? ? ? ? 上一篇文章《集合的精確平均劃分》，經(jīng)典的例子大可以作進(jìn)一步的引申淋纲，繼續(xù)挖掘下去，我們可以提出這樣一個(gè)問(wèn)題：
? ? ? ? 對(duì)于哪些正整數(shù)n，只要確定從n個(gè)不同的數(shù)中任意選取的兩個(gè)數(shù)的和兄猩，就可以唯一確定這n個(gè)數(shù)？
? ? ? ? 如果沒(méi)有具體的例子，題面還真不那么容易理解枢冤，好在我們可以拿出上一篇文章里精確劃分的集合鸠姨，如
或者
? ? ? ? 不難驗(yàn)證，對(duì)于集合X中的任意兩個(gè)數(shù)的和淹真，在Y中一定有對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的和與之相等讶迁。例如X"中的11+13等于Y"中的9+15。也就是說(shuō)核蘸，從n個(gè)數(shù)里任取兩個(gè)數(shù)求和巍糯，即使和值都確定，也可能得到兩個(gè)不同的集合客扎，而不是唯一地確定一個(gè)n個(gè)數(shù)的集合祟峦！此時(shí)n=2^k。
? ? ? ? 同樣可以用數(shù)學(xué)歸納法給出證明徙鱼，對(duì)于集合X,Y宅楞，是｛1，2袱吆，…厌衙，2^k｝的一個(gè)劃分，假設(shè)有：
? ? ? ? xi+xj=yi+yj （1）绞绒，
? ? ? ? 提升到新的集合：
? ? ? ? 可以總結(jié)出婶希，X'中的兩個(gè)數(shù)的和無(wú)非是如下三種形式之一：
? ? ? ? 由歸納假設(shè)（1）式，顯然xi+xj=yi+yj处铛，且xi+xj+2^(k+1)=yi+yj+2^(k+1)饲趋，而不論X'或Y'，都包含集合X∪Y中的任意一個(gè)x與y撤蟆。所以奕塑，X'與Y'中對(duì)應(yīng)兩數(shù)的和也是相等的。#
? ? ? ? 我們猜測(cè)家肯，也許結(jié)論是這樣的：如果正整數(shù)n不等于2的冪龄砰，通過(guò)取兩個(gè)數(shù)的和才可以唯一確定一個(gè)集合。但是讨衣，上面僅僅是舉了一個(gè)2^k個(gè)元素的集合的例子换棚，容易想到，如果所有集合的每個(gè)數(shù)都加上一個(gè)正整數(shù)m反镇，這個(gè)結(jié)論顯然也成立固蚤。我們感興趣的是，能不能一般地求出n=2^k歹茶？
? ? ? ? 首先要明確一點(diǎn)夕玩，為什么題面中強(qiáng)調(diào)是從n個(gè)不同的數(shù)中選饶阆摇？對(duì)于集合
? ? ? ? 假如集合X有兩個(gè)數(shù)相同燎孟，每個(gè)數(shù)依次與X中所有其他數(shù)相加禽作，會(huì)產(chǎn)生n-1對(duì)相同的和值，由（1）式揩页，集合Y兩元素相加旷偿，一定也有n-1對(duì)相同的和值，可知爆侣，Y中也有兩個(gè)數(shù)相同萍程。
? ? ? ? 對(duì)于集合X,Y相同的兩個(gè)數(shù)，由（1）式累提，顯然xi=xj=yi=yj尘喝，即X,Y中有元素是相同的。xi=yi斋陪，再由（1）式朽褪，對(duì)所有的j相加，可得兩集合X,Y是完全相同的无虚。
? ? ? ? 所以缔赠，要想通過(guò)取兩個(gè)數(shù)的和不唯一地確定一個(gè)集合，首先要從n個(gè)不同數(shù)中選取友题。
? ? ? ? 下面給出直接求解正整數(shù)n的方案嗤堰。可以提前告訴大家度宦，這是一個(gè)堪稱(chēng)經(jīng)典的初等證明踢匣，把等式變換的魅力體現(xiàn)得淋漓盡致。設(shè)相應(yīng)兩元素之和相等的兩個(gè)不同集合：
即對(duì)于任何不同的i≠j戈抄，xi+xj=yi+yj离唬，設(shè)
? ? ? ? 顯然，p,q兩式的平方的所有交叉項(xiàng)都是相等的划鸽，所以有
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）
? ? ? ? 由p(1)=q(1)=n输莺，可知方程p(z)-q(z)=0必有一個(gè)根是1，不妨設(shè)其重?cái)?shù)為k裸诽，可得如下的因式分解形式嫂用，再經(jīng)過(guò)變換：
