神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和深度學(xué)習(xí)WU Week2

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)

1. 二分分類

例子：識(shí)別圖片中是否有貓搀缠，有輸出1否則輸出0奠伪。
計(jì)算機(jī)儲(chǔ)存圖片通過RGB铝宵，即用三個(gè)矩陣分別儲(chǔ)存red、green和blue的像素值看成，以常見64*64為例君编，從而用一個(gè)64*64*3的矩陣儲(chǔ)存一張圖片。

計(jì)算機(jī)對(duì)圖片的儲(chǔ)存

如何用一個(gè)特征向量 $x$ （列向量）來表示這個(gè)像素矩陣川慌？按照視頻中的說明吃嘿，先讀取red矩陣的像素祠乃，逐行讀取，以上圖為例兑燥，讀為 $[\color {red}{255,231,42,22,123,94,...,194,202}]^T$ 亮瓷，接著讀取green矩陣的像素，仍是逐行讀取贪嫂，從而矩陣為 $[\color {red} {255,231,42,22,123,94,...,194,202},\color {green}{255,134,202,22,...,94}]^T$ 寺庄，最后讀取blue矩陣的像素，所以整個(gè)圖片存儲(chǔ)為一個(gè)列向量 $[\color {red}{255,231,42,22,123,94,...,194,202},\color {green}{255,134,202,22,...,94}, \color {blue}{255,134,93,22,...,142}]^T$ 力崇。
即表示成如下：

圖片的儲(chǔ)存矩陣
符號(hào)約定
$(x,y)$ :一個(gè)樣本斗塘， $x \in R^{n_x}$ 為輸入， $y \in \{0,1\}$ 為輸出亮靴。
$m$ 個(gè)訓(xùn)練樣本： ${(x^{(1)},y^{(1)}),(x^{(2)},y^{(2)}),...(x^{(m)},y^{(m)})}$
訓(xùn)練集的樣本數(shù)： $m_{train}$ 或 $m$
測(cè)試集的樣本數(shù)： $m_{test}$
矩陣 $X$ :每一列是一個(gè)樣本馍盟，從而是 $n_x \times m$ 維的。

樣本的矩陣表示
- 對(duì)應(yīng)python命令X.shape輸出 $X$ 的維數(shù) $n_x \times m$
同樣的茧吊，輸出 $y$ 也表示為一個(gè) $1\times m$ 維向量 $(y^{(1)},y^{(2)},...y^{(m)})$ 贞岭。python命令Y.shape會(huì)輸出 $1\times m$ 。

2. Logistic回歸

$\hat{y}$ ：對(duì)輸出 $y$ 的預(yù)測(cè)值搓侄，在二分類問題中就是 $y$ 取1的概率 $P(y=1|x)$ 瞄桨。
參數(shù)： $w \in R^{n_x}$ ， $b \in R$
給出輸入變量和參數(shù)讶踪，如何得到預(yù)測(cè)值?
線性回歸是芯侥，但并不是一個(gè)很好的二分分類方法，因?yàn)槲覀兿Ｍ?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Chat%7By%7D" alt="\hat{y}" mathimg="1">是個(gè)介于0和1之間的數(shù)以表示概率乳讥，而可以取任何值甚至是負(fù)數(shù)柱查，為克服這個(gè)困難將輸出做一個(gè)sigmoid函數(shù)變換，其中sigmoid函數(shù)為云石，其函數(shù)圖像為

sigmoid函數(shù)圖像

可以看到：
- 當(dāng) $z$ 取相當(dāng)大的數(shù)時(shí)唉工， $e^{-z}$ 趨向于0，從而 $\sigma(z)$ 趨向于1
- 而當(dāng) $z$ 取相當(dāng)大的負(fù)數(shù)時(shí)汹忠， $e^{-z}$ 趨向于 $+\infty$ 淋硝，從而 $\sigma(z)$ 趨向于0
- 當(dāng) $z=0$ 時(shí)， $\sigma(z)=\frac{1}{2}$
  所以 $\sigma(z)$ 取值位于0和1之間宽菜。

