（轉載者）【邏輯引擎】簡序：雖然關于超限數(shù)的一些理論（特別是大基數(shù)）遭到某些直覺主義者或構造主義者的詬病，但對我個人而言，如果非要讓我在我所有的知識中挑選出唯一一種美到令我窒息的東西爱榔，那就是超限數(shù)虾攻。這是瘋子數(shù)學天才康托爾（<a title="Georg Cantor" target="_blank">Georg Cantor</a>）開啟的通往無窮地獄的神奇窗口。對我而言，超限數(shù)比任何瘋狂的幻想小說都更加瘋狂允坚。你一旦進入了這個浩瀚的世界，就會發(fā)現(xiàn)自己所知道的一切蛾号，甚至是自己最為瘋狂的幻想稠项，都是無限微不足道的。相比于原則上不受任何限制可隨意創(chuàng)造甚至連邏輯含混不清自相矛盾都可容忍的幻想小說設定鲜结，超限數(shù)卻是在絕對嚴格地遵守最苛刻規(guī)則的同時展运，又絕對無限地突破任意強大的智力能夠觸及的極限。即便是強大到能創(chuàng)造整個宇宙的造物主精刷，擁有對人類而言真正無窮大的計算能力拗胜，在超限數(shù)的層級上充其量可以比我們多走一點點。而在超限數(shù)這個浩瀚的世界中怒允，多走這一點點只不過是無限微不足道的進展埂软。僅憑這一點，我就愿意用一生去欣賞它纫事。

雖然本文是一篇很不錯的科普勘畔，但真的想要通過本文體會到超限數(shù)的美妙之處，還是需要讀者對此多少有所了解儿礼，否則可能會對超限數(shù)這種奇異的數(shù)學結構感到莫名其妙咖杂。

如果讀者居然能硬著頭皮把文章看完庆寺，哪怕最終像文中阿基里斯一樣不省人事蚊夫，你也已經欣賞到了超限數(shù)的華麗皮毛。如果你居然像文中的烏龜女士一樣對此樂此不疲懦尝，愿意花更多精力去了解和研究知纷，說明你跟我一樣，病的不輕藥不能停陵霉，你一定會對我前面所說的話產生強烈的共鳴琅轧。

在此，“超限”感謝若干年前將法文原著翻譯成中文的·異調·踊挠，這篇文章連英文版我都沒找到過乍桂，沒有·異調·的貢獻，中文讀者不知道何時才能接觸到這篇如此華麗的數(shù)學基礎科普故事效床。雖然我在看到這篇文章之前就已經對超限數(shù)的美麗感到窒息睹酌，但這篇文章讓我從窒息跌入了窒息的窒息次方、窒息的窒息的窒息次方次方……的無底深淵 ;-)

最后剩檀，一切榮耀歸于原作者David Madore…………Mad-ore憋沿？瘋子礦？；铩辐啄！Cantor是個瘋子采章，這位居然是瘋子礦，難道超限數(shù)的震撼真的只有真正的瘋子才能領略么壶辜？好吧悯舟，能欣賞到如此絕美的東西，我也寧愿當個瘋子砸民。

——原來在BBS上發(fā)表的譯文不支持TeX公式图谷，許多符號只好用字符替代，我此次轉載將這些符號全部替換成了TeX公式阱洪。此外便贵，我對一些引起某些讀者困惑的內容加了幾條新的注釋。

本文鏈接 <a >http://zhblog.engic.org/20141003-015609/</a>
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不同尋常的數(shù)[注1]
原作者 David Madore
中譯者 異調（原三思科學BBS網友：冷飯冗荸，留法數(shù)學博士）
<a title="Des nombres peu ordinaires" target="_blank">法語原版</a>

阿基里斯和烏龜正在參觀一個現(xiàn)代藝術展覽承璃，他們欣賞著一幅除了八根水平黑色橫線外一片空白的畫，畫的題目叫“序數(shù)8”蚌本。

<p style="text-align: center;"><img src="http://zhblog.engic.org/wp-content/uploads/2014/10/ordinal0.gif"/>
序數(shù)8</p>

阿基里斯：對你說吧盔粹，我挺喜歡繪畫的。不過這程癌，這也太過分了舷嗡，這個阿列封斯·阿萊[注2]……

烏龜（好笑地）：阿列封斯·埃夫伊！綽號“阿列夫伊”嵌莉。阿列封斯·阿萊是個作家进萄，不是畫家。

阿基里斯（不理睬烏龜）：……那幅一片空白的畫锐峭，取名叫“序數(shù)0”中鼠，大概可以算是好創(chuàng)意。畫張一根線的畫沿癞，叫作“序數(shù)1”援雇，也還過得去。接下去的“序數(shù)2”椎扬，也馬馬虎虎惫搏。可一直畫到這里蚕涤，我覺得真太夸張了筐赔。（阿基里斯不安地往右邊望望，又忙恐懼地轉過頭來钻趋。）我說他以這為主題創(chuàng)作的作品可真不少哪川陆。

烏龜：你要求太高了，阿基。這是他青年時期的作品较沪。要是你樂意鳞绕，我們往前面走走：他在往后的生涯中畫了更有意思的作品。

（烏龜開始以一個令阿基里斯吃驚的速度朝前走——他幾乎跟不上她的腳步尸曼。）

阿基里斯：我說们何，他這青年時期的作品有那么多啊，能讓你走得這么快控轿。

烏龜：當然嘍冤竹。事實上有無限幅。

阿基里斯：無限幅茬射？那我們就永遠走不到頭啦鹦蠕！

烏龜（非常好笑）：我還以為聽見芝諾在說話呢。你知道的在抛，就是那個以為你永遠趕不上我的哲學家钟病。講的自然都是些蠢話。（她走得越來越快刚梭。）在有限長的時間里做無限件事情并非不可能肠阱，在有限的空間里放上無限件東西也并非不可能。只有希臘人才會怕無限怕成這個樣子朴读。

阿基里斯（狠狠地瞪烏龜一眼）：我才不怕無限呢屹徘！我只是擔心這么走下去有點單調……尤其是快要走完的時候。

烏龜：別擔心衅金，有多種多樣的無限噪伊。嗨！我們到了典挑。

（阿基里斯吃驚地四下張望酥宴。他有點不太明白自己是怎么走到這里來的啦吧。在他的前面是一幅新的畫您觉，題目為“序數(shù)[tex]\omega[/tex]”。畫的還是水平橫線授滓。不過這次這些線越往上就排得越緊琳水，在畫的頂部，線條排得密密麻麻分不清了般堆。）

