解釋變量均前定（predetermined）巫湘，這就意味著他們與同期的擾動(dòng)項(xiàng)正交，即 ${\rm E}(x_{ik}\varepsilon_i)=0$ 昏鹃， $\forall i,k$ 尚氛。由于方程通常都有常數(shù)項(xiàng)，所以總可以假設(shè) ${\rm E}(\varepsilon_i)=0$ 洞渤，故：
${\rm Cov}(x_{ik}\varepsilon_i) = {\rm E}(x_{ik}\varepsilon_i) - {\rm E}(x_{ik})\underbrace{{\rm E}(\varepsilon_i)}_{=0} = 0 - 0 = 0$

這個(gè) ${\rm E}(\varepsilon_i)=0$ 的假設(shè)跟嚴(yán)格外生性 ${\rm E}(\varepsilon_i|{\bf X})=0$ 是不一樣的阅嘶，后者可以推出前者

這意味著 $x_{ik}$ 與同期的擾動(dòng)項(xiàng) $\varepsilon_i$ 不相關(guān)，就好像 $\varepsilon_i$ 產(chǎn)生以前载迄， $x_{ik}$ 就已經(jīng)被確定了一樣讯柔，故名前定解釋變量。如果定義：
$\pmb g_i \equiv \pmb x_i \varepsilon_i = \left( \begin{array}{c} x_{i1} \\ \vdots\\x_{iK} \end{array} \right) \varepsilon_i$
那么我們就有：
${\rm E}(\pmb g_i) \equiv {\rm E}(\pmb x_i \varepsilon_i)= \pmb 0$
這一點(diǎn)比小樣本的嚴(yán)格外生性的要求更低护昧，因?yàn)楹笳咭? $\varepsilon_i$ 與過(guò)去魂迄、現(xiàn)在、未來(lái)的所有 $\pmb x_j,\forall j = 1,\cdots,n$ 都不相關(guān)捏卓；而現(xiàn)在只要求 $\varepsilon_i$ 與現(xiàn)在的 $\pmb x_i$ 不相關(guān)即可极祸！

5.7.4 秩條件

$K \times K$ 階矩陣 ${\rm E}(\pmb x_i \pmb x_i^\prime)$ 為非退化矩陣，從而 $\left[{\rm E}(\pmb x_i \pmb x_i^\prime)\right]^{-1}$ 存在怠晴，這保證了 $\pmb S_{XX}^{-1}$ 存在

5.7.5 鞅差分序列

要求 $\pmb g_i$ 是一個(gè)鞅差分序列遥金，而且其協(xié)方差矩陣
$\pmb S \equiv {\rm Cov}(\pmb g_i) \equiv{\rm E}(\pmb g_i \pmb g_i^\prime)-\underbrace{{\rm E}(\pmb g_i){\rm E}(\pmb g_i^\prime)}_{=\pmb 0} = {\rm E}(\varepsilon^2_i\pmb x_i \pmb x_i^\prime)$
是一個(gè)非退化矩陣。

這個(gè)假設(shè)比 5.7.3 的假設(shè)更強(qiáng)蒜田。前定解釋變量保證了 $\pmb b$ 是一致估計(jì)量稿械，而鞅差分序列則進(jìn)一步地保證了其漸進(jìn)正態(tài)

5.7.6 解釋變量的四階矩存在

這是一個(gè)數(shù)學(xué)技巧的假定，不用太在意冲粤。即 $\forall i,j,k$ 美莫， ${\rm E}[x_{ik}x_{ij}]$ 存在且有限

我們發(fā)現(xiàn)页眯，在上面的假定中，我們相比于小樣本OLS厢呵，放松了：

嚴(yán)格外生性 -> 前定解釋變量

正態(tài)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) -> 獨(dú)立平穩(wěn)窝撵、鞅差分序列

