求極限的八種方法

總結(jié)自武忠祥老師高數(shù)基礎(chǔ)課

方法1 利用基本極限求極限
1. 常用的基本極限
  $\lim_{x\to0}\frac {sinx}{x} = 1荧库，\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac 1x} = e牢屋，\lim_{x\to\infty}(1 + \frac 1x)^x = e \\[2ex] \lim_{x \to 0}\frac {a^x - 1}{x} = \ln a谓传，\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1艳狐，\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1(a > 0)\\[2ex] \lim_{x\to\infty}\frac{a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + … + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m - 1}x^{m - 1} + … + b_1x + b_0} = \begin{cases} \frac {a_n}{b_m}, & \text{n = m,} \\[2ex] 0, & \text{n < m,} \\[2ex] \infty,& \text{n > m,} \end{cases}\\[2ex]$
  $\lim_{n\to\infty}x^n = \begin{cases} 0,&\text{|x| < 1,}\\[2ex] \infty,&\text{|x| > 1,}\\[2ex] 1,&\text{x = 1,}\\[2ex] 不存在,&\text{x = -1.} \end{cases}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ \lim_{n\to\infty} = \begin{cases} 0,&\text{x < 0,}\\[2ex] +\infty,&\text{x > 0,}\\[2ex] 1,&\text{x = 0.} \end{cases}$
  看到這幾個(gè)公式之后，讓我比較疑惑的時(shí)第二行的三個(gè)公式凿跳，直接看的話有點(diǎn)不好理解件豌，其實(shí)這三個(gè)公式都可以用洛必達(dá)法則得到極限
2. " $1^\infty$ " 型極限常用結(jié)論
  
  若 $\lim\alpha(x) = 0$ 疮方， $\lim\beta(x) = \infty$ 控嗜，且 $\lim\alpha(x)\beta(x) = A$ ，則
  $\lim\left[1 + \alpha(x)\right]^{\beta(x)} = e^A$
  可以歸納為以下三步：
  - 寫標(biāo)準(zhǔn)形式：原式 = $\lim\left[1 + \alpha(x)\right]^{\beta(x)}$
  - 求極限： $\lim\alpha(x)\beta(x) = A$
  - 寫結(jié)果：原式 = $e^A$
  這個(gè)其實(shí)可以看作是對(duì)常用方法的進(jìn)一步總結(jié)

方法2 利用等價(jià)無窮小代換求極限
1. 代換原則
  - 乘除關(guān)系可以換
    $若\alpha \sim \alpha_1, \beta \sim \beta_1骡显，則\lim \frac \alpha\beta = \lim \frac {\alpha_1}\beta = \lim \frac {\alpha}{\beta_1} = \lim \frac {\alpha_1}{\beta_1}$
  - 加減關(guān)系一定條件下可以換
    $若\alpha \sim \alpha_1, \beta \sim \beta_1疆栏，且\lim \frac {\alpha_1}{\beta_1} = A \neq 1，則\, \alpha - \beta \sim \alpha_1 - \beta_1\\[2ex] 若\alpha \sim \alpha_1, \beta \sim \beta_1惫谤，且\lim \frac {\alpha_1}{\beta_1} = A \neq -1壁顶，則\, \alpha + \beta \sim \alpha_1 + \beta_1$
2. 常用的等價(jià)無窮小（ $x\to0$ 時(shí)）
  $x \sim sinx \sim tanx \sim arcsinx \sim arctanx \sim ln(1 + x) \sim e^x - 1\,,\\[2ex] (1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x\,,\,1 - cosx\sim \frac 12x^2\,,\,a^x - 1 \sim xlna\,,\\[2ex] x - sinx \sim \frac 16x^3\,,\,tanx - x \sim \frac 13x^3\,,\,x - ln(1 + x)\sim\frac 12x^2\,,\\[2ex] arcsinx - x \sim \frac16x^3\,,\,x - arctanx \sim \frac13x^3.$
方法3 利用有理運(yùn)算法則求極限

有理運(yùn)算法則：若 $\lim f(x) = A, \lim g(x) = B$
那么： $\lim \left[f(x) \pm g(x\right] = \lim f(x) \pm \lim g(x)$
$\lim \left[f(x)g(x)\right] = lim f(x)·lim g(x)$
$\lim\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}（B \neq 0）$

結(jié)論（結(jié)論很重要）：
- 存在 $\pm$ 不存在 = 不存在溜歪，其它都為不一定
- $\lim f(x) = A \neq 0 \Rightarrow \lim f(x)g(x) = A\lim g(x)$ 若专，即：極限非零的因子極限可以先求出來
- $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ 存在， $\lim g(x) = 0\Rightarrow \lim f(x) = 0$
- $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = A \neq 0\,,\lim f(x) = 0 \Rightarrow \lim g(x) = 0$

方法4 利用洛必達(dá)法則求極限

洛必達(dá)法則
若（1） $\lim_{x\to x_0} f(x) = \lim_{x\to x_0}g(x) = 0(\infty)$
（2） $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_0$ 的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)蝴猪，且 $g^{'}(x)\neq 0$
（3） $\lim_{x\to x_0}\frac {f^{'}(x)}{g^{'}(x)}$ 存在（或 $\infty$ ）

則 $\lim_{x\to x_0} \frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0} \frac {f^{'}(x)}{g^{'}(x)}$

結(jié)論（結(jié)論很重要）：
- 洛必達(dá)法則的適用類型：
  $\frac 00\,,\frac \infty\infty \Leftarrow \begin{cases} 0 · \infty \Leftarrow \begin{cases} 1^\infty\\[2ex] \infty^0\\[2ex] 0^0\\[2ex] \end{cases}\\[2ex] \infty - \infty \end{cases}$
- 使用洛必達(dá)法則應(yīng)該要注意的幾個(gè)問題
  - 先校驗(yàn)是否滿足條件
  - 使用之后如果認(rèn)為不定型调衰，且符合洛必達(dá)法則的條件膊爪，可以再次使用洛必達(dá)法則
  - 如果 $\frac 00\,,\frac \infty\infty$ 型極限中存在含有極限非零的因子可以單獨(dú)求極限
  - 可以和等價(jià)無窮小代換結(jié)合進(jìn)行求極限

方法5 利用泰勒公式求極限
- $e^x = 1 + x + \frac {x^2}{2!} + … + \frac {x^n}{n!} + o(x^n)$
- $sinx = x - \frac {x^3}{3!} + … + (-1)^{n -1} \frac {x^{2n - 1}}{(2n - 1)!} + o(x^{2n - 1})$
- $cosx = 1 - \frac {x^2}{2!} + … + (-1)^{n - 1}\frac{x^{2n}}{(2n)!} +o(x^{2n})$
- $ln(1 + x) = x - \frac {x^2}{2} + …+(-1)^{n - 1}\frac {x^n}{n} + o(x^n)$
- $(1 + x)^a = 1 + ax + \frac {a(a - 1)}{2!}x^2 + … + \frac {a(a - 1)…(a - n + 1)}{n!}x^n + o(x^n)$
方法6 利用夾逼定理求極限
方法7 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限
方法8 利用定積分定義求極限
$\int_0^1f(x)dx = \lim\sum_{i = 1}^nf(\xi_i)\Delta x_i = \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^nf(\frac in)$
從要求極限的式子中提取出可愛因子，轉(zhuǎn)換為定積分嚎莉，進(jìn)行求解米酬，也常用于求 $n$ 項(xiàng)和

最后編輯于：2022.07.17 21:51:40

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