一
先來(lái)看一道常見(jiàn)的題目：
題目1：箱子中有編號(hào)為1-10的10個(gè)球查乒，每次從中抽出一個(gè)記下后放回弥喉，如是重復(fù)3次，則3次記下的小球編號(hào)乘積是5的倍數(shù)的概率是多少玛迄？
解：10個(gè)球重復(fù)取3次由境，每次均有10種可能共有：
10^3=1000個(gè)
乘積是5的倍數(shù)->一定有一次取到了5號(hào)或者10號(hào)球。
那么乘積不是5的倍數(shù)->3次均沒(méi)有取到5號(hào)和10號(hào)球蓖议，共有：
8*8*8=512個(gè)
故乘積為5的倍數(shù)的情況有：
1000-512=488個(gè)
概率為：
488/1000=48.8%
思考：
非常典型的排列組合概率題虏杰，用反例計(jì)算直接、簡(jiǎn)單勒虾，本質(zhì)上是尋找符合某個(gè)特征的發(fā)生次數(shù)嘹屯。
二
改一個(gè)數(shù)字，題目的難度將顯著上升：
題目2：箱子中有編號(hào)為1-10的10個(gè)球从撼，每次從中抽出一個(gè)記下后放回，如是重復(fù)3次钧栖，則3次記下的小球編號(hào)乘積是6的倍數(shù)的概率是多少低零？
思考：題目從5的倍數(shù)變成6的倍數(shù)，情況復(fù)雜了拯杠。5的倍數(shù)只要取到5號(hào)或10號(hào)球即可掏婶，6的倍數(shù)不僅可以通過(guò)取6號(hào)球獲得，還可以通過(guò)3潭陪、9號(hào)球和偶數(shù)乘在一起獲得雄妥。
解：10個(gè)球重復(fù)取3次，每次均有10種可能共有：
10^3=1000個(gè)
下面分情況討論：
（1）至少有1次取到6號(hào)球依溯，使用反例法：
1000-9*9*9=271個(gè)
（2）沒(méi)有取到6號(hào)球老厌，同時(shí)有3號(hào)球和9號(hào)球，此時(shí)另外一個(gè)數(shù)字必是非6偶數(shù)（2黎炉、4枝秤、8、10）慷嗜，三個(gè)數(shù)字不一樣淀弹，全排列有6種排列方式：
4*6=24個(gè)
（3）沒(méi)有取到6號(hào)丹壕、9號(hào)球，有3號(hào)球和偶數(shù)球薇溃，繼續(xù)分情況剖析：
a)2個(gè)3號(hào)球菌赖，1個(gè)非6偶數(shù)球（2、4沐序、8琉用、10），有3種排列方式：
4*3=12個(gè)
b)1個(gè)3號(hào)球薄啥，2個(gè)相同的非6偶數(shù)球（2辕羽、4、8垄惧、10）刁愿，有3種排列方式：
4*3=12個(gè)
c)1個(gè)3號(hào)球，2個(gè)不同的非6偶數(shù)球（2到逊、4铣口、8、10）觉壶，有6種排列方式：
C4^2*6=4*3/2*6=36
d)1個(gè)3號(hào)球脑题，1個(gè)非6偶數(shù)球（2、4铜靶、8叔遂、10），1個(gè)非3非9奇數(shù)球（1争剿、5已艰、7），3個(gè)球不一樣蚕苇，6種排列方式：
4*3*6=72
共有12+12+36+72=132個(gè)
（4）沒(méi)有取到6號(hào)哩掺、3號(hào)球，有9號(hào)球和偶數(shù)球涩笤，結(jié)果與（3）相同嚼吞，132個(gè)
一共有271+24+132+132=559個(gè)
概率為559/1000=55.9%
編程測(cè)試，1億次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)蹬碧，概率為55.9012%：
int OneSolution()
{a1=rand()%10+1;
a2=rand()%10+1;
a3=rand()%10+1;
return (a1*a2*a3)%6;}
思考：由于6的倍數(shù)情況負(fù)雜舱禽，組合難以算清，這種解法是將組合問(wèn)題考慮成排列锰茉，窮舉所有情況呢蔫。由此可見(jiàn)：
（1）組合是排列中每個(gè)數(shù)字等概率出現(xiàn)的特殊情況，排列可能性/全排列數(shù)
（2）若存在數(shù)字組合出現(xiàn)概率不同時(shí)，組合要分情況討論片吊，將每一種的排列可能性/該情況的全排列數(shù)
三
發(fā)散思考：排列組合中绽昏，用例（case）和模式（pattern）的概念
盒子里有一黑一白兩個(gè)小球，有放回的取3次：
對(duì)用例（case）來(lái)說(shuō)
可能性有2^3=8個(gè)
白白白俏脊、白白黑全谤、白黑白、白黑黑
黑白白爷贫、黑白黑认然、黑黑白、黑黑黑
每種用例出現(xiàn)的概率相同漫萄，均為1/8
對(duì)模式（pattern）來(lái)說(shuō)：
只有4種
全黑：概率1/8
全白：概率1/8
一黑兩白：概率3/8
兩黑一白：概率3/8
用例（case）有一點(diǎn)排列的意思卷员，有順序的要求；模式（pattern）有一點(diǎn)組合的意思腾务，沒(méi)有順序毕骡。
啟示：
思考概率時(shí)，要基于用例（case）的個(gè)數(shù)判斷岩瘦，不能和模式（pattern）混為一談未巫。例如美國(guó)大選，要么川普獲勝启昧，要么希拉里獲勝叙凡，從模式（pattern）上只有兩種可能，但是每種模式（pattern）的概率是不同的密末。
用模式（pattern）分類思考時(shí)握爷，需要將每種模式（pattern）乘以自己的排列可能，然后累加严里，才能獲得用例（case）的個(gè)數(shù)饼拍。否則會(huì)遺漏情況。
