高斯單位制（其一）

厘米-克-秒制（CGS制）

centimeter-gram-second system以下都簡(jiǎn)稱CGS制。在力學(xué)單位上，CGS是一致的，但是在電學(xué)單位上有幾種變種浙值。本文對(duì)此并不感興趣，只考慮其中的高斯單位制檩小。

厘米-克-秒制一些導(dǎo)出單位

摘抄自wiki

物理量	符號(hào)	單位	定義	SI單位制
速度	$v$	厘米/秒(cm/s)	1 cm/s	= 10^-2米/秒
加速度	$a$	伽(gal)	1 cm/s²	= 10^-2米/秒
力	$F$	達(dá)因(dyne)	1 dyn = 1 g $\cdot$ cm²/s²	= 10^-5牛頓(N)
能量	$E$	爾格(erg)	1 erg = 1 g $\cdot$ cm²/s²	= 10^-7焦耳(J)
功率	$P$	爾格/秒(erg/s)	1 erg/s = 1 g $\cdot$ cm²/s³	= 10^-7瓦特(W)
壓力	$p$	巴(Bar)	1 Bar = 10⁶dyn/cm²=10⁶g/(cm $\cdot$ s²)	= 10^-5帕(Pa)
粘度	$\mu$	泊(P)	1 P = 1 g/(cm $\cdot$ s)	= 10^-1帕-秒(Pa $\cdot$ s)
動(dòng)粘度	$v$	斯托克(St)	1 St = 1 cm²/s	= 10^-4米/秒
波數(shù)	$k$	凱塞(kayser)	1 kayser = cm^-1	= 100 米^-1

高斯單位制

電荷的單位

在高斯單位制里开呐，直接定義庫(kù)倫定律為
$F = \dfrac{Q_1 Q_2}{r^2} \label{eq:Coulomb-law}$
高斯單位制源于CGS制，因此上式中规求，力的單位為達(dá)因(dyne)筐付，距離的單位為厘米。現(xiàn)在定義電荷的單位為statC阻肿，可以寫(xiě)成力學(xué)單位的組合
$1 \mathrm{statC} = 1 g^{1/2}cm^{3/2}s^{-1} \label{eq:statC}$

靜電場(chǎng)

接下來(lái)是一些基本電磁學(xué)單位的推導(dǎo)瓦戚。有了電荷，就可以定義電流和電壓了丛塌。電流的方程還是一樣 $I = \Delta Q/\Delta t$ 较解，單位是 statC/s^-1. 電壓（電勢(shì)）則是根據(jù)庫(kù)倫定律
$\phi = \dfrac{Q}{r} \label{eq:phi}$
電勢(shì)的單位名稱為 statV，1 statV = 1 statC/cm.

接下來(lái)是電場(chǎng)強(qiáng)度赴邻，庫(kù)倫定律
$E = \dfrac{Q}{r^2} \label{eq:E-Coulomb-law}$
于是電場(chǎng)單位為 statV/cm. 現(xiàn)在就可以搞靜電學(xué)了印衔。首先是靜電場(chǎng)的高斯定律
$\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = 4\pi\sum Q_i = 4\pi\int_V \rho dV.$
這里開(kāi)始有 $4\pi$ 了，請(qǐng)回想一下高斯定理的推導(dǎo)姥敛，這個(gè)還是很容易的奸焙。微分形式就是
$\nabla \vec{E} = 4\pi \rho$
當(dāng)然，靜電場(chǎng)旋度為零這個(gè)關(guān)系還是成立的
$\nabla\times \vec{E} = 0$
在CGS制里彤敛，這里的電荷密度單位當(dāng)然就是 statC/cm³. 順帶一提与帆，電荷守恒定律為
$\dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \vec{j} = 0$
電流密度矢量的單位，自不必多言墨榄。

你也可以試著推導(dǎo)一下電阻玄糟，電容之類的，不過(guò)本文的目的還是為了確定電磁場(chǎng)公式渠概，這些就不全部給出了。

靜磁場(chǎng)