<p style="text-align: center;"><img src="http://zhblog.engic.org/wp-content/uploads/2014/10/ordinal1.gif"/>
序數(shù)[tex]\omega[/tex]</p>

阿基里斯：噢在孝，這個就好多了。橫線漸漸接近淮摔，就好像是排向一條地平線私沮。我想它們大概有無限條吧……

烏龜：當然嘍，事實上正有無限條和橙。

阿基里斯：我記得剛聽你說過這玩意仔燕，這畫大概就是那個“序數(shù)”系列作品的最后一幅吧造垛。這個[tex]\omega[/tex]表示畫家希望終結此主題，然后去畫點別的東西的愿望[注3]晰搀，這也就是那些終結于地平線的橫線所象征的五辽。我不禁想起了歌德《浮士德》中最后的詩句：“Das Unzulangliche / Hier wird's Ereignis.”[注4]

烏龜（嘻嘻哈哈）：你可真了不起啊，阿基外恕！在你又要引用德日進[注5]語錄之前杆逗，我建議你先往右邊看看。

（阿基里斯聽話地往右看鳞疲，當他瞧見那幅題為“序數(shù)[tex]\omega+1[/tex]”的畫時罪郊，張口結舌。這是一幅和“序數(shù)[tex]\omega[/tex]”幾乎一模一樣的畫尚洽，差別就是在最上頭多了一條線排龄。）

<p style="text-align: center;"><img src="http://zhblog.engic.org/wp-content/uploads/2014/10/ordinal2.gif"/>
序數(shù)[tex]\omega+1[/tex]</p>

阿基里斯（快崩潰了）：哎呀呀呀！我早該防著這手了……要是我現(xiàn)在問你什么是“序數(shù)”翎朱，還不算太晚吧橄维。

烏龜：不算晚。這并不難：一個序數(shù)拴曲，就是一架梯子争舞。

阿基里斯：看看這些一級一級可怕的小杠杠，我早該明白這事了澈灼。就這么多竞川？

烏龜：這是一架你可以無限地向上邁的梯子。但是有條最最基本的規(guī)矩叁熔，就是誰都不能無限地向下邁委乌。

阿基里斯：我好像又糊涂了。

烏龜：這很簡單荣回。無論你選中梯子上的哪級橫檔遭贸，然后踩住它下方的某一級橫檔，這樣就是往下邁一次心软，然后再這么往下邁一次壕吹，一直這樣走下去……結果你總會在有限的步數(shù)里走到最底下。比方說删铃，在我們的序數(shù)[tex]\omega[/tex]里耳贬，那些橫檔從下到上編號為0，1猎唁，2……等等（也就是說以自然數(shù)編號）：要是你想無限次地往下邁咒劲，你就得找到一個無限長的、嚴格遞減的自然數(shù)序列，可這是不可能的腐魂，因為你最后總歸會碰上0慕的。相反地，你可以無限次地向上邁挤渔，比方說0肮街，1，2判导，3……嫉父，或者1，2眼刃，4绕辖，8……號，或者其他別的什么橫檔的序列擂红。要是你把這畫頭朝下掛反了仪际，那就不是一個序數(shù)了，因為那時你可以無限地往下邁昵骤。

阿基里斯：這么聽起來树碱，好像還不算太復雜。

烏龜：別自以為是了变秦！序數(shù)是通往數(shù)學天堂的梯子成榜，懂得它們，就可以算是有點懂得了全部數(shù)學蹦玫。我說過的那條規(guī)矩赎婚，看起來好像挺簡單的，可正是它給予序數(shù)所有的力量樱溉。對于某些復雜得可怕的序數(shù)來說挣输，意識到不能無限地往下走這點，是可以讓人震驚不已的福贞。

阿基里斯（被嚇住了卻還有點嘲笑的口氣）：哇撩嚼！數(shù)學的秘密全在一架梯子的頂上！可這些序數(shù)有什么用場呢肚医？

烏龜：用場大得很绢馍。首先，我們可以對它們做加法：要把兩個序數(shù)[tex]\alpha[/tex]和[tex]\beta[/tex]加起來肠套，我們只需把[tex]\beta[/tex]的梯子放在[tex]\alpha[/tex]的梯子上面。我們把它寫成[tex]\alpha+\beta[/tex]猖任。

阿基里斯（洋洋得意）：[tex]\omega+1[/tex]就是這么來的你稚，我們把序數(shù)1，也就是只有一級橫檔的梯子，放在梯子[tex]\omega[/tex]頂上刁赖。

烏龜：就是這樣搁痛。“加1”宇弛，也就是在一架梯子頂上加上一級橫檔這種特殊情況鸡典，我們叫它為取一個序數(shù)的“后繼”。

阿基里斯：于是[tex]\omega+1[/tex]就是[tex]\omega[/tex]的后繼嘍枪芒。因為要是我把[tex]\omega+1[/tex]頂上的那級橫檔去了彻况，就又得到[tex]\omega[/tex]。同樣地舅踪，[tex]\omega+2[/tex]是[tex]\omega+1[/tex]的后繼……可是纽甘，哎呀你說，[tex]\omega[/tex]這東西抽碌，它是什么東西的后繼昂酚母怜？是[tex]\omega-1[/tex]的后繼爷辙？

烏龜：不是的。沒有[tex]\omega-1[/tex]這種東西褐墅。[tex]\omega[/tex]不是任何序數(shù)的后繼痴颊，因為你不能去掉它的最上面那一級橫檔：那根本就不存在。在每級橫檔的上面祷舀，都還有另一級瀑梗，所以沒有最上面的那級。那些和[tex]\omega[/tex]一樣的裳扯，不是其它哪個序數(shù)的后繼的序數(shù)抛丽，我們把它們叫做“劃限序數(shù)”，其他的序數(shù)我們則稱為“后繼序數(shù)”饰豺。要注意這和有限無限沒關系亿鲜，[tex]\omega+1[/tex]是無限的，但是它是后繼序數(shù)冤吨，因為它有最頂上的那級橫檔蒿柳；而0呢，它是沒橫檔的梯子漩蟆，是有限的垒探，卻是個劃限序數(shù)，因為它一級橫檔都沒有怠李，就別提最頂上的那級了圾叼。

