高考數(shù)學(xué)全國卷解析幾何大題：2007年至2022年

2007年至2009年間的解析幾何大題

向量與曲線：2007年文科數(shù)學(xué)海南卷題19

分值：12分

在平面直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中合砂，已知圓 $x^2+y^2-12x+32=0$ 的圓心為 $Q$ 械姻，過點(diǎn) $P(0,2)$ 且斜率為 $k$ 的直線與圓 $Q$ 相交于不同的兩點(diǎn) $A,B.$

（I）求 $k$ 的取值范圍;
（Ⅱ）是否存在常數(shù) $k$ 渤弛，使得向量 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ 與 $\overrightarrow{PQ}$ 共線盈咳？如果存在胚泌，求 $k$ 值葡粒；如果不存在瘟则，請說明理由.

參考答案：2007年文數(shù)海南卷題19

向量與曲線：2007年理數(shù)海南卷題19

分值：12分

在平面直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中黎炉，經(jīng)過點(diǎn) $(0,\sqrt{2})$ 且斜率為 $k$ 的直線 $l$ 與橢圓 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 有兩個(gè)不同的交點(diǎn) $P$ 和 $Q$ .

（I）求 $k$ 的取值范圍;
（II）設(shè)橢圓與 $x$ 軸正半軸、 $y$ 軸正半軸的交點(diǎn)分別為 $A,B$ 醋拧，是否存在常數(shù) $k$ 慷嗜，使得向量 $\overrightarrow{OP}+ \overrightarrow{OQ}$ 與 $\overrightarrow{AB}$ 共線？如果存在丹壕，求 $k$ 值庆械；如果不存在，請說明理由.

參考答案：2007年理數(shù)海南卷題19

拋物線和圓：2008年文科數(shù)學(xué)海南卷題20 $\heartsuit$

分值：12分

已知 $m \in {R}$ 菌赖，直線 $l: mx-(m^2+1)y=4m$ 和圓 $C∶x^2+y^2-8x+4y+16=0.$

（I）求直線 $l$ 斜率的取值范圍;

（Ⅱ）直線 $l$ 能否將圓 $C$ 分割成弧長的比值為 $\dfrac{1}{2}$ 的兩段圓荤猿恕？為什么琉用？

參考答案：2008年文數(shù)海南卷題20

向量與曲線：2008年理數(shù)海南卷題20

分值：12分

在直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中堕绩，橢圓 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1 (a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦點(diǎn)分別為 $F_1,F_2$ ; $F_2$ 也是拋物線 $C_2:y^2=4x$ 的焦點(diǎn)邑时，點(diǎn) $M$ 為 $C_1$ 與 $C_2$ 在第一象限的交點(diǎn)奴紧，且 $|MF_2|=\dfrac{5}{3}$ .

（I）求 $C_1$ 的方程；
（Ⅱ）平面上的點(diǎn) $N$ 滿足 $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MF_1} + \overrightarrow{MF_2}$ 刁愿，直線 $l// MN$ 绰寞，且與 $C_1$ 交于 $A,B$ 兩點(diǎn)，若 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$ ，求直線 $l$ 的方程.

參考答案：2008年理數(shù)海南卷題20

方程與曲線：2009年文數(shù)全國卷題20 $\heartsuit$

分值：12分

已知橢圓 $C$ 的中心為直角坐標(biāo)系 $xOy$ 的原點(diǎn)滤钱，焦點(diǎn)在 $x$ 軸上觉壶，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是 7 和 1.

（I）求橢圓 $C$ 的方程;
（Ⅱ）若 $P$ 為橢圓 $C$ 上的動(dòng)點(diǎn)， $M$ 為過 $P$ 且垂直于 $x$ 軸的直線上的點(diǎn)件缸， $\dfrac{|OP|}{|OM|}=e$ （ $e$ 為橢圓 C 的離心率）铜靶，求點(diǎn) $M$ 的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線.

參考答案：2009年文數(shù)全國卷題20

2010年至2014年間的解析幾何大題

橢圓：2010年文科數(shù)學(xué)全國卷題20

分值：12分

設(shè) $F_1,F_2$ 分別是橢圓 $E: x^2 + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (0 \lt b \lt 1 )$ 他炊，的左争剿、右焦點(diǎn)，過 $F_1$ 的直線 $l$ 與 $E$ 相交于 $A痊末，B$ 兩點(diǎn)蚕苇，且 $|AF_2|, |AB|, |BF_2|$ 成等差數(shù)列.

（1）求 $|AB|$ ;
（2）若直線 $l$ 的斜率為 $1$ ，求 $b$ 的值.

