【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】這么多年過(guò)去了型酥,排隊(duì)組合里的用例和模式還分的清嗎?


先來(lái)看一道常見(jiàn)的題目:

題目1:箱子中有編號(hào)為1-10的10個(gè)球查乒,每次從中抽出一個(gè)記下后放回弥喉,如是重復(fù)3次,則3次記下的小球編號(hào)乘積是5的倍數(shù)的概率是多少玛迄?

解:10個(gè)球重復(fù)取3次由境,每次均有10種可能共有:

10^3=1000個(gè)

乘積是5的倍數(shù)->一定有一次取到了5號(hào)或者10號(hào)球。

那么乘積不是5的倍數(shù)->3次均沒(méi)有取到5號(hào)和10號(hào)球蓖议,共有:

8*8*8=512個(gè)

故乘積為5的倍數(shù)的情況有:

1000-512=488個(gè)

概率為:

488/1000=48.8%

思考:

非常典型的排列組合概率題虏杰,用反例計(jì)算直接、簡(jiǎn)單勒虾,本質(zhì)上是尋找符合某個(gè)特征的發(fā)生次數(shù)嘹屯。


改一個(gè)數(shù)字,題目的難度將顯著上升:

題目2:箱子中有編號(hào)為1-10的10個(gè)球从撼,每次從中抽出一個(gè)記下后放回,如是重復(fù)3次钧栖,則3次記下的小球編號(hào)乘積是6的倍數(shù)的概率是多少低零?

思考:題目從5的倍數(shù)變成6的倍數(shù),情況復(fù)雜了拯杠。5的倍數(shù)只要取到5號(hào)或10號(hào)球即可掏婶,6的倍數(shù)不僅可以通過(guò)取6號(hào)球獲得,還可以通過(guò)3潭陪、9號(hào)球和偶數(shù)乘在一起獲得雄妥。

解:10個(gè)球重復(fù)取3次,每次均有10種可能共有:

10^3=1000個(gè)

下面分情況討論:

(1)至少有1次取到6號(hào)球依溯,使用反例法:

1000-9*9*9=271個(gè)

(2)沒(méi)有取到6號(hào)球老厌,同時(shí)有3號(hào)球和9號(hào)球,此時(shí)另外一個(gè)數(shù)字必是非6偶數(shù)(2黎炉、4枝秤、8、10)慷嗜,三個(gè)數(shù)字不一樣淀弹,全排列有6種排列方式:

4*6=24個(gè)

(3)沒(méi)有取到6號(hào)丹壕、9號(hào)球,有3號(hào)球和偶數(shù)球薇溃,繼續(xù)分情況剖析:

a)2個(gè)3號(hào)球菌赖,1個(gè)非6偶數(shù)球(2、4沐序、8琉用、10),有3種排列方式:

4*3=12個(gè)

b)1個(gè)3號(hào)球薄啥,2個(gè)相同的非6偶數(shù)球(2辕羽、4、8垄惧、10)刁愿,有3種排列方式:

4*3=12個(gè)

c)1個(gè)3號(hào)球,2個(gè)不同的非6偶數(shù)球(2到逊、4铣口、8、10)觉壶,有6種排列方式:

C4^2*6=4*3/2*6=36

d)1個(gè)3號(hào)球脑题,1個(gè)非6偶數(shù)球(2、4铜靶、8叔遂、10),1個(gè)非3非9奇數(shù)球(1争剿、5已艰、7),3個(gè)球不一樣蚕苇,6種排列方式:

4*3*6=72

共有12+12+36+72=132個(gè)

(4)沒(méi)有取到6號(hào)哩掺、3號(hào)球,有9號(hào)球和偶數(shù)球涩笤,結(jié)果與(3)相同嚼吞,132個(gè)

一共有271+24+132+132=559個(gè)

概率為559/1000=55.9%

編程測(cè)試,1億次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)蹬碧,概率為55.9012%:

int OneSolution()

{a1=rand()%10+1;

a2=rand()%10+1;

a3=rand()%10+1;

return (a1*a2*a3)%6;}

思考:由于6的倍數(shù)情況負(fù)雜舱禽,組合難以算清,這種解法是將組合問(wèn)題考慮成排列锰茉,窮舉所有情況呢蔫。由此可見(jiàn):

(1)組合是排列中每個(gè)數(shù)字等概率出現(xiàn)的特殊情況,排列可能性/全排列數(shù)

(2)若存在數(shù)字組合出現(xiàn)概率不同時(shí),組合要分情況討論片吊,將每一種的排列可能性/該情況的全排列數(shù)


發(fā)散思考:排列組合中绽昏,用例(case)和模式(pattern)的概念

盒子里有一黑一白兩個(gè)小球,有放回的取3次:

對(duì)用例(case)來(lái)說(shuō)

可能性有2^3=8個(gè)

白白白俏脊、白白黑全谤、白黑白、白黑黑

黑白白爷贫、黑白黑认然、黑黑白、黑黑黑

每種用例出現(xiàn)的概率相同漫萄,均為1/8

對(duì)模式(pattern)來(lái)說(shuō):

只有4種

全黑:概率1/8

全白:概率1/8

一黑兩白:概率3/8

兩黑一白:概率3/8

用例(case)有一點(diǎn)排列的意思卷员,有順序的要求;模式(pattern)有一點(diǎn)組合的意思腾务,沒(méi)有順序毕骡。

啟示:

思考概率時(shí),要基于用例(case)的個(gè)數(shù)判斷岩瘦,不能和模式(pattern)混為一談未巫。例如美國(guó)大選,要么川普獲勝启昧,要么希拉里獲勝叙凡,從模式(pattern)上只有兩種可能,但是每種模式(pattern)的概率是不同的密末。

用模式(pattern)分類思考時(shí)握爷,需要將每種模式(pattern)乘以自己的排列可能,然后累加严里,才能獲得用例(case)的個(gè)數(shù)饼拍。否則會(huì)遺漏情況。

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