阿基里斯：我不能去掉最上面的那級橫檔蛤克，可我總能在其他隨便什么地方去掉一級吧。比方說夷蚊，最下面第一級构挤。在[tex]\omega[/tex]里，最下面的那級橫檔還是有的惕鼓。

烏龜：當然啦筋现，無論什么序數(shù)都有最下面的那級橫檔。要是沒有的話箱歧，那么任何一級橫檔下總會有其他橫檔矾飞，這樣就可以無限地往下走了，但這是不被允許的叫胁。唯一的例外凰慈，就是0。另外驼鹅，一架梯子上的最下面第一級橫檔叫0號橫檔微谓，第二級叫1號橫檔，等等输钩。序數(shù)的每級橫檔豺型，它們本身就是序數(shù)，它們恰好就是小于整條梯子序數(shù)的那些序數(shù)买乃。比方說姻氨，[tex]\omega[/tex]的橫檔，恰好就是所有自然數(shù)剪验；而[tex]\omega+1[/tex]的橫檔肴焊，就是所有自然數(shù)，再加上最后一級橫檔功戚，也就是橫檔[tex]\omega[/tex]娶眷；[tex]\omega+2[/tex]的橫檔，就是所有[tex]\omega+1[/tex]里的橫檔啸臀，再加上一級名叫“[tex]\omega+1[/tex]”的橫檔届宠。

阿基里斯：我不知道跟沒跟上你說的話。要我說乘粒，兩個序數(shù)里面總有比較大的一個豌注，這事情就已經不是那么顯然了。

烏龜（不容置疑地）：這不是那么顯然灯萍，可這是個事實轧铁。兩個序數(shù)之間總可以比較大小。任何一個序數(shù)就是一架梯子竟稳，它上面的橫檔恰好由比它小的那些序數(shù)來編號[【邏輯引擎】注1]属桦。

阿基里斯（不知所措）：你說了這些熊痴，還是沒回答我原來的問題啊他爸。要是我把[tex]\omega[/tex]最下面那級橫檔去掉聂宾，我就得到了一個小一點的序數(shù)……

烏龜：不對。你得到的還是一模一樣的東西诊笤。從[tex]\omega[/tex]下面去掉一級橫檔不改變任何東西系谐，只要把橫檔的編號換一下就可以了（1號橫檔改名為0號，2號改名為1號讨跟，如此這般）纪他。這序數(shù)還是[tex]\omega[/tex]，它沒有減小晾匠。

阿基里斯：這可真難以置信茶袒！我去掉一級橫檔，可剩下來的還是和原來的一樣多凉馆！

烏龜：不僅僅是和原來一樣多薪寓，而且它們的排列方式也和原來的一樣。你要是在最下面加上一杠也是一回事澜共。

阿基里斯：可你說過[tex]\omega+1[/tex]和[tex]\omega[/tex]不是一回事……

烏龜：這是對的向叉。可是在最下面加一杠嗦董，那是[tex]1+\omega[/tex]母谎，而它，卻和[tex]\omega[/tex]是一回事京革。

阿基里斯：等等奇唤！你是說[tex]1+\omega=\omega[/tex]，而[tex]\omega+1>\omega[/tex]嘍匹摇？我要是在最下面加一杠咬扇，橫檔還是和原來一樣多；我要是在最上面加一杠来惧，橫檔就變多啦冗栗！到底是你腦子有病還是我腦子有病供搀？

烏龜：誰的腦子都沒病隅居。不過你說的不是太正確。[tex]1+\omega=\omega[/tex]而且[tex]\omega+1>\omega[/tex]葛虐，這是對的胎源，但是這不等于說[tex]\omega+1[/tex]上的橫檔要比[tex]\omega[/tex]上的多。一個序數(shù)屿脐，可不是簡單的一堆杠杠：這是一堆以某種形式排放的杠杠涕蚤。要是你把這些杠杠搞亂了宪卿，你就丟掉了序數(shù)，剩下的只是某種叫“基數(shù)”的更含糊的東西万栅。這種情況下佑钾，[tex]\omega[/tex]和[tex]\omega+1[/tex]就沒區(qū)別了，其實就算和[tex]\omega+1729[/tex]也沒區(qū)別：所有這些序數(shù)里的橫檔的數(shù)目是一樣的烦粒，也就是基數(shù)相同休溶，大家一般叫它[tex]\aleph_0[/tex][注6]。不過這和它們作為序數(shù)時有區(qū)別這點并不矛盾扰她。

阿基里斯（厭倦地）：好兽掰，就算你說得對吧。我建議我們繼續(xù)參觀作品[tex]\omega+2[/tex]徒役、[tex]\omega+3[/tex]和它們那一伙吧孽尽，我可以想像它們都長得很象。還有啥忧勿？就完了杉女？

烏龜：完了？想得可真荒唐狐蜕。你跟著我就是了宠纯。

（在超空間中再次小小一躍后，阿基里斯和烏龜站在了一幅題為“序數(shù)[tex]\omega 2[/tex]”的畫前层释。）

<p style="text-align: center;"><img src="http://zhblog.engic.org/wp-content/uploads/2014/10/ordinal3.gif"/>
序數(shù)[tex]\omega 2[/tex]</p>

阿基里斯：哈哈婆瓜！這是一個[tex]\omega[/tex]疊在另一個[tex]\omega[/tex]上啊贡羔！我猜這就是為什么這個序數(shù)叫[tex]\omega 2[/tex]吧廉白。它不就是[tex]\omega+\omega[/tex]嗎？

烏龜：對極了乖寒，華生猴蹂！多敏銳的觀察力啊楣嘁！[注7]事實正是如此磅轻，我們有[tex]\omega 2=\omega+\omega[/tex]。另外逐虚，[tex]\omega 2[/tex]表示我們把序數(shù)2的（兩根）橫檔的每一根都替換成序數(shù)[tex]\omega[/tex]的一個拷貝聋溜。