參考答案：2010年文數(shù)全國卷題20

橢圓：2010年理數(shù)全國卷題20

分值：12分

設(shè) $F_1,F_2$ 分別是橢圓 $E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 凿叠，的左涩笤、右焦點(diǎn)蹬碧，過 $F_1$ 炒刁，斜率為 $1$ 的直線 $l$ 與 $E$ 相交于 $A，B$ 兩點(diǎn)罗心，且 $|AF_2|，|AB|城瞎，|BF_2|$ 成等差數(shù)列.

（1）求 $E$ 的離心率;
（2）設(shè)點(diǎn) $P(0,-1)$ 滿足 $|PA|=|PB|,$ 求 $E$ 的方程.

參考答案：2010年理數(shù)全國卷題20

拋物線和圓：2011年文科數(shù)學(xué)全國卷題20

分值：12分

在平面直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中全谤，曲線 $y=x^2-6x+1$ 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓 $C$ 上.

（I）求圓 $C$ 的方程;
（Ⅱ）若圓 $C$ 與直線 $x-y+a=0$ 交于 $A认然，B$ 兩點(diǎn)卷员，且 $OA \perp OB$ 毕骡，求 $a$ 的值.

參考答案：2011年文科數(shù)學(xué)全國卷題20

向量與曲線：2011年理數(shù)全國卷題20

分值：12分

在平面直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中未巫，已知點(diǎn) $A(0,-1)$ 劈伴， $B$ 點(diǎn)在直線 $y=-3$ 上跛璧， $M$ 點(diǎn)滿足 $\overrightarrow{MB} // \overrightarrow{OA}$ 追城， $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BA}$ 座柱， $M$ 點(diǎn)的軌跡為曲線 $C$ .

（I）求 $C$ 的方程；
（Ⅱ） $P$ 為 $C$ 上的動(dòng)點(diǎn)锋玲， $l$ 為 $C$ 在 $P$ 點(diǎn)處的切線惭蹂，求 $O$ 點(diǎn)到 $l$ 距離的最小值.

參考答案：2011年理數(shù)全國卷題20

拋物線和圓：2012年文科數(shù)學(xué)全國卷題20（文理同題）

分值：12分

設(shè)拋物線 $C:x^2=2py(p>0)$ 的焦點(diǎn)為 $F$ 盾碗，準(zhǔn)線為 $l$ 廷雅， $A$ 為C上一點(diǎn)航缀，已知以 $F$ 為圓心芥玉， $FA$ 為半徑的圓 $F$ 交 $l$ 于 $B,D$ 兩點(diǎn).
（I）若 $\angle BFD=90°$ 赶袄， $\triangle ABD$ 的面積為 $4 \sqrt{2}$ 饿肺，求 $p$ 的值及圓 $F$ 的方程唬格；
（Ⅱ）若 $A,B,F$ 三點(diǎn)在同一直線 $m$ 上购岗，直線 $n$ 與 $m$ 平行，且 $n$ 與 $C$ 只有一個(gè)公共點(diǎn)乾吻，求坐標(biāo)原點(diǎn)到 $m,n$ 距離的比值.

參考答案：2012年文數(shù)全國卷題20（文理同題）

方程與曲線：2013年文科數(shù)學(xué)全國卷二題20 $\heartsuit$

分值：12分

在平面直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中，已知圓 $P$ 在 $x$ 軸上截得線段長為 $\sqrt{2}$ 诡必，在 $y$ 軸上截得線段長為 $\sqrt{3}$ .
（I）求圓心 $P$ 的軌跡方程;
（Ⅱ）若 $P$ 點(diǎn)到直線 $y=x$ 的距離為 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 爸舒，求圓 $P$ 的方程.

參考答案：2013年文數(shù)全國卷二題20

橢圓：2013年數(shù)學(xué)全國卷一題21（文理同題） $\heartsuit$

分值：12分

已知圓 $M:(x+1)^2+y^2=1,$ 圓 $N:(x-1)^2+y^2=9,$ 動(dòng)圓 $P$ 與圓 $M$ 外切并且與圓 $N$ 內(nèi)切，圓心 $P$ 的軌跡為曲線 $C$ .

（I）求 $C$ 的方程;
（Ⅱ） $l$ 是與圓 $P$ 涂炎，圓 $M$ 都相切的一條直線， $l$ 與曲線 $C$ 交于 $A,B$ 兩點(diǎn)，當(dāng)圓 $P$ 的半徑最長時(shí)澎粟，求 $|AB|$ .

參考答案：2013年數(shù)學(xué)全國卷一題21

弦長和面積：2013年理數(shù)全國卷二題20

分值：12分
平面直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中徐裸，過橢圓 $M: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 右焦點(diǎn)的直線 $x+y-3=0$ 交 $M$ 于 $A重贺，B$ 兩點(diǎn)气笙， $P$ 為 $AB$ 的中點(diǎn)，且 $OP$ 的斜率為 $\dfrac{1}{2}$

（I）求 $M$ 的方程;
（Ⅱ） $C谭期，D$ 為 $M$ 上兩點(diǎn)隧出，若四邊形 $ACBD$ 的對角線 $CD \perp AB$ ，求四邊形 $ACBD$ 面積的最大值.