這比小樣本OLS的條件放寬了太多

5.8 OLS的大樣本性質(zhì)

為了便于使用漸近理論，我們需把估計(jì)量 $\pmb b$ 寫(xiě)成 $\{y_i, \pmb x_i\}$ 的函數(shù)襟铭。由于：
$\pmb b = ({\bf X'X})^{-1}{\bf X'}\pmb y$
于是我們把 ${\bf X'X}$ 劃為一組碌奉， ${\bf X}'\pmb y$ 劃為另外一組，并定義：
$\pmb b = \left(\frac{{\bf X'X}}{n}\right)^{-1} \frac{{\bf X'}\pmb y}{n} = \pmb S_{XX}^{-1} S_{Xy}$
其中寒砖，由于數(shù)據(jù)矩陣 $\bf X$ 的結(jié)構(gòu)是：
${\bf X} \equiv \left( \begin{array}{c} \pmb x_1^\prime \\ \pmb x_2^\prime \\ \vdots\\\pmb x_n^\prime \end{array} \right)$
所以 $\pmb S_{XX}$ 就是：
$\pmb S_{XX} \equiv \frac{1}{n} {\bf X'X} = \frac{1}{n} (\pmb x_1 \cdots \pmb x_n) \cdot \left( \begin{array}{c} \pmb x_1^\prime \\ \vdots\\\pmb x_n^\prime \end{array} \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \pmb x_i \pmb x_i^\prime$
同理 $\pmb S_{Xy}$ 就是：
$\pmb S_{Xy} \equiv \frac{1}{n} {\bf X}^\prime \pmb y =\frac{1}{n} (\pmb x_1 \cdots \pmb x_n) \cdot \left( \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots\\ y_n \end{array} \right) =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \pmb x_i y_i$

5.8.1 $\pmb b$ 為一致估計(jì)量

在假設(shè) 5.7.1 到 5.7.4 （不包括 $\pmb g_i$ 是鞅差分序列的情況下）下赐劣，有：
$\mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty} \pmb b = \pmb \beta$

證明：抽樣誤差可以寫(xiě)為
$\pmb b - \pmb \beta = A \pmb \varepsilon = ({\bf X'X})^{-1}{\bf X'}\pmb \varepsilon = \left(\frac{\sum\limits_{i=1}^n \pmb x_i \pmb x_i^\prime}{n}\right)^{-1} \frac{{\bf X'}\pmb \varepsilon}{n} = \pmb S_{XX}^{-1} \bar{\pmb g}$
其中， $\bar{\pmb g} = \frac{{\bf X'}\pmb \varepsilon}{n}$ 是 $\pmb g = (\pmb g_1 \cdots \pmb g_n)$ 的“均值”哩都。我們的目標(biāo)是證明 $\pmb S_{XX}^{-1} \bar{\pmb g} \stackrel{p}\longrightarrow \pmb 0$ 魁兼，所以證明的思路是分別求 $\pmb S_{XX}^{-1}$ 和 $\bar{\pmb g}$ 分別依概率收斂到什么。

假定 5.7.2 意味著隨機(jī)序列 $\{\pmb x_i \pmb x_i^\prime\}$ 也是一個(gè)漸進(jìn)獨(dú)立的平穩(wěn)序列漠嵌，所以根據(jù)漸進(jìn)獨(dú)立定理：

如果 $\{x_i\}_{i=1}^\infty$ 漸進(jìn)獨(dú)立且平穩(wěn)咐汞，那么樣本矩依概率收斂到總體矩

$\pmb S_{XX} \equiv \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \pmb x_i \pmb x_i^\prime \stackrel{p}\longrightarrow {\rm E}(\pmb x_i \pmb x_i^\prime )$