? ? ? ? 最后，令z=1丈冬，立得2n=2^k嘱函，即n是2的冪！
? ? ? ? 凌波微步般精妙的等式變換直抵滿足條件的那些n值埂蕊，令人擊節(jié)不已往弓，難怪這個(gè)題面看起來(lái)并不精練的問(wèn)題會(huì)令供職于著名的AT&T實(shí)驗(yàn)室的學(xué)者Nick Reingold念念不忘橄浓。回味一下亮航，（2）式的設(shè)立高屋建瓴，若挈裘領(lǐng)匀们，事實(shí)上缴淋，這一巧思并不神秘，只不過(guò)用到了所謂“母函數(shù)”的思想泄朴。
? ? ? ? 何謂母函數(shù)重抖？顧名思義，一定能生成某些東西祖灰，所以也叫“生成函數(shù)”钟沛。曾經(jīng)是華羅庚的得力助手，在多復(fù)變函數(shù)論領(lǐng)域承華老衣缽的史濟(jì)懷先生也是位杰出的科普作家局扶，他曾經(jīng)借助組合數(shù)來(lái)平易自然地引入母函數(shù)的概念恨统。由二項(xiàng)式定理：
? ? ? ? 系數(shù)是一個(gè)數(shù)列：
? ? ? ? 這個(gè)數(shù)列可以認(rèn)為是由函數(shù)(1+x)^n“產(chǎn)生”的，所以三妈，f(x)=(1+x)^n就是數(shù)列的母函數(shù)畜埋。其實(shí)，我們?cè)缫言诓恢挥X(jué)借助母函數(shù)的方法畴蒲，例如悠鞍，由
? ? ? ? 兩邊分別用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，可以輕松得到如下組合恒等式：
? ? ? ? 這樣的應(yīng)用顯然不能滿足我們對(duì)新概念模燥、新數(shù)學(xué)思想的求知欲咖祭，接下來(lái)就欣賞一個(gè)著名的“替換普通骰子”問(wèn)題，屬于一類(lèi)用母函數(shù)來(lái)解決的典型問(wèn)題：能否設(shè)計(jì)兩個(gè)不同的骰子蔫骂，使它們擲出某個(gè)點(diǎn)數(shù)之和的情況與兩個(gè)普通骰子是一樣的么翰？也就是說(shuō)，擲出的點(diǎn)數(shù)之和是3有2種方法纠吴，擲出點(diǎn)數(shù)和是7有6種方法硬鞍，擲出12有1種方法等等。當(dāng)然戴已，每個(gè)骰子必須有6個(gè)面固该，每個(gè)面都用一個(gè)正整數(shù)標(biāo)記。
? ? ? ? 這個(gè)有趣的問(wèn)題非常著名糖儡，甚至它的答案有個(gè)專(zhuān)門(mén)的名稱(chēng)：“Sicherman的骰子”伐坏，因?yàn)榇鸢缸钤缡怯擅绹?guó)新澤西州的George Sicherman上校發(fā)現(xiàn)的，兩枚骰子每個(gè)面的標(biāo)記分別是｛1,3,4,5,6,8｝和｛1,2,2,3,3,4｝握联！
? ? ? ? 我們用變量為x的多項(xiàng)式來(lái)表示其中的一顆骰子桦沉，x^k項(xiàng)的系數(shù)表示骰子上出現(xiàn)標(biāo)記k的次數(shù)每瞒，顯然，一顆普通的骰子對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式就是：
? ? ? ? 解答問(wèn)題的關(guān)鍵是纯露，擲兩顆骰子的情況可以用它們對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式的乘積來(lái)表示剿骨。比如，擲兩顆普通骰子埠褪，乘積f^2(x)的x^10項(xiàng)的系數(shù)不過(guò)是從兩個(gè)f(x)中各取一項(xiàng)相乘浓利，使得乘積為x^10的方法數(shù)，擲出點(diǎn)數(shù)之和是10共有三種方法钞速，如下：
? ? ? ? 現(xiàn)在贷掖，設(shè)表示我們需要設(shè)計(jì)的骰子的多項(xiàng)式分別是g(x)，h(x)渴语，擲出某個(gè)點(diǎn)數(shù)之和的情況相同苹威，也就是
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）
