1.為什么用補(bǔ)碼

首先肯定一點(diǎn)筑煮，計(jì)算機(jī)中非浮點(diǎn)數(shù)（浮點(diǎn)數(shù)沒(méi)研究過(guò)）都是用補(bǔ)碼表示二進(jìn)制數(shù)的，為什么用補(bǔ)碼而不用原碼或者反碼粤蝎，是因?yàn)檠a(bǔ)碼系統(tǒng)的最大優(yōu)點(diǎn)是可以在加法或減法處理中真仲，不需因?yàn)閿?shù)字的正負(fù)而使用不同的計(jì)算方式。只要一種加法電路就可以處理各種有號(hào)數(shù)加法初澎，而且減法可以用一個(gè)數(shù)加上另一個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼來(lái)表示秸应，因此只要有加法電路及補(bǔ)碼電路即可完成各種有號(hào)數(shù)加法及減法，在電路設(shè)計(jì)上相當(dāng)方便碑宴。減法電路得設(shè)計(jì)相對(duì)而言更復(fù)雜软啼。

2. 為什么補(bǔ)碼可以實(shí)現(xiàn)減法

要想理解這一點(diǎn)，首先必須知道同余的概念延柠。想象一個(gè)時(shí)鐘祸挪，如下圖

現(xiàn)在是8點(diǎn)鐘，如果我想時(shí)間變到6點(diǎn)中贞间，那么我有兩種方法贿条，第一種順時(shí)針10個(gè)小時(shí)雹仿，第二種逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2個(gè)小時(shí)，都可以得到6點(diǎn)鐘整以。但是就本質(zhì)而言胧辽，這兩種方法得到的6點(diǎn)鐘，其實(shí)是不同的公黑。如果8點(diǎn)是上午8點(diǎn)邑商，那么第一鐘方法得到的其實(shí)是下午的6點(diǎn)，但第二鐘方法得到的是上午的6點(diǎn)凡蚜。但是對(duì)于這個(gè)表而言人断，它只有1點(diǎn)到12點(diǎn)，并沒(méi)有上午下午之分番刊，對(duì)于它而言含鳞，這兩張方法得到的都是6點(diǎn)鐘（時(shí)鐘指針都是指向6），并沒(méi)有區(qū)別芹务。

換成計(jì)算的方式蝉绷，第一中方式相當(dāng)于8+10=186，第二種方式相當(dāng)于8-2=6枣抱。

在這個(gè)時(shí)鐘的例子里熔吗，一個(gè)時(shí)鐘最多只能表示12個(gè)小時(shí)，即從1點(diǎn)到12點(diǎn)佳晶。上例中的8點(diǎn)加十個(gè)小時(shí)桅狠，計(jì)算結(jié)果是18時(shí)，但是時(shí)鐘最多只能表示12時(shí)轿秧，這種情況下就是溢出了中跌，超出了時(shí)鐘能表示的范圍，最后結(jié)果是6點(diǎn)菇篡。

那么在這種情況情況下的加減運(yùn)算都是模12的加減運(yùn)算漩符，12就是時(shí)鐘能表示的數(shù)字范圍。而同余表示兩個(gè)數(shù)除以12驱还，余數(shù)相同嗜暴，稱之為同余，用表示议蟆。這個(gè)概念以及符號(hào)最早是高斯提出來(lái)的闷沥，果然是個(gè)偉人。

3.補(bǔ)碼的計(jì)算

當(dāng)你查閱資料時(shí)咐容，尤其是用百度（程序員還是用google好）舆逃，你會(huì)發(fā)現(xiàn)大部分人寫(xiě)的補(bǔ)碼的計(jì)算方法都是：符號(hào)位不變，其他位取反，末位加1颖侄。也就是說(shuō)要算補(bǔ)碼鸟雏，先拿到反碼享郊。這里補(bǔ)充一下原碼览祖、反碼、補(bǔ)碼的知識(shí)炊琉。原碼就是二進(jìn)制數(shù)展蒂，比如2，用8位二進(jìn)制就是0000 0010苔咪，那反碼就是加入符號(hào)位（0表示正數(shù)锰悼，1表示復(fù)數(shù)），最高位表示符號(hào)位团赏，比如-2箕般，用8位二進(jìn)制就是1000 0010，最后補(bǔ)碼舔清，比如-2丝里，就是-2的符號(hào)位不變，其他位組為取反体谒，即1111 1101杯聚，然后末位加1，即1111 1110抒痒。正數(shù)的原碼反碼補(bǔ)碼相等幌绍，都是原碼。