假定 5.7.4 意味著 $\left[{\rm E}(\pmb x_i \pmb x_i^\prime )\right]^{-1}$ 存在，所以：
$\pmb S_{XX}^{-1} \stackrel{p}\longrightarrow \left[{\rm E}(\pmb x_i \pmb x_i^\prime )\right]^{-1}$
另外献雅，由于 $\pmb g_i \equiv \pmb x_i\varepsilon_i = \pmb x_i - (y_i - \pmb x_i \pmb \beta)$ 是 $\pmb x_i$ 和 $y_i$ 的函數(shù)碉考。而 $\{y_i, \pmb x_i\}$ 是一個(gè)漸進(jìn)獨(dú)立的平穩(wěn)序列，從而 $\{\pmb g_i\}_{i=1}^\infty$ 也是一個(gè)漸進(jìn)獨(dú)立的平穩(wěn)序列挺身，于是假定 5.7.3 意味著：
$\bar{\pmb g} \equiv \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \pmb g_i \stackrel{p}\longrightarrow {\rm E}(\pmb g_i) \equiv {\rm E}(\pmb x_i \varepsilon_i)= \pmb 0$
所以我們發(fā)現(xiàn)：
$\pmb b - \pmb \beta = \pmb S_{XX}^{-1} \bar{\pmb g} \stackrel{p}\longrightarrow \left[{\rm E}(\pmb x_i \pmb x_i^\prime )\right]^{-1} \cdot \pmb 0 = \pmb 0$
于是：
$\mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty} (\pmb b -\pmb \beta) = \pmb 0 \Rightarrow \mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty} \pmb b =\pmb \beta$
證畢。

5.8.2 $\pmb b$ 為漸近正態(tài)

如果把 假定5.7.3（ ${\rm E}(\pmb g_i) = 0$ ）強(qiáng)化為 假定5.7.5（ $\{\pmb g_i\}是\rm MDS$ ）锌仅，那么 $\pmb b$ 是漸近正態(tài)分布：
$\sqrt{n}(\pmb b - \pmb \beta) \stackreltrzzptt\longrightarrow N(0,{\rm Avar}(\pmb b))$
其中 ${\rm Avar}(\pmb b)$ 是 $\pmb b$ 的漸近方差：
${\rm Avar}(\pmb b) = \left[{\rm E}(\pmb x_i \pmb x_i^\prime )\right]^{-1} \pmb S \left[{\rm E}(\pmb x_i \pmb x_i^\prime )\right]^{-1}$
其中 $\pmb S$ 是 $\pmb g_i$ 的協(xié)方差矩陣：
$\pmb S \equiv {\rm Cov}(\pmb g_i) \equiv{\rm E}(\pmb g_i \pmb g_i^\prime)-\underbrace{{\rm E}(\pmb g_i){\rm E}(\pmb g_i^\prime)}_{=\pmb 0} = {\rm E}(\varepsilon^2_i\pmb x_i \pmb x_i^\prime)$

證明：由于我們知道：
$\pmb{b-\beta} = \pmb S_{XX}^{-1} \bar{\pmb g}$
所以
$\sqrt{n}(\pmb{b-\beta}) = \pmb S_{XX}^{-1}(\sqrt{n} \bar{\pmb g})$
根據(jù) 假定5.7.5 章钾， $\pmb g_i$ 是鞅差分序列，于是根據(jù)鞅差分序列的中心極限定理热芹，我們有：

漸近獨(dú)立的平穩(wěn)的鞅差分序列 $\{\pmb g_i\}_{i=1}^\infty$ 的樣本均值以 $\sqrt{n}$ 的速度依分布收斂為均值為 $\pmb 0$ 協(xié)方差矩陣為 ${\rm Cov}(\pmb g_i)$ 的正態(tài)分布

$\bar{\pmb g} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \pmb g_i \Rightarrow \sqrt{n} \bar{\pmb g} \stackrel11trfdp\longrightarrow N(\pmb 0,\pmb S)$

由于 $\sqrt{n}(\pmb{b-\beta}) = \pmb S_{XX}^{-1}(\sqrt{n} \bar{\pmb g})$ 是 $\sqrt{n} \bar{\pmb g}$ 的線性組合贱傀，所以它也會(huì)以 $\sqrt{n}$ 的速度依分布收斂為正態(tài)分布：
$\sqrt{n}(\pmb{b-\beta}) = \pmb S_{XX}^{-1}(\sqrt{n} \bar{\pmb g}) \stackrel9t5bfhr\longrightarrow N(\pmb0,{\rm Avar}(\pmb b))$
根據(jù)漸近正態(tài)的定義，那么 $\sqrt{n}(\pmb{b-\beta})$ 是漸近正態(tài)的伊脓。接下來(lái)我們計(jì)算 ${\rm Avar}(\pmb b)$ ：

