事情的開端汤善，是這樣的。
我一直在想票彪，一個命題為什么只能是真或者假红淡？雖然模糊邏輯提出了這個二重態(tài)的混合態(tài)，但本質(zhì)上來說還是真假二元的降铸≡诤担可為什么一個命題不是真的就是假的？不能既真又假推掸，或者既非真亦非假桶蝎？或者無法判定一個命題的真假——這也是真假以外的一個狀態(tài)。
是命題天生只能有真假二分谅畅，還是說是我們已經(jīng)習(xí)以為常了真假二分的命題登渣，所以在數(shù)學(xué)上規(guī)定了命題只能真假二分？
元素和集合的關(guān)系都有哪些呢毡泻？一般來說胜茧，一個元素要么屬于一個指定集合，要么不屬于牙捉。但竹揍，這種二分到底是元素和集合天然就有的關(guān)系敬飒，還是因為我們已經(jīng)習(xí)慣了如此關(guān)系和元素和集合，所以在數(shù)學(xué)上強行構(gòu)造了這么一種關(guān)系結(jié)構(gòu)呢芬位？
維特根斯坦的邏輯哲學(xué)的基礎(chǔ)是命題的真假函項无拗，但如果我們不用這個為前提，而采用模糊邏輯昧碉，那么是否會引入概率分布和統(tǒng)計呢英染？如果出現(xiàn)統(tǒng)計，使用貝葉斯概率還是不含主觀因素的非貝葉斯概率呢被饿？
我們都知道自然數(shù)的嚴格定義依賴于以后繼數(shù)為基礎(chǔ)的皮亞諾公里（基于序數(shù)理論四康，基數(shù)理論有別的定義方法），但究竟是皮亞諾公理給出了自然數(shù)狭握，還是自然數(shù)給出的皮亞諾公理闪金？
上述所有問題可以統(tǒng)一成一句話：到底是數(shù)學(xué)天生就是如此，還是我們選擇了如此這般的數(shù)學(xué)论颅？
讓我們先歇一下哎垦，想想究竟什么是數(shù)學(xué)？
對究竟什么是物理這樣的問題的探究會讓人陷于迷思——比如關(guān)于“物理”恃疯、“物理理論”和“物理學(xué)家的物理理論”這三樣?xùn)|西漏设，你能一下子說出它們的不同和關(guān)聯(lián)嗎？
有自然存在之物做參照的物理學(xué)尚且讓人有點摸不著頭腦今妄，這純思辨的數(shù)學(xué)就更摸不著邊際了郑口。
在我看來，數(shù)學(xué)就是研究一切邏輯上與形式上可能存在之物的學(xué)問盾鳞。
既然是一切邏輯上和形式上可能存在的對象犬性，那么，回到上面的問題——那些問題我們現(xiàn)如今的選擇雁仲，是唯一的選擇仔夺，還只是因為歷史原因而我們做出的選擇呢？
究竟世界本就如此攒砖，還是世界演化至此缸兔？
讓我們來看自然數(shù)的序數(shù)和基數(shù)的兩種定義方式：
自然數(shù)的序數(shù)定義（皮亞諾公理）：
滿足以下五點的系統(tǒng)吹艇，被稱為“自然數(shù)集”惰蜜，其中的元素稱為“自然數(shù)”：
1，存在始元受神，記為1抛猖；
2，任意元素n有且只有為一個的“后繼數(shù)”，記為n+1财著，且n+1也是該集合元素联四；
3，如果元素m和n的后繼數(shù)是同一個元素撑教，那么m和n必然也是同一個元素朝墩；
4，始元1不是任何該集合中元素的后繼數(shù)伟姐；
5收苏，如果存在一個集合S，始元1是S的元素愤兵，且如果元素n在S中鹿霸，則n的后繼數(shù)n+1也在S中，那么S必然就是自然數(shù)集秆乳。
這是通過序數(shù)理論構(gòu)建出的自然數(shù)和自然數(shù)集的定義懦鼠。
而從基數(shù)理論，自然數(shù)和自然數(shù)集可以這樣給出：
記錄0={}屹堰，1={0}={{}}葛闷，那么自然數(shù)n就是集合：n={0,1,2...n-1}，及自然數(shù)n就是所有小于n的自然數(shù)為元素構(gòu)成的集合双藕。
通過上面兩個定義，我們自然可以看出：這樣定義出的集合阳仔，的確就是自然數(shù)集忧陪，而其中的元素，也的確就是自然數(shù)近范。
當讓我們后退一步嘶摊，站在外面重新看這兩條定義，它們到底是“構(gòu)造了自然數(shù)”评矩，還是“描述了自然數(shù)”叶堆？
