SVM

SVM涉及的內(nèi)容相當(dāng)多割粮，這里只是列了一些關(guān)鍵點(diǎn)方便記憶艇纺。

1怎静、原始問(wèn)題

SVM的基本思想：在將所有樣本都正確分類的前提下，求一個(gè)幾何間隔最大的超平面黔衡。
$\gamma_i$ 為樣本i的幾何間隔蚓聘，令 $\gamma=\min_{i=1,2...N}\gamma_i$ ，那么有：

1.1
目標(biāo)函數(shù): $\max_{w,b}\ \gamma$

約束條件： $s.t. \ y_i(\frac{w^Tx_i+b}{||w||}) \ge \gamma,\ \ i=1,2...N$

1.2
由幾何間隔和函數(shù)間隔的關(guān)系盟劫，將幾何間隔替換為函數(shù)間隔夜牡，得到：
$\quad\quad$ $\quad \max_{w,b}\ \frac{\hat{\gamma}_{i}}{||w||}$

$\quad\quad\quad$ $s.t. \quad y_i(w^Tx_i+b) \ge \hat{\gamma},\ \ i=1,2...N$

1.3
由于函數(shù)間隔可以取任意值，而不影響目標(biāo)函數(shù)取值和約束條件的成立(參考李航-統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法p.99)侣签，因此令 $\hat{\gamma}=1$ 氯材，得到：
$\quad\quad$ $\quad \max_{w,b}\ \frac{1}{||w||}$

$\quad\quad\quad$ $s.t. \quad y_i(w^Tx_i+b) \ge 1,\ \ i=1,2...N$
也就是：
$\quad\quad$ $\quad \min_{w,b}\ \frac{1}{2}||w||^2$

$\quad\quad\quad$ $s.t. \quad y_i(w^Tx_i+b) \ge 1,\ \ i=1,2...N$
得到了凸二次規(guī)劃問(wèn)題的形式渣锦。

2、目標(biāo)函數(shù)的拉格朗日變換

2.1 拉格朗日變換的作用：1氢哮、對(duì)偶問(wèn)題更容易求解袋毙、2、自然的引入核函數(shù)
2.2 通過(guò)拉格朗日對(duì)偶性冗尤，通過(guò)求解原始問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題得到原始問(wèn)題的最優(yōu)解听盖。
$L(w,b,\alpha)=\frac{1}{2}||w||^2-\sum_{i=1}^{N}\alpha_iy_i(wx_i+b)+\sum_{i=1}^{N}\alpha_i$
$\alpha$ 為拉格朗日乘子。
二次規(guī)劃的對(duì)偶問(wèn)題為：
$\quad\quad\quad \max_{\alpha} \sum_{i=1}^{N}\alpha_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N} \alpha_i\alpha_j y_iy_j x_i^Tx_j$
$\quad\quad\quad s.t. \quad \sum_{i=1}^{N}\alpha_iy_i=0, \quad \alpha_i\ge0$
求解后得到最終的分類函數(shù)：
$f(x) = \sum_{i=1}^{N}\alpha_iy_i(x_i^Tx)+b$
對(duì)應(yīng)的超平面為： $\sum_{i=1}^{N}\alpha_iy_i(x_i^Tx)+b=0$
其中：
$\alpha_i\ge0;$
$y_if(x_i)-1\ge0$
$\alpha_i(y_if(x_i)-1)=0;$ 由這個(gè)條件可以發(fā)現(xiàn)裂七，出現(xiàn)在 $f(x)$ 中的只有滿足 $y_if(x_i)-1$ 的樣本皆看，也就是支持向量。

3背零、核函數(shù)

從原始空間到高維空間的映射記為： $x=>\phi(x)$ 腰吟，代入以上公式可得：
$\quad\quad\quad \max_{\alpha} \sum_{i=1}^{N}\alpha_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N} \alpha_i\alpha_j y_iy_j \phi(x_i)^T\phi(x_j)$
$\quad\quad\quad s.t. \quad \sum_{i=1}^{N}\alpha_iy_i=0, \quad \alpha_i\ge0$
由于 $\phi(x)$ 的維度很高，直接求解通常很困難徙瓶，所以引入核函數(shù)的概念：
$k(x_i,x_j)=\phi(x_i)^T\phi(x_j)$ ,即樣本i和j在高維空間的內(nèi)積可通過(guò)函數(shù) $k(x_i,x_j)$ 計(jì)算得到毛雇。這個(gè)函數(shù) $k$ 就是核函數(shù)。
求解后得到：
$f(x) = \sum_{i=1}^{N}\alpha_iy_i k(x_i,x)+b$
核函數(shù)的類型有：線性核 $x_ix_j$ 侦镇、多項(xiàng)式核 $(x_ix_j)^d$ 灵疮、高斯核等等

4、軟間隔和正則化

軟間隔即給約束條件加入松弛變量：
$\quad\quad$ $\quad \min_{w,b}\ \frac{1}{2}||w||^2 + C\sum_{i=1}^{N}\xi_i$
$\quad\quad\quad$ $s.t. \quad y_i(w^Tx_i+b) \ge 1- \xi_i,\ \ i=1,2...N$

5壳繁、補(bǔ)充概念：

1震捣、超平面：
$w^Tx+b=0$
2、幾何間隔闹炉，也就是點(diǎn)到超平面的垂直距離：
$\gamma_{i}=\frac{|w^Tx_i+b|}{||w||}$
3蒿赢、函數(shù)間隔：
$\hat{\gamma}_{i}=|w^Tx_i+b|$
所以函數(shù)間隔和幾何間隔的關(guān)系是： $\gamma_{i}=\frac{\hat{\gamma}_{i}}{||w||}$

最后編輯于：2019.06.11 19:58:05

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