由于 $\sqrt{n}(\pmb{b-\beta}) = \pmb S_{XX} (\sqrt{n}\bar{\pmb g})$ 府寒，因此：
${\rm Avar}(\pmb b) = {\rm Var}\left[\sqrt{n}(\pmb{b-\beta})\right] = {\rm Var}\left[(\pmb S_{XX}(\sqrt{n}\bar{\pmb g})\right]$
使用夾心估計(jì)量，
${\rm Var}\left[(\pmb S_{XX}(\sqrt{n}\bar{\pmb g})\right]) = \pmb S_{XX} {\rm Var}(\sqrt{n}\bar{\pmb g}) \pmb S_{XX}^\prime$
那么在 $n\to \infty$ 時(shí)报腔， $\pmb S_{XX}$ 和 ${\rm Var}(\sqrt{n}\bar{\pmb g})$ 分別收斂：
${\rm Avar}(\pmb株搔) = {\rm E}(\pmb x_i \pmb x_i^\prime ) S [{\rm E}(\pmb x_i \pmb x_i^\prime )]^\prime$
由于 ${\rm E}(\pmb x_i \pmb x_i^\prime )$ 是對(duì)稱陣，所以 $[{\rm E}(\pmb x_i \pmb x_i^\prime )]^\prime = {\rm E}(\pmb x_i \pmb x_i^\prime )$ 纯蛾，于是：
$\sqrt{n}(\pmb b - \pmb \beta) \stackrel1l7fd1n\longrightarrow N(0,{\rm E}(\pmb x_i \pmb x_i^\prime ) \cdot\pmb S \cdot {\rm E}(\pmb x_i \pmb x_i^\prime ))$
證畢纤房。

我們發(fā)現(xiàn)，在這里不需要假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布翻诉。這里的思路是：

我們假設(shè) $\pmb g_i = \pmb x_i \varepsilon_i$ 是漸近獨(dú)立的平穩(wěn)的鞅差分序列（假定5.7.5）
那么 $\sqrt{n}\bar{\pmb g}$ 依分布收斂到正態(tài)分布（鞅差分序列的中心極限定理）（這里是正態(tài)分布的來(lái)源）
建立起 $\sqrt{n}\pmb(b-\beta)$ 與的 $\sqrt{n}\bar{\pmb g}$ 線性關(guān)系炮姨，那么 $\sqrt{n}\pmb(b-\beta)$ 也依分布收斂到正態(tài)分布（正態(tài)分布的線性組合也是正態(tài)分布）（把要證明的目標(biāo)綁到一個(gè)正態(tài)分布上）
$\sqrt{n}\pmb(b-\beta)$ 也依分布收斂到正態(tài)分布本身就是 $\pmb b$ 漸近正態(tài)的定義
下一步要計(jì)算 $\sqrt{n}\pmb(b-\beta)$ 的方差
使用夾心估計(jì)量捌刮，并在 $n\to \infty$ 分別收斂
得證

5.8.3 ${\rm Avar}(\pmb b)$ 的一致估計(jì)

如果存在 $\hat{\pmb S}$ 是 $\pmb S$ 的一致估計(jì)量，那么 $\pmb S_{XX}^{-1} \hat{\pmb S} \pmb S_{XX}^{-1}$ 是 ${\rm Avar}(\pmb b)$ 的一致估計(jì)舒岸，即：
$\mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty} \widehat{{\rm Avar}}(\pmb b) = \mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty} \pmb S_{XX}^{-1} \hat{\pmb S} \pmb S_{XX}^{-1} = {\rm Avar}(\pmb b)$

證明：如果存在 $\hat{\pmb S} \stackrel{p}\longrightarrow \pmb S$ 绅作，已知 $\pmb S_{XX}^{-1} \equiv \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \pmb x_i \pmb x_i^\prime \stackrel{p}\longrightarrow \left[{\rm E}(\pmb x_i \pmb x_i^\prime )\right]^{-1}$ ，那么很自然地就有：
$\pmb S_{XX}^{-1} \hat{\pmb S} \pmb S_{XX}^{-1} \stackrel{p}\longrightarrow \left[{\rm E}(\pmb x_i \pmb x_i^\prime )\right]^{-1} \pmb S \left[{\rm E}(\pmb x_i \pmb x_i^\prime )\right]^{-1}$
證畢蛾派。