阿基里斯（被迷住了）：嗨，我說撮躁，這么多杠杠，可真有好些奥蛭怼杨帽！

烏龜：噢型雳，其實和剛才一模一樣多纠俭。你看冤荆，[tex]\omega 2[/tex]的橫檔是這么排列的：有第一個序列，就是老的那個：0权纤、1钓简、2、……汹想，然后這個外邓，就是新的那個：先是橫檔[tex]\omega[/tex]，然后再是[tex]\omega+1[/tex]古掏，然后[tex]\omega+2[/tex]损话、……。現(xiàn)在槽唾，假如我把這些杠杠重新排列一下丧枪，我先放上0，然后[tex]\omega[/tex]庞萍，然后1拧烦，然后[tex]\omega+1[/tex]，然后2钝计，然后[tex]\omega+2[/tex]恋博，這么繼續(xù)下去……那么，要是以這個順序排列的話私恬，我就得到了一模一樣的……

阿基里斯：[tex]\omega[/tex]债沮！所以說，雖然[tex]\omega 2[/tex]是一個比[tex]\omega[/tex]大得多的序數(shù)践付，可是它們上面的橫檔的數(shù)目卻是相同的秦士。

烏龜：正是如此。它們有相同的基數(shù)永高。這兩個都被稱為是“可數(shù)的”隧土。另外提针，[tex]2\omega[/tex]和[tex]\omega[/tex]是同一個的序數(shù)，因為[tex]2\omega[/tex]就是把[tex]\omega[/tex]的每根橫檔都換成兩根曹傀，這樣做其實既沒增加橫檔的級數(shù)辐脖，也沒改變它們的排列方式。

阿基里斯（大吃一驚）：是敖杂洹嗜价！這后面，又有[tex]\omega 2+1[/tex]幕庐，然后[tex]\omega 2+2[/tex]久锥，然后[tex]\omega 2+3[/tex]等等，然后在這一堆的后面异剥，我想就該有[tex]\omega 3[/tex]了瑟由，它就是三個[tex]\omega[/tex]疊在一起。然后又是[tex]\omega 3+1[/tex]等等一直到[tex]\omega 4[/tex]冤寿，再往后就是[tex]\omega 5[/tex]歹苦、[tex]\omega 6[/tex]、……這個阿列夫伊的繪畫督怜，就是這些了吧殴瘦？

烏龜：你說的很有道理。不過還不能停下來号杠。

阿基里斯：啥蚪腋？？究流？后面還有東西辣吃？

（烏龜（跑夠了）打了個響指（烏龜做這種事，和她能跑步一樣芬探，都很讓人吃驚的）神得，她和阿基里斯正站在一幅名叫“序數(shù)[tex]\omega^2[/tex]”的畫前。阿基里斯心悅誠服地陷入了沉思偷仿。）

<p style="text-align: center;"><img src="http://zhblog.engic.org/wp-content/uploads/2014/10/ordinal4.gif"/>
序數(shù)[tex]\omega^2[/tex]</p>

阿基里斯：我懂了哩簿！它其實先是一個[tex]\omega[/tex]，然后再在上面疊一個[tex]\omega[/tex]酝静，然后再一個节榜，一直這么疊上無窮次。

烏龜：一直這么疊上不多不少[tex]\omega[/tex]次别智。換句話說宗苍，把[tex]\omega[/tex]的每根橫檔都換成一整個[tex]\omega[/tex]，我們就得到了[tex]\omega^2=\omega\omega[/tex]。接著呢讳窟？

阿基里斯：接著就是[tex]\omega^{2+1[/tex]让歼，[tex]\omega}2+2[/tex]，這么一直下去就到了……就到了……

烏龜：就到了[tex]\omega^{2+\omega=\omega(\omega+1)[/tex]丽啡，就是在[tex]\omega}2[/tex]的頂上疊上一個[tex]\omega[/tex]谋右，換種方法也可以是把[tex]\omega+1[/tex]的每根橫檔都換成一整個[tex]\omega[/tex]。

阿基里斯：我猜它和[tex]\omega+\omega^2[/tex]不一樣吧补箍？或者說和tex\omega[/tex]不一樣改执？

烏龜：是這樣的！[tex]\omega+\omega^{2[/tex]簡化了其實就是[tex]\omega}2[/tex]坑雅。說到tex\omega[/tex]辈挂，它是把[tex]\omega[/tex]的每根橫檔都換成一整個[tex]\omega+1[/tex]，可是這個“+1”會被它上面的那個[tex]\omega[/tex]吃掉霞丧，于是最后我們就重新回到[tex]\omega^2[/tex]上呢岗。

阿基里斯：順便說一下，我忘了問你……我想[tex]\omega^2[/tex]蛹尝，這東西，它里面的橫檔總比[tex]\omega[/tex]里的要多吧悉尾？

烏龜：還是不對突那。你可以把它里面的橫檔重新這么排列：先是第一個[tex]\omega[/tex]里的0號橫檔；然后是第二個[tex]\omega[/tex]里的0號橫檔构眯，后面緊跟第一個[tex]\omega[/tex]里的1號橫檔愕难；然后是第三個[tex]\omega[/tex]里的0號橫檔，后面緊跟第二個[tex]\omega[/tex]里的1號橫檔惫霸，再接上第一個[tex]\omega[/tex]里的2號橫檔猫缭；然后是第四個[tex]\omega[/tex]里的0號，緊跟第三個[tex]\omega[/tex]里的1號壹店，再接上第二個[tex]\omega[/tex]里的2號猜丹，再接上第一個[tex]\omega[/tex]里的3號；然后是第五個[tex]\omega[/tex]里的0號……

阿基里斯：夠啦硅卢！我啥都沒聽懂射窒，不過我相信你說的，這么干就又能得到[tex]\omega[/tex]将塑。還是重新爬我們的梯子吧……[tex]\omega^{2+\omega[/tex]的后面脉顿，就是[tex]\omega}2+\omega+1[/tex]，這么下去一直到[tex]\omega^2+\omega 2[/tex]点寥，然后就是[tex]\omega^2+\omega 3[/tex]艾疟，再下去我想就要碰上[tex]\omega^2 2[/tex]了。

烏龜：完全正確。這是兩個[tex]\omega^2[/tex]疊起來的怪物蔽莱。這張就是了误褪。（她打了個響指。）

<p style="text-align: center;"><img src="http://zhblog.engic.org/wp-content/uploads/2014/10/ordinal5.gif"/>
序數(shù)[tex]\omega^2 2[/tex]</p>