比如說，為什么皮亞諾公理選擇了這樣的五個條件斥杜？
我想答案更多是“這樣的條件可以給出符合我們所理解的自然數(shù)的集合”虱颗。可這樣就是“先有了自然數(shù)蔗喂，然后找出描述自然數(shù)的一組最精簡的條件”忘渔，而不是“從無到有地構(gòu)造出了自然數(shù)”。換言之缰儿，這樣得到的自然數(shù)畦粮，是以我們?nèi)粘Ｉ钪兴佑|到的自然數(shù)為標本所作的嚴謹描述，但本身并不能回答這么一個問題——為什么自然數(shù)是這樣的。
它可以告訴我們宣赔，從數(shù)學(xué)的角度预麸，如何選擇一個公理體系并構(gòu)造出自然數(shù)，但無法告訴我們?yōu)槭裁匆@么構(gòu)造儒将。
是為“知其然不知其所以然”也吏祸。
比如說群這個數(shù)學(xué)對象，其定義為：
一個群椅棺，其上定義一個二元運算×犁罩，運算×滿足：
1，a×b是集合中的元素（封閉性）两疚；
2床估，(a×b)×c=a×(b×c)（結(jié)合律）；
3诱渤，存在單位元滿足e×a=a×e=a丐巫；
4，任何元素a存在逆元b使得a×b=b×a=e勺美。
我們一般都認為上述的定義給出“群”這個數(shù)學(xué)對象的嚴格描述递胧，但這個定義并不是牢不可破的，換言之并不是說一個數(shù)學(xué)對象只能由著四條定義給出赡茸，缺一不可缎脾，相反地，缺少一點東西以后能得到更廣闊的內(nèi)容占卧，比如去掉逆元這個條件遗菠，我們得到了幺半群；如果再去掉存在單位元這個條件华蜒，就得到半群辙纬；接下來，單獨砍掉結(jié)合律叭喜，我們得到環(huán)群俊性；在環(huán)群上砍掉單位元兼犯，就得到擬群片林；如果在群的定義上單獨去掉封閉性茁计，我們得到廣群；如果再在廣群基礎(chǔ)上砍掉逆元啥辨，就得到范疇（當然昂儒，應(yīng)該是非真類的小范疇，大范疇可以定義在類上委可，而群是定義在集合上的）渊跋。
也就是說腊嗡，群這個對象之所以這么要求，是因為我們需要這些要求來描述群這個我們已經(jīng)熟知的東西（群和對稱的經(jīng)驗起源是共通的）拾酝。如果我們將這些描述松動一下燕少，或者甚至修改一下，我們就能得到不同而有聯(lián)系的另一類東西蒿囤。
自然數(shù)也是這樣——為什么要皮亞諾的五條條件客们？因為這五條條件構(gòu)成的公理體系描述了我們熟知的自然數(shù)——而不是說自然數(shù)天生就長這樣。
是我們先有了并熟悉了自然數(shù)的概念材诽，然后我們才找出了皮亞諾公理體系來描述這個我們早已熟知的東西底挫。
如果我們對這五條做一點小修改，說不定就能得到不同的東西——可以不叫自然數(shù)脸侥，而是叫廣義自然數(shù)或者亞自然數(shù)泛自然數(shù)什么的建邓。
因此，這就牽扯到這么一個問題——我們現(xiàn)在所認為的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)——無論是公理集合論還是拓撲斯——到底有多少是我們?nèi)藶檫x擇出來的呢睁枕？
換言之官边，我們目前的數(shù)學(xué)，是“所有可能的邏輯與形式的一部分”外遇，還是就是“所有可能的邏輯與形式”注簿？
或者問，我們現(xiàn)在的數(shù)學(xué)是理應(yīng)如此的跳仿，還是演化至此的诡渴？
選擇一些徹底不同的基礎(chǔ)，是否可能得到意想不到的數(shù)學(xué)菲语？還是已經(jīng)包含在現(xiàn)有數(shù)學(xué)中了玩徊？
比如，如果命題不只有真假之分谨究，加入元素可以不只在指定集合內(nèi)外，存在這種楚河漢界劃分之外的關(guān)系泣棋，那么數(shù)學(xué)會是如何的胶哲？
——還是說，存在數(shù)學(xué)原則要求不能做如此跨越二元的狀態(tài)潭辈？
你看鸯屿，連數(shù)學(xué)都未必是一成不變的，何況別的那些日常觀念乎把敢？
換個視角寄摆，世界將格外精彩。