? ? ? ? 下面用到的方法并不陌生，無(wú)非是多項(xiàng)式的因式分解驾凶，f(x)可分解為
? ? ? ? 要滿足（3）式牙甫，無(wú)非是嘗試一下，f式平方后的8個(gè)因式调违，怎么分配給g(x)腹暖，h(x)。限制條件顯然是翰萨，g(x)和h(x)里不能出現(xiàn)系數(shù)（方法數(shù)）為負(fù)的項(xiàng)脏答，也不能出現(xiàn)非零的常數(shù)項(xiàng)——這一條表示骰子上不可能有面標(biāo)記“0”，限制因式分解亩鬼，要求兩個(gè)因式x必須給g,h各分配一個(gè)殖告。
? ? ? ? 嘗試幾次，滿足條件的只有如下的分配方式：
? ? ? ? 取其系數(shù)雳锋，就是設(shè)計(jì)的答案｛1,3,4,5,6,8｝和｛1,2,2,3,3,4｝黄绩。Sicherman的骰子問(wèn)題可以作出許多發(fā)散，至今仍然有數(shù)學(xué)工作者對(duì)此津津樂(lè)道玷过。有興趣的讀者可以用同樣的方法嘗試一下一個(gè)新的問(wèn)題：如果有種正八面體骰子爽丹，每個(gè)面分別標(biāo)記數(shù)字1到8，能否以一對(duì)數(shù)字標(biāo)記不同的八面體骰子作為它們的替代品辛蚊？
? ? ? ? 通過(guò)兩個(gè)經(jīng)典的例子粤蝎，我們對(duì)于運(yùn)用母函數(shù)分析問(wèn)題的基本思想有了大致的了解。一言以蔽之袋马，母函數(shù)把組合問(wèn)題中的加法原理和冪級(jí)數(shù)的冪次項(xiàng)相加對(duì)應(yīng)了起來(lái)初澎。本文開(kāi)篇從n個(gè)不同的數(shù)中任意選取兩個(gè)數(shù)之和的例子里，離散數(shù)列間的結(jié)合關(guān)系被對(duì)應(yīng)到冪級(jí)數(shù)間的運(yùn)算關(guān)系虑凛。“取集合X中的任意兩個(gè)數(shù)之和，在Y中一定有對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)之和與之相等”的離散關(guān)系被神奇地轉(zhuǎn)換成我們的“裘領(lǐng)”第（2）式航背，正因?yàn)橛辛诉@種對(duì)應(yīng)，牧野鷹揚(yáng)一般的數(shù)學(xué)想象力才被賦予了起飛之巢窠祸挪，進(jìn)而探驪得珠。而在替換普通骰子的例子里贞间，冪級(jí)數(shù)形式來(lái)確定離散數(shù)列的構(gòu)造匕积，實(shí)乃結(jié)構(gòu)本天成，妙手偶得之榜跌。
? ? ? ? 在組合數(shù)學(xué)中，母函數(shù)不僅是一件工具盅粪，還是一整套重要的理論钓葫。母函數(shù)有很多種類(lèi)型，包括普通母函數(shù)票顾、指數(shù)母函數(shù)础浮、L級(jí)數(shù)、貝爾級(jí)數(shù)和狄利克雷級(jí)數(shù)等奠骄。西方哲學(xué)史上自古就有對(duì)所謂共相問(wèn)題的爭(zhēng)論豆同，從個(gè)別具體的例子中抽提共同本質(zhì)形成的抽象概念，反過(guò)來(lái)成了衡量具體例子的尺度含鳞，于是影锈，后世一輪又一輪爭(zhēng)論中雙方的基本主張被不斷賦予換湯不換藥的新名詞。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中蝉绷，對(duì)于抽象的概念我以為一定要從具體的例子入手鸭廷，且一例不通，不看下例熔吗。著有《發(fā)生函數(shù)（即母函數(shù)）論》一書(shū)的Herbert S. Wilf有個(gè)絕妙的比喻：母函數(shù)就是一列用來(lái)展示一串?dāng)?shù)字的掛衣架辆床。在充滿藝術(shù)氣息的衣架博覽會(huì)現(xiàn)場(chǎng)，與其走馬觀花浮光掠影桅狠，不如駐足一個(gè)細(xì)部讼载，細(xì)玩一兩件精妙而天成的設(shè)計(jì)中跌。
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