參考答案：2013年文數(shù)全國卷二題20

弦長和面積：2014年理數(shù)全國卷一題20

分值：12分
已知點(diǎn) $A (0赏廓，-2)$ 幔摸，橢圓 $E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 的離心率為 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $F$ 是橢圓 $E$ 的右焦點(diǎn)，直線 $AF$ 的斜率為 $\dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$ 患雇， $O$ 為坐標(biāo)原點(diǎn).

（I）求 $E$ 的方程;
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn) $A$ 的動(dòng)直線 $l$ 與 $E$ 相交于 $P，Q$ 兩點(diǎn).當(dāng) $\triangle OPQ$ 的面積最大時(shí)翠储，求 $l$ 的方程.

參考答案：2014年理數(shù)全國卷一題20

橢圓：2014年數(shù)學(xué)全國卷二題20（文理同題）

分值：12分

設(shè) $F_1,F_2$ 分別是橢圓 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 援所，的左挪略、右焦點(diǎn)杠娱， $M$ 是 $C$ 上一點(diǎn)且 $MF_2$ 與 $x$ 軸垂直. 直線 $MF_1$ 與 $C$ 的另一個(gè)交點(diǎn)為 $N.$

（I）若直線 $MN$ 的斜率為 $\dfrac{3}{4}$ ，求 $C$ 的離心率;
（Ⅱ）若直線 $MN$ 在 $y$ 軸上的截距為 $2$ 睹簇，且 $|MN|=5|F_1N|$ 太惠，求 $a，b$ .

參考答案：2014年數(shù)學(xué)全國卷二題20

四點(diǎn)共圓：2014年數(shù)學(xué)大綱卷題21（文理同題）

分值：12分
已知拋物線 $C:y^2=2px(p>0)$ 的焦點(diǎn)為 $F$ 埃脏，直線 $y=4$ 與 $y$ 軸的交點(diǎn)為 $P$ 彩掐，與 $C$ 的交點(diǎn)為 $Q$ ，且 $|QF|=\dfrac{5}{4} |PQ|$ .

（I）求 $C$ 的方程;
（Ⅱ）過 $F$ 的直線 $l$ 與 $C$ 相交于 $A,B$ 兩點(diǎn)朴下，若 $AB$ 的垂直平分線 $l'$ 與 $C$ 相交于 $M,N$ 兩點(diǎn)，且 $A,M,B,N$ 四點(diǎn)在同一圓上溃肪，求 $l$ 的方程.

參考答案：2014年數(shù)學(xué)大綱卷題21

方程與曲線：2014年文數(shù)全國卷一題20 $\heartsuit$

分值：12分

已知點(diǎn) $P(2,2)$ ，圓 $C:x^2 + y^2 -8y =0$ 厨钻，過點(diǎn) $P$ 的動(dòng)直線 $l$ 與圓 $C$ 交于 $A夯膀，B$ 兩點(diǎn)，線段 $AB$ 的中點(diǎn)為 $M$ 俺猿， $O$ 為坐標(biāo)原點(diǎn).
（I）求 $M$ 的軌跡方程;
（Ⅱ）當(dāng) $|OP|=|OM|$ 時(shí)，求 $l$ 的方程及 $\triangle POM$ 的面積.

參考答案：2014年文數(shù)全國卷一題20

方程與曲線：2014年理數(shù)湖北卷題21 $\heartsuit$

分值：14分
在平面直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中谊惭，點(diǎn) $M$ 到點(diǎn) $F(1,0)$ 的距離比它到 $y$ 軸的距離多 $1$ .記點(diǎn) $M$ 的軌跡為 $C$ .
（I）求軌跡 $C$ 的方程;
（Ⅱ）斜率為 $k$ 的直線 $l$ 過定點(diǎn) $P(-2,1)$ ，求直線 $l$ 與軌跡 $C$ 恰好有一個(gè)公共點(diǎn)驱敲、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí) $k$ 的相應(yīng)取值范圍.

參考答案：2014年理數(shù)湖北卷題21

方程與曲線：2014年理數(shù)廣東卷題20

分值：14分

已知橢圓 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 的一個(gè)焦點(diǎn)為 $(\sqrt{5},0)$ 围辙，離心率為 $\dfrac{\sqrt{5}}{3}.$

（1）求橢圓 $C$ 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（2）若動(dòng)點(diǎn) $P(x_0,y_0)$ 為橢圓 $C$ 外一點(diǎn)，且點(diǎn) $P$ 到橢圓 $C$ 的兩條切線相互垂直掸冤，求點(diǎn) $P$ 的軌跡方程.