3. Logistic 回歸——cost function(成本函數(shù)/代價(jià)函數(shù))

為了訓(xùn)練 $w$ 和 $b$ 需要定義cost function谣膳，用來衡量算法效果。
回顧：Logistic回歸
$\hat{y}=\sigma(w^T*x+b)$ 赋焕，其中 $\sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$ 参歹，給定訓(xùn)練集 $\{(x^{(1)},y^{(1)}),(x^{(2)},y^{(2)}),...(x^{(m)},y^{(m)})\}$ ，希望有 $\hat{y} :=(\hat{y}^{(1)},\hat{y}^{(2)},...\hat{y}^{(m)}) \approx y:=(y^{(1)},y^{(2)},...y^{(m)})$ 隆判。
先定義針對(duì)單個(gè)樣本的Loss (Error) Function :度量預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間有多接近犬庇。
- 例如僧界，可以定義 $L(\hat{y},y)=\frac{1}{2}(y-\hat{y})^2$ ，事實(shí)上并不這樣應(yīng)用臭挽，因?yàn)檫@樣會(huì)導(dǎo)致函數(shù)非凸從而有多個(gè)局部最優(yōu)解捂襟，所以使用梯度下降法時(shí)無法找到最優(yōu)解（ $\color{red}{不太明白這句話，因?yàn)槎魏瘮?shù)本來就是凸函數(shù)啊}$ ）欢峰。
- 在Logistic回歸中會(huì)定義一個(gè)凸的損失函數(shù)：
  - 若 $y=1$ 葬荷，則 $L(\hat{y},y)=-log(\hat{y})$ ，讓損失函數(shù)盡可能小纽帖，從而 $log(\hat{y})$ 盡可能大宠漩，從而 $\hat{y}$ 盡可能大，而 $\hat{y}$ 是sigmoid函數(shù)的輸出懊直，最大就是1扒吁，所以此時(shí)是要讓 $\hat{y}=1$ ;
  - 若 $y=0$ ，則 $L(\hat{y},y)=-log(1-\hat{y})$ 室囊，讓損失函數(shù)盡可能小雕崩，從而 $log(1-\hat{y})$ 盡可能大，從而 $1-\hat{y}$ 盡可能大融撞，即 $\hat{y}$ 盡可能小盼铁，而 $\hat{y}$ 是sigmoid函數(shù)的輸出，最小就是0尝偎，所以此時(shí)是要讓 $\hat{y}=0$
cost function(成本函數(shù))：度量在訓(xùn)練集上的整體表現(xiàn)饶火。
$J(w,b)=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^mL(\hat{y},y)=-\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m[y^{(i)}log(\hat{y}^{(i)})+(1-y^{(i)})log(1-\hat{y}^{(i)})]$
注： $\color{red}{Loss funciton:單個(gè)樣本；} \color{red}{Cost function: 訓(xùn)練集上所有樣本的整體表現(xiàn)冬念。}$

4.梯度下降法

用來訓(xùn)練或?qū)W習(xí)訓(xùn)練集上的參數(shù) $w,b$ 趁窃。
回顧：
$J(w,b)=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^mL(\hat{y},y)=-\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m[y^{(i)}log(\hat{y}^{(i)})+(1-y^{(i)})log(1-\hat{y}^{(i)})]$
梯度下降法就是給定初始的 $(w,b)$ 牧挣，找到當(dāng)前下降最快的方向走一步急前，再找當(dāng)前下降最快的方向走一步，一直到找到最優(yōu)解為止瀑构，因?yàn)槲覀兩厦娑x的Loss Function是凸函數(shù)裆针，所以肯定能找到全局最優(yōu)解。如下圖所示寺晌。