阿基里斯：很簡單嘛碾褂。重復上面的步驟兽间，就有[tex]\omega^2 3[/tex]，[tex]\omega^2 4[/tex]等等正塌。在這后頭嘀略，我想就是[tex]\omega^2\omega[/tex]了。

烏龜：你學得很快芭曳獭帜羊！我們到了。它叫[tex]\omega^3[/tex]鸠天。

<p style="text-align: center;"><img src="http://zhblog.engic.org/wp-content/uploads/2014/10/ordinal6.gif"/>
序數(shù)[tex]\omega^3[/tex]</p>

阿基里斯：這畫布開始有點不夠用了讼育。看上去跟條形碼似的稠集。好奶段，我可以猜到后面都有點什么了，有[tex]\omega^{4[/tex]和[tex]\omega}5[/tex]剥纷。喏痹籍，序數(shù)不就是這樣嘛。

烏龜：不對晦鞋！所有這些以后蹲缠，還有[tex]\omega^\omega[/tex]。（她帶路到畫前悠垛。）

<p style="text-align: center;"><img src="http://zhblog.engic.org/wp-content/uploads/2014/10/ordinal7.gif"/>
序數(shù)[tex]\omega^\omega[/tex]</p>

阿基里斯：哎喲线定，這圖看了叫人腦瓜疼。我啥都看不清确买。

烏龜：為此展覽的組織者特地為那些有耐心一直走到這里的人斤讥，準備了一幅示意圖：在左半邊，我們看到了[tex]\omega^\omega[/tex]拇惋，其中的每條橫檔都是我們在此之前看見的那些序數(shù)周偎。然后，在右半邊撑帖，我們只畫出了代表0蓉坎、[tex]\omega[/tex]、[tex]\omega 2[/tex]等等（也就是[tex]\omega[/tex]在某種意義上的倍數(shù)）這些序數(shù)的橫檔胡嘿。很有趣的是蛉艾，這樣構成的梯子，它本身也還是一個序數(shù)，而且仍舊是[tex]\omega^{\omega[/tex]勿侯，也就是說拓瞪，我們把這個序數(shù)結結實實地“除以”了[tex]\omega[/tex]，結果還是得到了它本身助琐。再后面的那些列中祭埂，是相應的[tex]\omega}2[/tex]的倍數(shù)，[tex]\omega^{3[/tex]的倍數(shù)的那些橫檔兵钮。而最后蛆橡，最右邊的那一列，是所有[tex]\omega[/tex]的指數(shù)掘譬，也就是說0泰演、1、[tex]\omega[/tex]葱轩、[tex]\omega}2[/tex]等等睦焕。這一次，這樣構成的梯子就不是[tex]\omega^\omega[/tex]了靴拱，而是[tex]\omega[/tex]垃喊。

<p style="text-align: center;"><img src="http://zhblog.engic.org/wp-content/uploads/2014/10/ordinal8.gif"/>
[tex]\omega^\omega[/tex]的結構</p>

阿基里斯：噢，是啊缭嫡，我想我開始看清楚了缔御。不過我覺得還是有必要問問你，就是這個妇蛀，[tex]\omega^\omega[/tex]里的杠杠數(shù)目，要比[tex]\omega[/tex]里的多吧笤成。

烏龜：還是錯了评架。[【邏輯引擎】注2]我給你舉一種依次羅列[tex]\omega^{\omega[/tex]中橫檔的方法：首先我們有數(shù)列1、2炕泳、3纵诞、……然后把所有這些數(shù)作素因子分解：[tex]1=2}0[/tex]，[tex]2=2^{1[/tex]培遵，[tex]3=3}1[/tex]浙芙，[tex]4=2^{2[/tex]，[tex]5=5}1[/tex]籽腕，[tex]6=2^1\times 3^{1[/tex]等等嗡呼。然后我們可以推出，對[tex]\omega}\omega[/tex]的任何一條橫檔：2的次數(shù)對應著最后的常數(shù)皇耗，3的次數(shù)對應著[tex]\omega[/tex]的倍數(shù)南窗，5的次數(shù)對應著[tex]\omega^{2[/tex]的倍數(shù)等等。最后，這就給定了一個次序：0万伤、1窒悔、[tex]\omega[/tex]、2敌买、[tex]\omega}2[/tex]简珠、[tex]\omega+1[/tex]、[tex]\omega^3[/tex]虹钮、3聋庵、[tex]\omega 2[/tex]、[tex]\omega^{2+1[/tex]……等等芜抒。按照這個方法珍策，這個序列里有[tex]\omega}\omega[/tex]的所有橫檔，只不過次序全打亂了宅倒，可無論怎么說所有橫檔都在里面攘宙。

阿基里斯（精疲力盡）：我投降！

烏龜：我們可以在這里看見序數(shù)還有另一個有趣的性質拐迁，也就是它的共尾性蹭劈。

阿基里斯：哦，這是什么東西线召？

烏龜：這是兔子眼里的序數(shù)铺韧。

阿基里斯：兔子？這干它們什么事缓淹？

烏龜：它們在爬梯子的時候也是蹦蹦跳跳的哈打。所以它們可以一蹦就躍過許多橫檔——事實上想躍過多少就躍過多少。就象我們現(xiàn)在參觀這個展覽時做的那樣讯壶。它們試著要一直蹦到梯子最上頭料仗。兔子可以在序數(shù)的每根橫檔上都踩一次，如果它這么做伏蚊，它就得跳恰好和這個序數(shù)一樣多的次數(shù)立轧。在[tex]\omega[/tex]這種情況下，它也可以只跳在偶數(shù)號的橫檔上躏吊》崭模可是無論怎么跳，它還是得跳[tex]\omega[/tex]次才能跳上梯頂比伏。因為比[tex]\omega[/tex]少就意味著跳有限次胜卤，這意味著它只跳過了有限條橫檔，可是只跳過有限條橫檔是不能夠爬到[tex]\omega[/tex]的最上頭的凳怨。但是對于[tex]\omega+1[/tex]（其他后繼序數(shù)也一樣）來說瑰艘，它可以一下就跳在最后那根橫檔上哟沫。所有有自尊心的兔子都會這么干的崭放，因為兔子很懶雅潭。[注8]