為了求解 $\pmb S$ 的一致估計(jì)量俄认，我們要運(yùn)用 假定5.7.6 ，從而可以證明（這個(gè)證明比較難碍脏，略）：
$\mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty}\hat{\pmb S} = \mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n e_i^2\pmb x_i \pmb x_i^\prime = {\rm E}(\varepsilon^2_i\pmb x_i \pmb x_i^\prime)=\pmb S$
即 $\hat{\pmb S}$ 是 $\pmb S$ 的一致估計(jì)量梭依，其中 $\{e_i\}_{i=1}^n$ 為最小二乘法的殘差〉湮玻可以進(jìn)一步證明 $s^2$ 是 $\sigma^2$ 的一致估計(jì)役拴。

性質(zhì)： $s^2$ 是無(wú)條件方差 ${\rm E}(\varepsilon^2_i)=\sigma^2$ 的一致估計(jì)量

證明：由有關(guān)消滅矩陣的知識(shí)（見(jiàn)《高級(jí)計(jì)量5》3.3）：
$s^2 \equiv \frac{\pmb{e'e}}{n-K} = \frac{\pmb{\varepsilon'M\varepsilon}}{n-K} = \frac{\pmb{\varepsilon}^\prime \left[{\bf I}_n - {\bf X(X'X)^{-1}X'}\right] \pmb{\varepsilon}}{n-K}$
繼續(xù)計(jì)算下去：
$\begin{split} 原式 &= \frac{1}{n-K} \left[\pmb{\varepsilon}^\prime \pmb{\varepsilon} - \pmb{\varepsilon}^\prime {\bf X(X'X)^{-1}X'}\pmb{\varepsilon} \right]\\ 提一個(gè)n出來(lái)&=\frac{n}{n-K} \left[\frac{\pmb{\varepsilon}^\prime \pmb{\varepsilon}}{n} - \frac{\pmb{\varepsilon}^\prime {\bf X}}{n} \left(\frac{\bf X'X}{n}\right)^{-1} \frac{{\bf X'}\pmb{\varepsilon}}{n} \right]\\ 用定義&=\frac{n}{n-K}\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \varepsilon^2 - \bar{\pmb g}^\prime \pmb S_{XX}^{-1} \bar{\pmb g}\right] \quad (\star) \end{split}$
由于我們知道：
$\mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty} \frac{n}{n-K} = 1 ,\quad \mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \varepsilon_i^2 = {\rm E}(\sigma^2), \quad \mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty} \bar{\pmb g}^\prime \pmb S_{XX}^{-1} \bar{\pmb g} = \pmb 0 \cdot {\rm E}(\pmb x_i \pmb x_i^\prime ) \cdot \pmb 0 = 0$
其中，第二個(gè)等式運(yùn)用了 $\{\varepsilon_i\}_{i=1}^n$ 是漸近獨(dú)立的平穩(wěn)列钾埂。對(duì) $(\star)$ 求 $n \to \infty$ 就有：
$\mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty} s^2 = \mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty} \frac{n}{n-K}\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \varepsilon^2 - \bar{\pmb g}^\prime \pmb S_{XX}^{-1} \bar{\pmb g}\right] = 1 \cdot \left[ \sigma^2 - 0 \right] = \sigma^2$
即 $s^2$ 是 $\sigma^2$ 的一致估計(jì)量河闰。

證畢。

5.9 線性假設(shè)的大樣本檢驗(yàn)

5.9.1 單個(gè)系數(shù)的檢驗(yàn)

在原假設(shè) $H_0:\beta_k = \bar{\beta}_k$ 成立的條件下褥紫，我們有：
$\sqrt{n}(b_k - \bar\beta)k \stackrelpb9x9pb\longrightarrow N(0,{\rm Avar}(b_k))$
其中姜性， $b_k$ 是 $\pmb b$ 的第 $k$ 個(gè)元素，而 ${\rm Avar}(b_k)$ 是協(xié)方差矩陣 ${\rm Avar}(\pmb b)$ 的第 $(k,k)$ 個(gè)元素髓考。由于 ${\rm Avar}(\pmb b)$ 我們是未知的部念，所以考慮用它的一致估計(jì) $\widehat{\rm Avar}(\pmb b) \stackrel{p}\longrightarrow {\rm Avar}(\pmb b)$ 來(lái)替代它。那么我們可以定義 $t$ 統(tǒng)計(jì)量為：