參考答案：2014年理數(shù)廣東卷題20

2015年至2019年間的解析幾何大題

橢圓的弦：2015年文數(shù)全國卷二題20 $\heartsuit$

分值：12分

已知橢圓 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0)$ 的離心率為 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 铅匹，點(diǎn) $(2,\sqrt{2})$ 在 $C$ 上.

（I）求 $C$ 的方程;
（Ⅱ）直線 $l$ 不過原點(diǎn) $O$ 且不平行于坐標(biāo)軸包斑， $l$ 與 $C$ 有兩個(gè)交點(diǎn) $A,B$ ，線段 $AB$ 的中點(diǎn)為 $M.$ 證明：直線 $OM$ 的斜率與直線 $l$ 的斜率的乘積為定值.

參考答案：2015年文數(shù)全國卷二題20

橢圓的弦：2015年理數(shù)全國卷二題20

分值：12分

已知橢圓 $C:9x^2 + y^2=m^2（m \gt 0）$ 萌抵，直線 $l$ 不過原點(diǎn)O 且不平行于坐標(biāo)軸， $l$ 與 $C$ 有兩個(gè)交點(diǎn) $A,B$ 沐兰，線段 $AB$ 的中點(diǎn)為 $M.$

（I）證明：直線 $OM$ 的斜率與 $l$ 的斜率的乘積為定值;
（Ⅱ）若 $l$ 過點(diǎn) $(\dfrac{m}{3},m)$ ，延長線段 $OM$ 與 $C$ 交于點(diǎn) $P$ 比原，四邊形 $OAPB$ 能否為平行四邊形? 若能，求此時(shí) $l$ 的斜率; 若不能蚌铜，說明理由.

方程與曲線：2015年理數(shù)廣東卷題20 $\heartsuit$

分值：14分

已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線 $l$ 與圓 $C_1∶x^2+y^2-6x+5=0$ 相交于不同的兩點(diǎn) $A，B.$
（1）求圓 $C_1$ 的圓心坐標(biāo);
（2）求線段 $AB$ 的中點(diǎn) $M$ 的軌跡 $C$ 的方程;
（3）是否存在實(shí)數(shù) $k$ 审葬，使得直線 $L∶y=k(x-4)$ 與曲線 $C$ 只有一個(gè)交點(diǎn)? 若存在痴荐，求出 $k$ 的取值范圍; 若不存在，說明理由.

參考答案：2015年理數(shù)廣東卷題20

直線與圓：2015年文數(shù)全國卷一題20

分值：12分

已知過點(diǎn) $A(0,1)$ 且斜率為 $k$ 的直線 $l$ 與圓 $(x-2)^2 + (y-3)^2=1$ 交于 $M碍论，N$ 兩點(diǎn).

（I）求 $k$ 的取值范圍;
（Ⅱ）若 $\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}=12$ 坟奥，其中 $O$ 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求 $|MN|$ .

參考答案：2015年文數(shù)全國卷一題20

兩角相等~拋物線：2015年理數(shù)全國卷一題20

分值：12分

在直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中映皆，曲線 $C:y=\dfrac{x^2}{4}$ 與直線 $l: y=kx+a（a \gt 0）$ 交于 $M，N$ 兩點(diǎn).

（I）當(dāng) $k=0$ 時(shí)，分別求 $C$ 在點(diǎn) $M$ 和 $N$ 處的切線方程;
（Ⅱ） $y$ 軸上是否存在點(diǎn) $P$ 缭裆，使得當(dāng) $k$ 變動(dòng)時(shí)，總有 $\angle OPM=\angle OPN$ ? 說明理由.

參考答案：2015年理數(shù)全國卷一題20

兩角相等~橢圓：2015年理數(shù)北京卷題19

分值：14分

已知橢圓 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 的離心率為 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 缝其，點(diǎn) $P(0,1)$ 和 $A(m,n)(m \ne 0)$ 都在橢圓 $C$ 上. 直線 $PA$ 交 $x$ 軸于點(diǎn) $M$ .

（I）求橢圓 $C$ 的方程，并求點(diǎn) $M$ 的坐標(biāo)（用 $m,n$ 表示）;
（Ⅱ）設(shè) $O$ 為原點(diǎn)，點(diǎn) $B$ 與點(diǎn) $A$ 關(guān)于 $x$ 軸對稱辉懒，直線 $PB$ 交 $x$ 軸于點(diǎn) $N$ .問∶ $y$ 軸上是否存在點(diǎn) $Q$ 莹汤，使得 $\angle OQM= \angle ONQ$ 纲岭？若存在，求點(diǎn) $Q$ 坐標(biāo);若不存在喇闸，說明理由.