阿基里斯：為了爬[tex]\omega^\omega[/tex]這個梯子担平，懶兔子會怎么干呢？

烏龜：它會跳在1芒率、[tex]\omega[/tex]囤耳、[tex]\omega^{2[/tex]等等那些[tex]\omega[/tex]的指數(shù)上，也就是示意圖右邊那列表示的序數(shù)偶芍。按這個方法充择，它們只要按照爬一架[tex]\omega[/tex]模樣的梯子，就能在[tex]\omega}\omega[/tex]這梯子上愛爬多高爬多高匪蟀。因為這是最佳的爬法椎麦，我們就說[tex]\omega^\omega[/tex]有共尾性[tex]\omega[/tex]。我們前面碰到過的劃界序數(shù)都有共尾性[tex]\omega[/tex]（至于后繼序數(shù)材彪，我們規(guī)定它們的共尾性為1）观挎。

阿基里斯（不再很感興趣）：我不知道兔子還懂數(shù)學。不過要是烏龜也懂數(shù)學段化，為什么兔子就……哎嘁捷，我說，后面還有展覽吧显熏？

烏龜：當然啦雄嚣。可是圖畫變得越來越復雜喘蟆，難以看清楚缓升。在[tex]\omega^{\omega[/tex]的后面，重復一遍我們前頭一直到現(xiàn)在所做過的又長又討厭的步驟蕴轨，就可以得到[tex]\omega}\omega 2[/tex]仔沿，然后再重復一次就是[tex]\omega^\omega 3[/tex]，這么一直下去到[tex]\omega^{\omega\omega[/tex]尺棋，這也就是[tex]\omega}{\omega+1}[/tex]。如果我們把產生出它的步驟重復下去绵跷，就到了[tex]\omega^{{\omega+2}[/tex]膘螟，一直下去就得到[tex]\omega}{\omega+\omega}[/tex]也就是[tex]\omega^{\omega 2}[/tex]。把[tex]\omega[/tex]個這樣的東西疊起來就是[tex]\omega^{\omega 2+1}[/tex]碾局，這么繼續(xù)下去就有[tex]\omega^{\omega 3}[/tex]荆残。同樣地可以得到[tex]\omega^{\omega 4}[/tex]，你可以這么一直重復下去净当。所有這些以后内斯，就是[tex]\omega^{\omega2}[/tex]蕴潦。這么繼續(xù)下去，再這么繼續(xù)下去俘闯，就到了[tex]\omega^{\omega3}[/tex]潭苞。這么做到底，就是[tex]\omega^{\omega\omega}[/tex]真朗。然后此疹，你可以疊著[tex]\omega[/tex]玩：可在[tex]\omega[/tex]、[tex]\omega^{\omega[/tex]遮婶、[tex]\omega}{\omega^\omega}[/tex]等等這串到了底蝗碎，你不能再用[tex]\omega[/tex]這個符號了，這就得使用一個新符號：我們記它為[tex]\epsilon_0[/tex]旗扑。一般在這個層次上的想像蹦骑，會使大家開始暈頭轉向，有人就會以為自己是三樓樓長了[注9]臀防。所以我們不準備去看那幅畫眠菇，我害怕你會發(fā)起小小的司湯達綜合癥[注10]來。

阿基里斯（倒吸一口冷氣）：這[tex]\epsilon_0[/tex]清钥，它絕對是巨大無比扒矸妗！

烏龜：唉祟昭，兔子們總可以很快地通過踩著[tex]\omega[/tex]缕坎、[tex]\omega^{\omega[/tex]這樣下去的橫檔跳到頂上的。所以它還是有共尾性[tex]\omega[/tex]篡悟。別看它是那個模樣谜叹，它仍是可數(shù)的……我們當然有[tex]\omega}{\epsilon_0}=\epsilon_0[/tex]。不過我們可以考慮序列[tex]\epsilon_0[/tex]搬葬、[tex]{\epsilon_0}^{{\epsilon_0}[/tex]荷腊、[tex]{\epsilon_0}}{{\epsilon_0}^{{\epsilon_0}}[/tex]等等的極限。這和序列[tex]\epsilon_0+1[/tex]急凰、[tex]\omega}{\epsilon_0+1}[/tex]女仰、[tex]\omega^{\omega{\epsilon_0+1}}[/tex]的極限是一樣的。我們把它叫作[tex]\epsilon_1[/tex]抡锈。同樣可以定義[tex]\epsilon_2[/tex]疾忍，還有[tex]\epsilon_3[/tex]，然后這么一直到[tex]\epsilon_\omega[/tex]床三。不過呢一罩，就象你猜的那樣，我們的天才畫家可不只停留在這里撇簿。因為我們可以繼續(xù)[tex]\epsilon_{\epsilon_0}[/tex]聂渊，[tex]\epsilon_{\epsilon_{\epsilon_0}}[/tex]地下去差购，然后一直繼續(xù)這個序列直到某一個序數(shù)，據(jù)我所知汉嗽，還從來沒有人命名過欲逃。可是它還是只有共尾性[tex]\omega[/tex]诊胞，而且是可數(shù)的暖夭。

阿基里斯（精疲力竭）：可是，這就永遠不會完了嗎撵孤？

烏龜：為什么你想讓它完迈着？為了使數(shù)學源泉枯竭，不再流淌邪码？還有大量的可數(shù)序數(shù)……其中有一些裕菠，僅僅是由它們的存在性，就可以得出奇跡般的推論——可是我們既不能把它們寫出來闭专，也不能作計算奴潘。而所有這些，都只不過是可數(shù)序數(shù)而已影钉，也就是說画髓，從理論上來講，我們都可以象我們這位天才而又瘋狂的畫家所做的那樣平委，將它們畫出來奈虾。可是在所有這些序數(shù)的后面廉赔，還有那些不可數(shù)的序數(shù)肉微。最小的那個，我們叫它[tex]\omega_1[/tex]蜡塌，在有些古老的文獻里碉纳，它叫[tex]\Omega[/tex]。至于它的基數(shù)馏艾，則被記為[tex]\aleph_1[/tex]劳曹，讀作“阿列夫一”。這個序數(shù)從本質上來說琅摩，比我直到現(xiàn)在提到的那些序數(shù)都要大厚者，包括那些有[tex]\epsilon[/tex]的丑八怪。它完全是新的迫吐，因為沒有兔子能夠偷懶抄近路。它恰恰就是把所有阿列夫伊的畫作堆積起來形成的那架梯子账忘，也就是我們正在參觀的這個展覽的總長度志膀。