但是如果你感興趣故响，自己琢磨傀广，你會(huì)發(fā)現(xiàn)有個(gè)特殊的數(shù)字0，按照上述的方法計(jì)算會(huì)糾結(jié)彩届，0的原碼是0000 0000伪冰，反碼是1000 0000，如果除符號(hào)位逐位取反惨缆，即1111 1111糜值，再加1的話，會(huì)產(chǎn)生進(jìn)位坯墨，這個(gè)進(jìn)位寂汇，要不要進(jìn)給符號(hào)位，如果給捣染，那就是0000 0000骄瓣，如果不給，那這個(gè)進(jìn)位浪費(fèi)掉耍攘，最后是1000榕栏，0000畔勤。而實(shí)際的結(jié)果是多少呢，是0000 0000扒磁，符號(hào)位參與運(yùn)算庆揪。而也就是說(shuō)0的補(bǔ)碼還是0。而這個(gè)1000 0000其實(shí)也是有特殊用途的（后面說(shuō)）妨托。在整個(gè)補(bǔ)碼的計(jì)算過(guò)程中缸榛，只有計(jì)算0的補(bǔ)碼會(huì)產(chǎn)生溢出。

上面說(shuō)了0計(jì)算的補(bǔ)碼還是0兰伤，其實(shí)還有一個(gè)特殊的補(bǔ)碼内颗，即1000 0000，這個(gè)補(bǔ)碼敦腔，你找不到原碼均澳，不信你找找看。

其實(shí)如果你想得多符衔，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)特殊的數(shù)找前。就拿8位的二進(jìn)制來(lái)說(shuō)，能表示256個(gè)數(shù)柏腻。如果按照上述說(shuō)的補(bǔ)碼來(lái)表示的話纸厉，正數(shù)能表示0-127，剛好128個(gè)數(shù)五嫂，256的一半颗品，那么負(fù)數(shù)必然也能表示另外一半，難道是（-0）-（-127）沃缘？很明顯躯枢，-0是沒(méi)有的，因?yàn)?的補(bǔ)碼還是0槐臀，那么(-1)-(-127)只有127個(gè)數(shù)锄蹂，剩下一個(gè)是什么？就是那個(gè)無(wú)法計(jì)算補(bǔ)碼的數(shù)1000 0000水慨。既然（-0）沒(méi)意義得糜，那么這個(gè)多出來(lái)的數(shù)就表示-128，這樣剛好不浪費(fèi)晰洒。（補(bǔ)一句朝抖，如果用反碼表示，那還真的有-0谍珊，等于浪費(fèi)一個(gè)數(shù)）治宣。這個(gè)現(xiàn)象如果你寫(xiě)代碼一定能發(fā)現(xiàn)，比如java的int類型或者long類型，最小負(fù)數(shù)的絕對(duì)值一定比最大正數(shù)大1侮邀，不信你試試看坏怪。

上述的計(jì)算補(bǔ)碼的方式其實(shí)說(shuō)復(fù)雜了，簡(jiǎn)單的方法是直接逐位取反绊茧，末位加1即可铝宵。而且這個(gè)反過(guò)來(lái)也可以，即知道補(bǔ)碼求原碼按傅，也能這樣算捉超。

補(bǔ)碼的計(jì)算為什么是逐位取反，末位加1唯绍，拿8位二進(jìn)制舉例，其最大能表示=256個(gè)數(shù)枝誊，那么一個(gè)數(shù)逐位取反后况芒，這個(gè)取反后的數(shù)和原數(shù)相加必定等于257，比如1001 0010叶撒，逐位取反后绝骚，是0110 1101，這兩個(gè)數(shù)相加一定是1111 1111祠够，即257压汪，再加上1，就是258古瓤。所以一個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼的計(jì)算可以概括為一下公式止剖，如果一個(gè)數(shù)是a，二進(jìn)制位數(shù)是n落君，那么補(bǔ)碼就是-a穿香。