參考答案：2015年理數(shù)北京卷題19

拋物線：2016年文科數(shù)學(xué)全國卷一題20

分值：12分

在直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中，直線 $l:y=t(t \ne 0)$ 交 $y$ 軸于點(diǎn) $M$ 刻蟹，交拋物線 $C:y^2=2px(p>0)$ 于點(diǎn) $P$ ， $M$ 關(guān)于點(diǎn) $P$ 的對稱點(diǎn)為 $N$ ，連接 $ON$ 并延長交 $C$ 于點(diǎn) $H$ .

（I）求 $\dfrac{|OH|}{|ON|}$ ;
（Ⅱ）除 $H$ 以外哺呜，直線 $MH$ 與 $C$ 是否有其他公共點(diǎn)？說明理由.

參考答案：2016年文數(shù)全國卷一題20

弦長和面積：2016年理數(shù)全國卷一題20 $\heartsuit$

分值：12分

設(shè)圓 $x^2+y^2+2x-15=0$ 的圓心為 $A$ 玻墅，直線 $l$ 過點(diǎn) $B(1,0)$ 且與 $x$ 軸不重合环础， $l$ 交圓 $A$ 于 $C,D$ 兩點(diǎn)，過 $B$ 作 $AC$ 的平行線交 $AD$ 于點(diǎn) $E.$
（I）證明 $|EA|+|EB|$ 為定值贯钩，并寫出點(diǎn) $E$ 的軌跡方程;
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn) $E$ 的軌跡為曲線 $C_1$ ，直線 $l$ 交 $C_1$ 于 $M勺三，N$ 兩點(diǎn)，過 $B$ 且與 $l$ 垂直的直線與圓 $A$ 交于 $P，Q$ 兩點(diǎn)，求四邊形 $MPNQ$ 面積的取值范圍.

參考答案：幾何方法解答問題I ：數(shù)形結(jié)合逃顶，幾何開路

參考答案：直角坐標(biāo)系中解答問題Ⅱ

參考答案：極坐標(biāo)方法解答問題Ⅱ

弦長和面積：2016年理數(shù)全國卷二題20

分值：12分

已知橢圓 $E:\dfrac{x^2}{t} + \dfrac{y^2}{3} = 1$ 的焦點(diǎn)在 $x$ 軸上以政， $A$ 是 $E$ 的左頂點(diǎn)，斜率為 $k（k \gt 0）$ 的直線交 $E$ 于 $A伴找，M$ 兩點(diǎn)盈蛮，點(diǎn) $N$ 在 $E$ 上， $MA \perp NA.$
（I）當(dāng) $t=4技矮，|AM|=|AN|$ 時(shí)抖誉，求 $\triangle AMN$ 的面積;
（Ⅱ）當(dāng) $2|AM|=|AN|$ 時(shí)衰倦，求 $k$ 的取值范圍.

弦長和面積：2016年數(shù)學(xué)全國卷三題20（文理同題）

分值：12分

已知拋物線 $C:y^2=2x$ 的焦點(diǎn)為 $F$ 袒炉，平行于 $x$ 軸的兩條直線 $l_1,l_2$ 分別交 $C$ 于 $A，B$ 兩點(diǎn)樊零，交 $C$ 的準(zhǔn)線于 $P我磁，Q$ 兩點(diǎn).

（I）若 $F$ 在線段 $AB$ 上， $R$ 是 $PQ$ 的中點(diǎn)，證明 $AR // FQ;$
（Ⅱ）若 $\triangle PQF$ 的面積是 $\triangle ABF$ 的面積的兩倍夺艰，求 $AB$ 中點(diǎn)的軌跡方程.

拋物線和圓：2017年文科數(shù)學(xué)全國卷三題20 $\heartsuit$

分值：12分

在直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中芋哭，曲線 $y=x^2+mx-2$ 與 $x$ 軸交于 $A，B$ 兩點(diǎn)劲适，點(diǎn) $C$ 的坐標(biāo)為 $(0,1)$ 楷掉，當(dāng) $m$ 變化時(shí)，解答下列問題∶

（1）能否出現(xiàn) $AC \perp BC$ 的情況霞势？說明理由烹植；
（2）證明過 $A，B愕贡，C$ 三點(diǎn)的圓在 $y$ 軸上截得的弦長為定值.

拋物線和圓：2017年理數(shù)全國卷三題20

分值：12分

已知拋物線 $C:y^2=2x,$ 過點(diǎn) $(2,0)$ 的直線 $l$ 交 $C$ 于 $A草雕，B$ 兩點(diǎn)，圓 $M$ 是以線段 $AB$ 為直徑的圓.

（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn) $O$ 在圓 $M$ 上;
（2）設(shè)圓 $M$ 過點(diǎn) $P(4,-2)$ 固以，求直線 $l$ 與圓 $M$ 的方程.