阿基里斯（完全垮了）：真是噩夢拔跤睢！

烏龜：是啊溉浙。我有時會看見這樣一個地獄里的景象：這是一架梯子烫止，或者說一條階梯，看上去就如同[tex]\Omega[/tex]：在頂端戳稽，有著奇妙的東西馆蠕。可是我們要花上永恒的時間來攀登惊奇，我們可以爬升得和我?guī)憧催@個展覽的速度一樣快互躬，可是總靠不近它的頂端。換句話說颂郎，如果你任意選擇[tex]\omega_1[/tex]上的橫檔的一個序列吼渡，它總是有上界的，也就是說總會有一級橫檔比你選擇的所有橫檔都要高乓序。就如同只用有限條橫檔寺酪，你不能接近[tex]\omega[/tex]的頂端，只用可數(shù)無限條橫檔替劈，你不能接近[tex]\omega_1[/tex]的頂端寄雀。

阿基里斯（極度沮喪）：這回，是最后一個序數(shù)了吧陨献！求求你告訴我盒犹，不會再繼續(xù)下去啦。

烏龜：畫展嘛湿故，就這樣結束了阿趁。[tex]\omega_1[/tex]是畫不出來的√持恚可這并不妨礙它存在脖阵。同它一起的，是所有橫檔數(shù)和它一樣多的序數(shù)墅茉，那些基數(shù)為[tex]\aleph_1[/tex]的序數(shù)命黔，它們的結構要比那些可數(shù)序數(shù)（我們也稱作基數(shù)為[tex]\aleph_0[/tex]的序數(shù)）復雜得難以想像。也許是因為這回有了三類序數(shù)：后繼序數(shù)就斤，那些有共尾性[tex]\omega[/tex]的悍募，還有有共尾性[tex]\omega_1[/tex]的。在[tex]\omega_1[/tex]的后面洋机，我們安安靜靜地就到了[tex]\omega_1+\omega[/tex]坠宴，它的共尾性是[tex]\omega[/tex]，然后重復到達[tex]\omega_1[/tex]的步驟绷旗，我們就來到了[tex]\omega_1 2[/tex]喜鼓，它的共尾性是[tex]\omega_1[/tex]副砍，然后是[tex]\omega_1 3[/tex]，這樣一直到[tex]\omega_1\omega[/tex]庄岖，而它的共尾性是[tex]\omega[/tex]豁翎。重新沿所有的可數(shù)序數(shù)而上，我們就到達了[tex]{\omega_1}^2[/tex]隅忿，它的共尾性是[tex]\omega_1[/tex]心剥，然后……

阿基里斯（嚎叫）：夠啦！我真受夠啦背桐！

（一個保安逼近优烧。）

保安（對烏龜）：這個壞蛋打擾您了嗎，夫人牢撼？

烏龜：這不是個壞蛋匙隔，這可是個半神，馬密頓之王哪熏版。我想我大概是找到了他腳踵外另一個弱點了……[注11]我只是建議他去參觀阿列封斯·埃夫爾纷责，綽號阿列夫爾的展覽。

保安：噢撼短，是的再膳，一提現(xiàn)代繪畫，有些人的反應的確會是這樣的曲横。（他離開了喂柒。）

烏龜：好啦，阿基禾嫉，不要這個樣子嘛灾杰！你敢在特洛伊的戰(zhàn)場上拼命，就不敢會會這個阿列夫二熙参？再說啦艳吠，阿列夫2，這只不過是第三小的無窮基數(shù)而已孽椰。

阿基里斯（氣若游絲）：你在說什么昭娩？

烏龜：就是這樣啊，這些我剛剛列舉的序數(shù)黍匾，只是[tex]\omega_2[/tex]的橫檔而已栏渺，它是基數(shù)大于[tex]\aleph_1[/tex]的最小序數(shù)。我們把它的基數(shù)記為[tex]\aleph_2[/tex]锐涯。在[tex]\aleph_2[/tex]的后面有[tex]\aleph_3[/tex]磕诊，這樣一直下去直到[tex]\aleph_\omega[/tex]。這[tex]\aleph_\omega[/tex]有個很好玩的事，它是奇性的秀仲，也就是說它的共尾性要比它自己小融痛，那就是[tex]\omega[/tex]，因為雖然它大得很神僵，但是兔子可以先跳在[tex]\omega_1[/tex]上，再跳在[tex]\omega_2[/tex]上這么一直跳到[tex]\omega_\omega[/tex]的頂上覆劈。然后就是[tex]\aleph_{\omega+1}[/tex]保礼，我們可以一直這么列下去到[tex]\aleph_{\omega_{\omega_\omega}}[/tex]，而且還可以一直列下去责语，最后就碰上了序數(shù)[tex]\alpha[/tex]炮障，它是滿足[tex]\alpha=\aleph_\alpha[/tex]的最小序數(shù)。它仍舊有共尾性[tex]\omega[/tex]坤候。我還要和你談談不可及基數(shù)胁赢，它們比我剛才講的所有那些基數(shù)都要大得多，因為數(shù)學家甚至都證明不了它們是否真的存在[【邏輯引擎】注3]……而這些白筹，當然都只能算是“大基數(shù)”中最小的那些智末。（一聲巨響⊥胶樱可沉醉于演講的烏龜根本沒有注意到系馆。）不可及基數(shù)和小的無限基數(shù)相比，大約就和無限基數(shù)和有限基數(shù)相比那樣顽照。然后還有超不可及基數(shù)由蘑，超超不可及基數(shù)，等等等等代兵∧崮穑可是所有這些基數(shù)和馬赫洛基數(shù)[注12]比起來就只是小不點了。在一個馬赫洛基數(shù)的上面植影，還有不可及基數(shù)裳擎，而它們的數(shù)量和所有基數(shù)的數(shù)量還是一樣多。這些基數(shù)何乎，都只是“小的大基數(shù)”句惯，因為還有“大的大基數(shù)”，象可測基數(shù)支救，還有……（她突然停了下來抢野，意識到已經根本沒有人在聽她說話。）阿基８髂（她擔心極了）你昏過去了指孤！阿基！