現(xiàn)在，如果你已知一個(gè)補(bǔ)碼b绎速，讓你求原碼皮获，你怎么計(jì)算，按照逐位取反纹冤，末位加1的反向計(jì)算可不可以洒宝，當(dāng)然可以，先減一萌京，再逐位取反（符號(hào)位不變）雁歌。但是如果你將上面的那段推理看明白的話，其實(shí)同樣按照逐位取反枫夺，末尾加1的計(jì)算方式即可将宪。（回頭看看那個(gè)無(wú)法求原碼的補(bǔ)碼1000 0000，按照逐位取反，末位加1较坛，得到的還是1000 0000）

這個(gè)模型就是a+b=印蔗，那么a=-b，b=-a丑勤。

4 補(bǔ)碼的同余

對(duì)于一般的計(jì)算华嘹，a的補(bǔ)碼我們認(rèn)為是-a，為什么可以這樣法竞。對(duì)于a耙厚，根據(jù)計(jì)算公式，其補(bǔ)碼為-a岔霸，我們需要認(rèn)定的是-a與-a同余即可薛躬。

-a=-a-(*(-1))...-a，即商取-1呆细，得到余數(shù)是-a

對(duì)于-a型宝，商取0即可，得到余數(shù)是自身絮爷，與-a的余數(shù)相同趴酣，得到 -a-a

從而用這種方式計(jì)算補(bǔ)碼，表示負(fù)數(shù)坑夯。（對(duì)于負(fù)數(shù)取余岖寞，各個(gè)語(yǔ)言有些差異，主要在取商上面柜蜈，請(qǐng)看參考文檔）

以上仗谆，我們得出結(jié)論，a的補(bǔ)碼即為-a

5 運(yùn)算

補(bǔ)碼只是解決兩數(shù)相減的運(yùn)算跨释，對(duì)于兩正數(shù)相加胸私，兩負(fù)數(shù)相減的溢出問(wèn)題，任然還是問(wèn)題鳖谈。也就是說(shuō)溢出了岁疼，就超出了能計(jì)算的范圍，答案就是錯(cuò)的缆娃。

觀察一下補(bǔ)碼的運(yùn)算捷绒，一個(gè)正數(shù)減去另一個(gè)正數(shù)，或者說(shuō)一個(gè)正數(shù)加上一個(gè)負(fù)數(shù)贯要。對(duì)于補(bǔ)碼暖侨，以8位舉例，最大的數(shù)-1崇渗，是1111 1111字逗，最小的數(shù)-128京郑，是1000 0000，我們看葫掉，最大的數(shù)是最容易溢出些举，溢出后表示的就是正數(shù)，而計(jì)算結(jié)果也正是正數(shù)俭厚。而最小的數(shù)反而是最不容易溢出的户魏，那相加的數(shù)沒(méi)溢出，表示的數(shù)還是負(fù)數(shù)挪挤。

6 番外

注意叼丑，8位二進(jìn)制能表示256個(gè)數(shù)是沒(méi)有質(zhì)疑的，但是能表示哪256個(gè)數(shù)扛门，卻是人為定義的鸠信。

比如負(fù)數(shù)，表示(-1)-(-128)很容易理解尖飞，但是症副，根據(jù)上面的同余概念，（-1）與（-257）同余政基，

（-128)與(-384)同余。那么闹啦，負(fù)數(shù)部分表示(-257)-(-384)可不可以沮明？當(dāng)然可以，但是

正數(shù)部分表示的數(shù)也得相應(yīng)改變（由(0)-(127)變?yōu)?256)-(383)）窍奋，這樣才能保證計(jì)算結(jié)果結(jié)果正確荐健。

參考資料：

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E8%A3%9C%E6%95%B8

http://ceeji.net/blog/mod-in-real/