注意氨菇，雖然叫 $t$ 統(tǒng)計(jì)量儡炼，實(shí)際上服從的是漸近正態(tài)！

$t_k \equiv \frac{\sqrt{n}(b_k-\bar{\beta}_k)}{\sqrt{\widehat{\rm Avar}(b_k)}} \stackrelhjb3xjl\longrightarrow N(0,1)$

這里的思想是簡(jiǎn)單的查蓉，回憶對(duì)任意 $X\sim(\mu,\sigma^2)$ 乌询，都有 $\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$ ，其實(shí)兩者的結(jié)構(gòu)是一樣的豌研。

當(dāng)然妹田，為了便于描述，我們可以對(duì) $t_k$ 做進(jìn)一步變形：
$t_k \equiv \frac{\sqrt{n}(b_k-\bar{\beta}_k)}{\sqrt{\widehat{\rm Avar}(b_k)}} = \frac{(b_k-\bar{\beta}_k)}{\sqrt{\frac{1}{n}\widehat{\rm Avar}(b_k)}} = \frac{b_k-\bar{\beta}_k}{{\rm SE}^\star(b_k)}\stackrel3ddtbpn \longrightarrow N(0,1)$
那么我們就定義：
${\rm SE}^\star(b_k)\equiv \sqrt{\frac{1}{n}\widehat{{\rm Avar}}(b_k)} = \sqrt{\frac{1}{n}\left(\pmb S_{XX}^{-1} \pmb{\hat S}\pmb S_{XX}^{-1} \right)_{kk}}$
為異方差穩(wěn)健的標(biāo)準(zhǔn)誤（heteroskedasticiry-consistent standard erros）鹃共，簡(jiǎn)稱穩(wěn)健的標(biāo)準(zhǔn)誤（robust standard errors）鬼佣。之所以這么稱呼，是因?yàn)橥茖?dǎo)的過(guò)程中沒(méi)有用到條件同方差的假定及汉，所以在條件異方差下也能用沮趣。

性質(zhì)：可以證明，在條件同方差的假設(shè)下坷随，穩(wěn)健的標(biāo)準(zhǔn)誤退化為普通標(biāo)準(zhǔn)誤

證明：如果假設(shè) ${\rm E}(\varepsilon_i^2|\pmb x_i)=\sigma^2>0$ （條件同方差）房铭，那么使用迭代期望定律：
$\pmb S \equiv {\rm E}(\pmb x_i^\prime \pmb x_i \varepsilon^2) = {\rm E}_{\pmb x_i} {\rm E}(\pmb x_i^\prime \pmb x_i \varepsilon^2|\pmb x_i)= {\rm E}_{\pmb x_i}[\pmb x_i^\prime \pmb x_i {\rm E}( \varepsilon^2|\pmb x_i)] = {\rm E}_{\pmb x_i}(\sigma^2 \pmb x_i^\prime \pmb x_i) = \sigma^2 {\rm E}(\pmb x_i^\prime \pmb x_i)$
我們發(fā)現(xiàn) $s^2 \stackrel{p}\longrightarrow \sigma^2$ 驻龟， $\pmb S_{XX} \stackrel{p}\longrightarrow {\rm E}(\pmb x_i \pmb x_i^\prime)$ ，所以：
$\mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty} \hat{\pmb S} =\pmb S=\sigma^2 {\rm E}(\pmb x_i^\prime \pmb x_i)=\mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty} s^2\pmb S_{XX}$
于是：
$\begin{split} \mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty} \widehat{\rm Avar}(\pmb b) &= \mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty} \pmb S_{XX}^{-1} \cdot \mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty} \pmb{\hat S}\cdot \mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty}\pmb S_{XX}^{-1} \\ &= \mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty} \pmb S_{XX}^{-1}\cdot \mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty}(s^2\pmb S_{XX})\cdot\mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty} \pmb S_{XX}^{-1}\\ &= \mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty} \pmb S_{XX}^{-1}\cdot (s^2\pmb S_{XX})\cdot\pmb S_{XX}^{-1}\\ &=\mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty} ns^2({\bf X'X})^{-1} \end{split}$

寫(xiě)這么多 $\mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty}$ 一方面是為了裝逼

但更重要的是讓你看明白這個(gè)代換是怎么來(lái)的??