對(duì)于靜磁場(chǎng)嫂拴，其出發(fā)點(diǎn)是畢奧-薩伐爾定律
$d\vec{F} = k_m\dfrac{I_1 I_2 d\vec{l}_2 \times (d\vec{l}_1\times \vec{r}_{12})}{r^3_{12}} \label{eq:biot-savart-law}$
不過(guò)播揪，前面定義了電荷，電流筒狠，長(zhǎng)度量綱也是已定義的猪狈，所以上式中的常數(shù) $k_m$ 是無(wú)法定義為1的。不過(guò)辩恼，實(shí)際上我們知道雇庙，在國(guó)際單位制中谓形，通過(guò)麥克斯韋方程組解出，靜電常量 $k_e$ (高斯單位制中疆前，定義為1)和靜磁常量 $k_m$ 的關(guān)系是
$\dfrac{k_e}{k_m} = c^2 \label{eq:ke-km}$
光速是自然界的常數(shù)寒跳，自然在任何單位制下都是成立的的。因此竹椒， $k_m$ 的值為
$k_m = \dfrac{1}{c^2} \label{eq:km-c2}$
這么說(shuō)有點(diǎn)像拿未知的推導(dǎo)已知的童太，不過(guò)我們當(dāng)然可以先不求出 $k_m$ 的值，直接推導(dǎo)出麥克斯韋方程組胸完，然后再確定 $k_m$ 的值书释。或者我們也可以直接重新定義 $k_m$ 為 $1/c^2$ 赊窥，并且把 $c$ 看成一個(gè)未知的常數(shù)爆惧，之后再確定 $c$ ∠悄埽總之扯再，最終目的是得到?jīng)]有歧義的高斯單位制下的電磁場(chǎng)方程。不管怎樣腹侣， $c$ 具有速度的量綱叔收。

對(duì)于畢奧-薩伐爾定律，可以拆解為兩部分：安培力公式
$d\vec{F} = I d\vec{l}\times \dfrac{1}{c} \vec{B}$
和電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度公式
$d\vec{B} = \dfrac{1}{c} \dfrac{I d\vec{l}\times \vec{r}}{r^3} \label{eq:B-biot-savart-law}$
在這個(gè)拆解下傲隶，磁感應(yīng)強(qiáng)度具有和電場(chǎng)強(qiáng)度相同的量綱饺律。不過(guò)還是另外定義了磁感應(yīng)強(qiáng)度的單位為 gauss，并且有關(guān)系 gauss = statV/cm = cm^-1/2g^1/2s^-1跺株，但是 1 gauss 并不等于 1 statV/cm复濒，因?yàn)榇鸥袘?yīng)強(qiáng)度顯然不能等于電場(chǎng)強(qiáng)度。(所以說(shuō)還是國(guó)際單位制清晰明了乒省。)

雖然歷史上1gauss 的定義最初是在電磁單位制下的巧颈，不過(guò)，在高斯單位制下袖扛，1gauss 可以定義為：根據(jù)電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度公式砸泛，電流為 $I$ 無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線在距離為 $a$ 處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為
$B = \dfrac{2I}{c a}$
如果 $I = 29979245800\mathrm{statC/s}, a = 1\mathrm{cm}$ ，(注意光速應(yīng)該為CGS單位制蛆封，也就是 $c = 29979245800\mathrm{cm/s}$ )唇礁，則有 $B = 2\mathrm{gauss}$ ，并且有1 gauss = 10^-4T.

現(xiàn)在我們可以做靜磁學(xué)了惨篱，導(dǎo)線產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為
$\vec{B}(\vec{r}) = \dfrac{1}{c}\int_L \dfrac{I d\vec{l}\times (\vec{r}-\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3}$
對(duì)于具有體積的導(dǎo)體盏筐，則應(yīng)該是
$\vec{B}(\vec{r}) = \dfrac{1}{c}\int_V\dfrac{\vec{j}(\vec{r}')\times(\vec{r}-\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3}dV'$
于是磁矢勢(shì)就是(根據(jù) $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ 的關(guān)系)
$\vec{A}(\vec{r}) = \frac{1}{c}\int_V\dfrac{\vec{j}(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}dV'$
根據(jù)上式，可以證明
$\nabla \cdot \vec{A} = 0 \qquad \nabla^2\vec{A} = -\dfrac{4\pi}{c}\vec{j}$
從而可以得到
$\nabla \times \vec{B} = \dfrac{4\pi}{c} \vec{j}$
由 $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ 可得
$\nabla \cdot \vec{B} = 0$

參考文獻(xiàn)

wiki
趙凱華砸讳，陳熙謀《新概念物理教程-電磁學(xué)》

最后編輯于：2019.06.18 20:31:07

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