參考答案：2017年理數(shù)全國卷三題20

向量與曲線：2017年數(shù)學(xué)全國卷二題20（文理同題）

分值：12分

設(shè) $O$ 為坐標(biāo)原點(diǎn)墩虹，動(dòng)點(diǎn) $M$ 在橢圓 $C:\dfrac{x^2}{2} + y^2=1$ 上，過 $M$ 作 $x$ 軸的垂線憨琳，垂足為 $N$ 诫钓，點(diǎn) $P$ 滿足 $\overrightarrow{NP} = \sqrt{2} \overrightarrow{NM}$ .

（1）求點(diǎn) $P$ 的軌跡方程;
（2）設(shè)點(diǎn) $Q$ 在直線 $x=-3$ 上，且 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{PQ} = 1$ . 證明：過點(diǎn) $P$ 且垂直于 $OQ$ 的直線 $l$ 過 $C$ 的左焦點(diǎn) $F$ .

參考答案：2017年數(shù)學(xué)全國卷二題20

拋物線的弦：2017年文數(shù)全國卷一題20 $\heartsuit$

分值：12分

設(shè) $A,B$ 為曲線 $C:y=\dfrac{x^2}{4}$ 上兩點(diǎn)篙螟， $A$ 與 $B$ 的橫坐標(biāo)之和為 $4$ .

（1）求直線 $AB$ 的斜率;
（2）設(shè) $M$ 為曲線 $C$ 上一點(diǎn)菌湃， $C$ 在 $M$ 處的切線與直線 $AB$ 平行，且 $AM \perp BM$ 遍略，求直線 $AB$ 的方程.

參考答案：2017年文數(shù)全國卷一題20

橢圓~定點(diǎn)問題：2017年理數(shù)全國卷一題20

分值：12分

已知橢圓 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 惧所，四點(diǎn) $P_1(1,1), P_2(0,1), P_3(-1,\dfrac{\sqrt{3}}{2}), P_4(1,\dfrac{\sqrt{3}}{2})$ 中恰有三點(diǎn)在橢圓 $C$ 上.

（1）求 $C$ 的方程;
（2）設(shè)直線 $l$ 不經(jīng)過 $P_2$ 點(diǎn)且與 $C$ 相交于 $A,B$ 兩點(diǎn). 若直線 $P_2A$ 與直線 $P_2B$ 的斜率的和為 $-1$ ，證明： $l$ 過定點(diǎn).

參考答案：2017年理數(shù)A題20

弦長和面積：2018年數(shù)學(xué)全國卷二題20（文理同題）

分值：12分

設(shè)拋物線 $C:y^2=4x$ 的焦點(diǎn)為 $F$ 绪杏，過 $F$ 且斜率為 $k(k \gt 0 )$ 的直線 $l$ 與 $C$ 交于 $A,B$ 兩點(diǎn)下愈， $|AB| =8$ .

（1）求 $l$ 的方程;
（2）求過點(diǎn) $A,B$ 且與 $C$ 的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

參考答案：2018年數(shù)學(xué)全國卷二題20

橢圓的弦：2018年文數(shù)全國卷三題20

分值：12分

已知斜率為 $k$ 的直線 $l$ 與橢圓 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 交于 $A,B$ 兩點(diǎn)，線段 $AB$ 的中點(diǎn)為 $M(1,m) (m \gt 0 )$ .

（1）證明： $k \lt - \dfrac{1}{2}$ ;
（2）設(shè) $F$ 為 $C$ 的右焦點(diǎn)蕾久， $P$ 為 $C$ 上一點(diǎn)势似，且 $\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=\vec{0}$

證明： $2|\overrightarrow{FP}|=|\overrightarrow{FA}|+|\overrightarrow{FB}|$ .

橢圓的弦：2018年理數(shù)全國卷三題20

分值：12分

已知斜率為 $k$ 的直線 $l$ 與橢圓 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 交于 $A,B$ 兩點(diǎn)，線段 $AB$ 的中點(diǎn)為 $M(1,m) (m \gt 0 )$ .

（1）證明： $k \lt - \dfrac{1}{2}$ ;
（2）設(shè) $F$ 為 $C$ 的右焦點(diǎn)僧著， $P$ 為 $C$ 上一點(diǎn)叫编，且 $\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=\vec{0}$

證明： $|\overrightarrow{FA}|,|\overrightarrow{FP}|,|\overrightarrow{FB}|$ 成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.

兩角相等~拋物線：2018年文數(shù)全國卷一題20

分值：12分

設(shè)拋物線 $C:y^2=2x$ 霹抛，點(diǎn) $A(2,0), B(-2,0)$ 搓逾，過點(diǎn) $A$ 的直線 $l$ 與 $C$ 交于 $M，N$ 兩點(diǎn).