一定一定不要錯(cuò)過(guò) $\mathop{\rm plim}\limits_{n \to \infty}$ 的細(xì)節(jié)缸匪！

于是：
$\widehat{\rm Avar}(\pmb b) = ns^2({\bf X'X})^{-1}$
所以：
${\rm SE}^\star(b_k)\equiv \sqrt{\frac{1}{n}\widehat{{\rm Avar}}(b_k)} = \sqrt{\frac{1}{n}ns^2({\bf X'X})^{-1}} = \sqrt{s^2({\bf X'X})^{-1}}$
這就是普通的標(biāo)準(zhǔn)誤了

證畢翁狐。

5.9.2 線性假設(shè)的檢驗(yàn)

思路與小樣本OLS是類似的，對(duì)零假設(shè) $H_0: \pmb{R\beta=r}$ 凌蔬，我們實(shí)際上要衡量 $\pmb{Rb-r}$ 與 $\pmb 0$ 的距離露懒。可以證明砂心，統(tǒng)計(jì)量 $W$ 滿足：
$W = \left[\sqrt{n}(\pmb{Rb-r}) \right]^\prime \left[\pmb R \widehat{\rm Avar}(\pmb b) \pmb R^\prime \right]^{-1} \left[\sqrt{n}(\pmb{Rb-r}) \right] \stackrel3fxnpbj\longrightarrow \chi^2(m)$

證明：令 $\pmb c_n \equiv \sqrt{n}(\pmb{Rb-r})$ 懈词，令 $\pmb Q_n \equiv \pmb R \widehat{\rm Avar}(\pmb b) \pmb R^\prime$ ，那么現(xiàn)在 $W = \pmb{ c_n^\prime Q_n^{-1}c_n}$

如果 $H_0: \pmb{R\beta=r}$ 成立辩诞，那么
$\pmb c_n \equiv \sqrt{n}(\pmb{Rb-r}) = \sqrt{n}(\pmb{Rb-R\beta}) = \sqrt{n}\pmb R(\pmb{b-\beta}) = \pmb R[\sqrt{n}(\pmb{b-\beta})]$
由于我們知道 $\sqrt{n}(\pmb b - \pmb \beta) \stackreltffvvvv\longrightarrow N(0,{\rm Avar}(\pmb b))$ 坎弯，而 $\pmb c_n$ 是 $\sqrt{n}(\pmb b - \pmb \beta)$ 的線性組合，所以 $\pmb c_n$ 也是依分布收斂于正態(tài)分布的译暂。而且：
${\rm Var}(\pmb c_n) = {\rm Var}( \pmb R[\sqrt{n}(\pmb{b-\beta})] ) = \pmb R'{\rm Var}( \sqrt{n}(\pmb{b-\beta}) )\pmb R$
設(shè) $\pmb c_n \stackrelvtpb9j1\longrightarrow \pmb c$ 驯绎，從而在 $n \to \infty$ 時(shí)：
$\pmb c \sim N(\pmb 0, \pmb R'{\rm Avar}( \pmb b) \pmb R)$
定義 $\pmb Q \equiv \pmb R {\rm Avar}(\pmb b) \pmb R^\prime$ 健爬，由于 $\widehat{{\rm Avar}}(\pmb b) \stackrel{p}\longrightarrow {\rm Avar}(\pmb b)$ 抑党，所以 $\pmb Q_n \stackrel{p}\longrightarrow \pmb Q$

于是：
$W = \pmb{ c_n^\prime Q_n^{-1}c_n} \stackrelflxx19r\longrightarrow \pmb{c'Q^{-1}c}=\pmb{c'}[{\rm Var}(\pmb c)]^{-1} \pmb c \sim \chi^2(m)$
證畢匙铡。

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