梯度下降法示意圖
- Logistic回歸基本上任意初始化方法都好用世吨，一般初始化為0。
其具體過程為呻征，針對(duì)參數(shù) $w$ 耘婚，迭代為 $w:=w-\alpha\frac{\partial L(w,b)}{\partial w}$
- 其中 $\alpha$ 是學(xué)習(xí)率，可以控制每次迭代或者說梯度下降法中的步長(zhǎng)陆赋。
- 編程時(shí)就用 $\mathrmbm17w1qw$ 表示對(duì) $w$ 的偏導(dǎo)數(shù)沐祷。
- $J(w,b)$ 是凸函數(shù)嚷闭，因此，若 $\mathrmgqg1dhg w >0$ 赖临， $w$ 迭代后向著減小的方向步進(jìn)胞锰，圖上來看就是向左迭代；若 $\mathrmpufirvv w <0$ 兢榨， $w$ 迭代后向著增大的方向步進(jìn)嗅榕，圖上來看就是向右迭代，無論哪種情況吵聪，都會(huì)找到全局最優(yōu)解凌那，如下圖所示。
  
  w迭代示意圖
類似的吟逝， $b$ 的迭代為： $b:=b-\alpha\frac{\partial L(w,b)}{\partial b}$

5.計(jì)算圖（前向傳播）及其導(dǎo)數(shù)計(jì)算（后向傳播）

5.1 計(jì)算圖

計(jì)算圖感覺像高數(shù)里的函數(shù)復(fù)合過程用圖表示出來案怯。
toy example
$J(a,b,c) = 3(a+bc)$ ，其復(fù)合與計(jì)算過程如下圖

toy example的復(fù)合和計(jì)算過程

5.2 計(jì)算圖的導(dǎo)數(shù)計(jì)算

從右向左推導(dǎo)出復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則澎办。

復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則示例

6.Logistic回歸中的梯度下降

6.1 單個(gè)樣本的情況

回顧Logistic回歸
- 公式：
  $\begin{array}{l}{z=w^{T} x+b} \\ {\hat{y}=a=\sigma(z)} \\ {L(a, y)=-(y \log (a)+(1-y) \log (1-a))}\end{array}$
- 計(jì)算步驟（前向嘲碱，計(jì)算loss function）：
  假設(shè)有兩個(gè)特征，從而所需參數(shù)為
  - Step1：計(jì)算 $z = w_1 *x_1+w_2*x_2+b$ ;
  - Step2：計(jì)算 $\hat{y} = a = \sigma(z)$ 局蚀，其中 $\sigma()$ 是sigmoid函數(shù) $\sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$ ;
  - Step3：計(jì)算loss function： $L(a,y)=-[ylog(a)+(1-y)log(1-a)]$ 麦锯。
    即輸入?yún)?shù) $w_1,w_2,b$ 計(jì)算損失函數(shù)最小。如圖所示琅绅。
    
    單個(gè)樣本的logistic流程圖
- 計(jì)算步驟（后向扶欣，計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)）
  - Step1： $\mathrmrxnwl7aa=\frac{\partial L(a,y)}{\partial a}=-\frac{y}{a}+\frac{1-y}{1-a}$
  - Step2： $\frac{\mathrmuvfohhqa}{\mathrm31a7owkz}=\frac{e^{-z}}{[1+e^{(-z)}]^2}=\frac{1}{1+e^{-z}} \bullet \frac{e^{-z}}{1+e^{-z}}=a(1-a)$ 。所以有
    $\mathrmbqkmw12z = \frac{\partial L(a,y)}{\partial z}=\frac{\partial L(a,y)}{\partial a} \bullet \frac{\mathrmr2mxhlga}{\mathrmf7jodyhz}$
    $=(-\frac{y}{a}+\frac{1-y}{1-a})a(1-a)=(a-1)y+a(1-y)$
    $=a-y$ 千扶；
  - Step3. $\mathrm5kl6fojw_1 = \frac{\partial L(a,y)}{\partial a} \bullet \frac{\mathrmvrpl9f3a}{\mathrm2hvakfaz} \bullet \frac{\partial z}{\partial w_1} = x_1(a-y)$
    $\mathrmppes15hw_2 = \frac{\partial L(a,y)}{\partial a} \bullet \frac{\mathrmhsliwbfa}{\mathrmio5zvv5z} \bullet \frac{\partial z}{\partial w_2} = x_2(a-y)$
    $\mathrmbg2ryxbb = \frac{\partial L(a,y)}{\partial a} \bullet \frac{\mathrmyds5quua}{\mathrmfwmvgsbz} \bullet \frac{\partial z}{\partial b} = (a-y)$
  - Step4.迭代公式：
    $w_1 = w_1 -\alpha\mathrm3cwfuclw_1$
    $w_2 = w_2 -\alpha\mathrmwyrbkpkw_2$
    $b = b -\alpha\mathrmef2hmhlb$