（1）當(dāng) $l$ 與 $x$ 軸垂直時(shí)杯拐，求直線 $BM$ 的方程;
（2）證明： $\angle ABM = \angle ABN.$

參考答案：2018年文數(shù)全國卷一題20

兩角相等~橢圓：2018年理數(shù)全國卷一題19

分值：12分

設(shè)橢圓 $C: \dfrac{x^2}{2} + y^2 = 1$ 的右焦點(diǎn)為 $F$ 霞篡，過 $F$ 的直線 $l$ 與 $C$ 交于 $A世蔗，B$ 兩點(diǎn)，點(diǎn) $M$ 的坐標(biāo)為 $(2,0)$ .

（1）當(dāng) $l$ 與 $x$ 軸垂直時(shí)朗兵，求直線 $AM$ 的方程;
（2）設(shè) $O$ 為坐標(biāo)原點(diǎn)污淋，證明： $\angle OMA = \angle OMB$ .

參考答案：2018年理數(shù)全國卷一題19

拋物線的弦：2019年理數(shù)全國卷三題21

分值：12分

已知曲線 $C:y=\dfrac{x^2}{2},D$ 為直線 $y=-\dfrac{1}{2}$ 上的動(dòng)點(diǎn)，過 $D$ 作 $C$ 的兩條切線余掖，切點(diǎn)分別為 $A,B$ .

（1）證明：直線 $AB$ 過定點(diǎn)寸爆；
（2）若以 $E(0,\dfrac{5}{2})$ 為圓心的圓與直線 $AB$ 相切，且切點(diǎn)為線段 $AB$ 的中點(diǎn)盐欺，求四邊形 $ADBE$ 的面積赁豆。

參考答案：2019年全國卷三題21

拋物線的弦：2019年理數(shù)全國卷一題19

分值：12分

已知拋物線 $C:y^2=3x$ 的焦點(diǎn)為 $F$ ，斜率為 $\dfrac{3}{2}$ 的直線 $l$ 與 $C$ 的交點(diǎn)為 $A,B$ 冗美，與 $x$ 軸的交點(diǎn)為 $P$ .

（1）若 $|AF|+|BF|=4$ 魔种，求 $l$ 的方程；
（2）若 $\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$ 粉洼，求 $|AB|.$

參考答案：2019年理數(shù)全國卷一題19

2019年全國卷二題21

分值：12分

已知點(diǎn) $A(-2,0),B(2,0)$ , 動(dòng)點(diǎn) $M(x,y)$ 滿足直線 $AM$ 與 $BM$ 的斜率之積為 $-\dfrac{1}{2}$ . 記 $M$ 的軌跡為曲線 $C$ .

（1）求 $C$ 的方程节预，并說明 $C$ 是什么曲線；
（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交 $C$ 于 $P,Q$ 兩點(diǎn)属韧，點(diǎn) $P$ 在第一象限安拟， $PE \perp x$ 軸，垂足為 $E$ 宵喂，連接 $QE$ 并延長交 $C$ 于點(diǎn) $G$ .

（i）證明： $\triangle PQG$ 是直角三角形去扣；

（ii）求 $\triangle PQG$ 面積的最大值.

2020年~2022年

橢圓：2020年全國卷一題20 $\heartsuit$

分值：12分

已知 $A,B$ 分別為橢圓 $E: \dfrac{x^2}{a^2} + y^2 =1( a \gt 1 )$ 的左、右頂點(diǎn)樊破， $G$ 為 $E$ 的上頂點(diǎn)， $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{GB}＝8$ . $P$ 為直線 $x＝6$ 上的動(dòng)點(diǎn)唆铐， $PA$ 與 $E$ 的另一交點(diǎn)為 $C$ 哲戚， $PB$ 與 $E$ 的另一交點(diǎn)為 $D$ .
(1)求 $E$ 的方程；
(2)證明：直線 $CD$ 過定點(diǎn)艾岂。

參考答案：2020年理數(shù)全國卷一題20

2020年全國卷二題20

分值：12分

已知橢圓 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0)$ 的右焦點(diǎn) $F$ 與拋物線 $C_2$ 的焦點(diǎn)重合顺少， $C_1$ 的中心與 $C_2$ 的頂點(diǎn)重合. 過 $F$ 且與 $x$ 軸垂直的直線交 $C_1$ 于 $A，B$ 兩點(diǎn)王浴，交 $C_2$ 于 $C脆炎，D$ 兩點(diǎn)，且 $|CD|= \dfrac{4}{3}|AB|$ .
（1）求 $C_1$ 的離心率氓辣；
（2）設(shè) $M$ 是 $C_1$ 與 $C_2$ 的公共點(diǎn)秒裕，若 $|MF|=5$ ，求 $C_1$ 與 $C_2$ 的標(biāo)準(zhǔn)方程.

橢圓：2020年全國卷三題20

分值：12分

已知橢圓 $C:\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{m^2}=1(0 \lt m \lt 5)$ 的離心率為 $\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ 钞啸， $A,B$ 分別為 $C$ 的左几蜻、右頂點(diǎn).