阿基里斯（緩緩醒來）：我看見了地獄……我就在一架梯子底下……

譯者注：

[注1] 原題為“Des nombres peu ordinaires”，這里ordinaire一語雙關恃轩，既指“尋辰嵬荩”，又和“序數(shù)”(ordinal叉跛，原意為“表示順序的”)一詞相近松忍。以阿基里斯和烏龜這兩個芝諾悖論的主角的對話形式來介紹數(shù)學主題，尤其是關于無限的主題筷厘，似乎是候世達在其名著《集異壁》里的發(fā)明鸣峭。在中文版《集異壁》中，烏龜是個男性的角色酥艳，因為阿基里斯總以“龜兄”來稱呼摊溶，而法文版中烏龜卻是女性角色，因為烏龜（La Tortue）在法文中為陰性充石。本文原文為法文莫换，故譯文保持烏龜?shù)呐孕蜗蟆０⒒锼褂肿g為阿喀琉斯骤铃，是古希臘神話中馬密頓國王佩琉斯和海洋女神泰提斯的兒子拉岁，半人半神的偉大英雄。

[注2] 阿列封斯·阿萊（Alphonse Allais劲厌，1855-1905）膛薛，法國作家。

[注3] [tex]\omega[/tex]是希臘字母的最后一個字母补鼻，代表終結哄啄。如《新約·啟示錄》中說：“我是阿拉法、我是俄梅戛风范、我是首先的咨跌、我是末后的、我是初硼婿、我是終锌半。”（啟22:13）阿拉法即[tex]\alpha[/tex]寇漫，希臘字母中的第一個刊殉，俄梅戛即[tex]\omega[/tex]。

[注4] 德語州胳，意為“不可企及者记焊，在此事已成∷ㄗ玻”

[注5] 德日進（Pierre Teilhard de Chardin遍膜，1881-1955）碗硬，法國思想家，地質學家和古生物學家瓢颅、天主教耶穌會修士恩尾，著作中有關于無限和永恒的論述。

[注6] [tex]\aleph[/tex]是希伯萊文的第一個字母挽懦，讀作“阿列夫”翰意；[tex]\aleph_0[/tex]就讀作“阿列夫零”信柿，其他下標也以此類推。

[注7] 這是烏龜在學神探福爾摩斯的口氣半開玩笑地稱贊阿基里斯。

[注8] 這里烏龜顯然想起了龜兔賽跑的故事淘讥。

[注9] 原文直譯是“以為自己是拿破侖”圃伶，法文俗語蒲列，即不知道自己的斤兩，腦子有點瘋了蝗岖。這里引用電影《大腕》里的笑話翻譯侥猩。

[注10] 司湯達綜合癥是指由于欣賞藝術作品而引起激動情緒后的身體不適，以法國作家司湯達的名字命名抵赢。

[注11] 按古希臘神話铅鲤，當阿基里斯還是嬰兒時，他的母親忒提斯曾握住他的腳踵鹏往，倒提著將他在冥河水中浸泡過骇塘，使他全身刀槍不入，只有被捏住的腳踵是個例外唐瀑。在特洛伊戰(zhàn)爭中奠货，他被暗箭射中腳踵而死。所以“阿基里斯之踵”一詞常被用來形容“唯一的致命處”柔滔。

[注12] 馬赫洛基數(shù)以數(shù)學家Paul Mahlo的名字命名睛廊，它是Mahlo于1911年首先提出的

[【邏輯引擎】注1] 通俗地講，你可以認為每一個序數(shù)就代表它下面按順序排列的所有比它小的序數(shù)的序列咆霜。例如序數(shù)3就代表tex[/tex]嘶朱，序數(shù)[tex]\omega[/tex]就代表tex[/tex]，序數(shù)[tex]\omega+1[/tex]就代表tex[/tex]

[【邏輯引擎】注2] 這段話有點晦澀脉课，我稍微解釋一下财异。烏龜試圖向阿基里斯說明，即便是看上去非吵适唬恐怖的序數(shù)[tex]\omega^{\omega[/tex]里面的橫檔的“數(shù)量”跟自然數(shù)也是完全相等的袖瞻，可以給其中每一條橫檔都賦予獨一無二的自然數(shù)編碼订晌。具體怎樣做呢锈拨？序數(shù)[tex]\omega}\omega[/tex]的畫中的每一條橫檔對應的序數(shù)都形如：[tex]\omega^k a_k + ... + \omega^2 a_2 + \omega a_1 + a_0[/tex]，其中[tex]a_k[/tex]是自然數(shù)娄昆，可以對每個這樣的序數(shù)賦予一個獨一無二的自然數(shù)編號：[tex]{p_k}^{a_k} \times ... \times 5^{a_2} \times 3^{a_1} \times 2^{{a_0}[/tex]缝彬，其中[tex]p_k[/tex]是第k個素數(shù)谷浅，[tex]p_0=2,p_1=3,p_2=5,...[/tex]∧套浚現(xiàn)在每一個橫檔都有了一個獨一無二的自然數(shù)編號夺姑，跟自然數(shù)之間就建立了一一對應關系掌猛，因此也就證明了[tex]\omega}\omega[/tex]這幅畫里面的橫檔數(shù)量仍然是可數(shù)的荔茬。

[【邏輯引擎】注3] 在通常的集合論公理系統(tǒng)ZFC中無法證明這么大的基數(shù)的存在性，必須引入斷言大基數(shù)存在的公理丐黄。但這是否跟ZFC相容孔飒，根據(jù)維基百科直到最近（2006）也無人知道十偶，只知道斷言大基數(shù)不存在的公理跟ZFC相容园细。特別巨大的大基數(shù)<a title="Reinhardt cardinal" target="_blank">Reinhardt cardinal</a>猛频，已經被證明跟ZFC+j或NBG+AC不相容，而是否能跟ZF+j或NBG相容睦柴，根據(jù)維基百科直到最近（2006）也無人知道坦敌。

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<a title="Limit ordinal" target="_blank">Limit ordinal</a>

<a title="Ordinal arithmetic" target="_blank">Ordinal arithmetic</a>

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<a title="Large countable ordinal" target="_blank">Large countable ordinal</a>

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<a title="First uncountable ordinal" target="_blank">First uncountable ordinal</a>

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<a title="Vopěnka's principle" target="_blank">Vopěnka's principle</a>

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