6.2 $m$ 個(gè)樣本的訓(xùn)練集

回顧：
$J(w,b)=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^mL(a^{(i)},y^{(i)})=-\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m[y^{(i)}log(a^{(i)})+(1-y^{(i)})log(1-a^{(i)})]$
其中
$a^{(i)} = \hat{y}^{(i)} = \sigma(z^{(i)})=\sigma(w^Tx^{(i)}+b)$
計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)
$\mathrmb1677vpw_1 =\frac{\partial J(w,b)}{\partial w_1}=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m\mathrmdej5dxxw_1^{(i)}=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^mx_1^{(i)}(a^{(i)}-y^{(i)})$
$\mathrmietd16tw_2 =\frac{\partial J(w,b)}{\partial w_2}=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m\mathrmliyib0xw_2^{(i)}=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^mx_2^{(i)}(a^{(i)}-y^{(i)})$
$\mathrmy6dw72wb=\frac{\partial J(w,b)}{\partial b}=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m\mathrmmisxiyxb^{(i)}=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m(a^{(i)}-y^{(i)})$
偽代碼流程

# w料祠，b一次迭代的流程
dw_1=0,dw_2=0,db=0,J=0
for i in range(m):   #m個(gè)樣本
    z(i) = w^T*x(i)+b
    a(i) = \sigma(z(i))
    J+=-[y(i)log(a(i))+(1-y(i))log(1-a(i))]  
    dz(i) = a(i)-y(i)
    dw_1 += x_1(i)[a(i)-y(i)]
    dw_2 += x_2(i)[a(i)-y(i)]  #假設(shè)有2個(gè)特征，即n=n_x=2
    db += a(i)-y(i)
J/=m
dw_1/=m,dw_2/=m,db/=m
w_1 -=\alpha * dw_1
w_2 -=\alpha * dw_2
b -=\alpha * db

說明：
- 該流程有2個(gè)for循環(huán)澎羞，第一個(gè)是遍歷m個(gè)樣本點(diǎn)髓绽，第二個(gè)是遍歷2個(gè)特征。
- 深度學(xué)習(xí)中有大量的數(shù)據(jù)妆绞，所以盡量避免使用顯式的for循環(huán)顺呕，從而引出vectorization。

7.Vectorizaion（向量化）

7.1 向量化

只要有其他可能括饶，就不要用顯式for循環(huán)
Whenever possible, avoid explicit for-loops株茶。
numpy模塊的內(nèi)置函數(shù)

np.exp()
np.log()
np.abs()

利用向量化，前面的程序可以修改為

import numpy as np
# w图焰，b一次迭代的流程
dw=np.zeros((n_x,1)),db=0,J=0
for i in range(m):   #m個(gè)樣本
    z(i) = w^T*x(i)+b
    a(i) = \sigma(z(i))
    J+=-[y(i)log(a(i))+(1-y(i))log(1-a(i))]  
    dz(i) = a(i)-y(i)
    dw += x(i)[a(i)-y(i)]
    db += a(i)-y(i)
J/=m
dw /=m, db/=m
w_1 -=\alpha * dw_1
w_2 -=\alpha * dw_2
b -=\alpha * db

7.2 向量化Logistic回歸

回顧:m個(gè)樣本的訓(xùn)練集
$z^{(1)}=w^T*x^{(1)}+b$ , $a^{(1)}=\sigma(z^{(1)})$
$z^{(2)}=w^T*x^{(2)}+b$ , $a^{(2)}=\sigma(z^{(2)})$
………
$z^{(m)}=w^T*x^{(m)}+b$ , $a^{(m)}=\sigma(z^{(m)})$
記 $X=[x^{(1)},x^{(2)},…,x^{(m)}]$ ,既每一列是一個(gè)樣本启盛，矩陣維數(shù)為 $n_x \times m$ 。 $z=[z^{(1)},z^{(2)},…,z^{(m)}]$ 既 $1\times m$ 的行向量。從而上式可寫為 $z=w^T *X+[b,b,…,b]$ 僵闯。A=[a^{{(1)},a{(2)},…,a}{(m)}]笤闯。

z=np.dot(w.T,X)+b
a=\sigma(z)

7.3 向量化Logistic回歸的梯度計(jì)算

回顧公式：
$\mathrmh7letojw_1 =\frac{\partial J(w,b)}{\partial w_1}=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m\mathrmlyiw02ow_1^{(i)}=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^mx_1^{(i)}(a^{(i)}-y^{(i)})$
$\mathrmfgz0favw_2 =\frac{\partial J(w,b)}{\partial w_2}=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m\mathrmns7mff6w_2^{(i)}=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^mx_2^{(i)}(a^{(i)}-y^{(i)})$
$\mathrmccjydyyb=\frac{\partial J(w,b)}{\partial b}=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m\mathrmegv01ltb^{(i)}=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m(a^{(i)}-y^{(i)})$
向量化
$A=[a^{(1)},a^{(2)},...,a^{(m)}]$
$Y=[y^{(1)},y^{(2)},...,y^{(m)}]$
所以, $\mathrmtvo5hgpz=A-Y$ .
$\mathrmyzk27azb = \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m(a^{(i)}-y^{(i)}) =np.sum(A-Y)$
$\mathrmcdr7wf6w = \frac{1}{m}Xdz^T$
$=\frac{1}{m}[x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}][\mathrmit2eoniz^{(1)},\mathrm8ixm5p2z^{(2)},...,\mathrml72czrmz^{(m)}]^T$
$=\frac{1}{m}(x^{(1)}\mathrm8tigytxz^{(1)}+x^{(2)}\mathrm02d25fsz^{(2)}+...+x^{(m)}\mathrm2tib1nnz^{(m)})$
Logistic回歸的向量化偽代碼

z = w^T*X + b = np.dot(w^T,X) + b
a = \sigma(z)
dz = A - Y
dw = 1/m*X*dz^T db = 1/m*np.sum(dz)
dw /=m, db/=m
w := w - \alpha * dw
b = b - \alpha * db

8. Python 中的Broadcasting

8.1 Broadcasting

Broadcasting是計(jì)算中對(duì)維數(shù)要求沒有那么嚴(yán)格，可以自己調(diào)整維度以適應(yīng)計(jì)算棍厂。

例子

示意矩陣

問題：計(jì)算每種食物中各成分的占比

import numpy as np
A = np.array([[56,0,4.4,68],
             [1.2,104,52,8],
             [1.8,135,99,0.9]])
cal = A.sum(axis=0)
percentage = A/cal.reshape(1,4)
print(100 * percentage)

Broadcasting維度不必嚴(yán)格要求颗味，但是行或列必須有一個(gè)是相同的，python才能自己復(fù)制成合適維度的矩陣進(jìn)行計(jì)算牺弹。

MATLAB中類似的是bsxfun函數(shù)浦马。

8.2 編程小技巧

*盡量不要使用秩為1的數(shù)組

a = np.random.randn(5)

使用有明確維度的矩陣

a = np.random.randn(5,1)

可以使用reshape()來改變矩陣的維度

a.reshape(1,5)

可以使用assert()來聲明你希望的矩陣維度

assert(a.shape == (1,5))

最后編輯于：2019.08.07 09:40:07

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代替公主和親
正文我出身青樓撕彤，卻偏偏與公主長(zhǎng)得像，于是被迫代替她去往敵國和親猛拴。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子喉刘，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 44,884評(píng)論 2贊 354