（1）求 $C$ 的方程喇潘；
（2）若點(diǎn) $P$ 在 $C$ 上，點(diǎn) $Q$ 在直線 $x=6$ 上梭稚，且 $|BP|=|BQ|, BP \perp BQ$ 颖低，求 $\triangle APQ$ 的面積。

參考答案：2020年全國卷三題20

2020年新高考1卷題21

分值：12分

已知橢圓 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0)$ 的離心率為 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , 且過點(diǎn) $A(2,1)$ .

（1）求 $C$ 的方程弧烤；
（2）點(diǎn) $M,N$ 在 $C$ 上忱屑，且 $AM \perp AN$ , $AD \perp MN$ ， $D$ 為垂足. 證明：存在定點(diǎn) $Q$ 暇昂，使得 $|DQ|$ 為定值.

2020年新高考2卷題21

分值：12分

已知橢圓 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0)$ 過點(diǎn) $M(2,3)$ , 點(diǎn) $A$ 為其左頂點(diǎn)莺戒，且 $AM$ 的斜率為 $\dfrac{1}{2}$ .

（1）求 $C$ 的方程；
（2）點(diǎn) $N$ 為橢圓上任意一點(diǎn)话浇，求 $\triangle AMN$ 的面積的最大值.

2021年全國甲卷題20

分值：12分

拋物線 $C$ 的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) $O$ 脏毯，焦點(diǎn)在 $x$ 軸上，直線 $l:x=1$ 交 $C$ 于 $P,Q$ 兩點(diǎn)幔崖，且 $OP \perp OQ$ . 已知點(diǎn) $M(2,0)$ 食店，且 $\odot M$ 與 $l$ 相切.

（1）求 $C$ ， $\odot M$ 的方程赏寇；
（2）設(shè) $A_1,A_2,A_3$ 是 $C$ 上的三個(gè)點(diǎn)吉嫩，直線 $A_1A_2,A_1A_3$ 均與 $\odot M$ 相切. 判斷直線 $A_2A_3$ 與 $\odot M$ 的位置關(guān)系，并說明理由.

2021年全國乙卷題21

分值：12分

已知拋物線 $C:x^2=2py(p \gt 0)$ 的焦點(diǎn)為 $F$ 嗅定，且 $F$ 與圓 $M:x^2+(y+4)^2=1$ 上點(diǎn)的距離的最小值為 $4$ .

（1）求 $p$ 自娩；
（2）若點(diǎn) $P$ 在 $M$ 上， $PA,PB$ 是 $C$ 的兩條切線渠退， $A,B$ 是切點(diǎn)忙迁，求 $\triangle PAB$ 面積的最大值.

2021年全國新高考1卷題21

分值：12分

在平面直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中，已知點(diǎn) $F_1(-\sqrt{17},0),F_2( \sqrt{17},0)$ , 點(diǎn) $M$ 滿足 $|MF_1| - |MF_2| =2$ . 記 $M$ 的軌跡為 $C$ .

（1）求 $C$ 的方程碎乃；
（2）設(shè)點(diǎn) $T$ 在直線 $x=\dfrac{1}{2}$ 上姊扔，過 $T$ 的兩條直線分別交 $C$ 于 $A,B$ 兩點(diǎn)和 $P,Q$ 兩點(diǎn)，且 $|TA| \cdot |TB|= |TP| \cdot |TQ|$ 梅誓，求直線 $AB$ 的斜率與直線 $PQ$ 的斜率之和.

2021年全國新高考2卷題20

分值：12分

已知橢圓 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0)$ 恰梢，右焦點(diǎn)為 $F(\sqrt{2},0)$ ，且離心率為 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ .

（1）求橢圓 $C$ 的方程梗掰；
（2）設(shè) $M,N$ 是橢圓 $C$ 上的兩點(diǎn)嵌言，直線 $MN$ 與曲線 $x^2+y^2=b^2(x \gt 0)$ 相切，證明： $M,N,F$ 三點(diǎn)共線的充要條件是 $|MN|=\sqrt{3}$ .

2022年全國卷甲題20

分值：12分

設(shè)拋物線 $C:y^2=2px (p \gt 0)$ 的焦點(diǎn)為 $F$ 及穗，點(diǎn) $D(p,0)$ 摧茴，過 $F$ 的直線交 $C$ 于 $M,N$ 兩點(diǎn). 當(dāng)直線 $MD$ 垂直于 $x$ 軸時(shí)， $|MF|=3$ .

（1）求 $C$ 的方程埂陆；
（2）設(shè)直線 $MD,ND$ 與 $C$ 的另一個(gè)交點(diǎn)分別為 $A,B$ 蓬蝶，記直線 $MN,AB$ 的傾斜角分別為 $\alpha,\beta$ . 當(dāng) $\alpha-\beta$ 取得最大值時(shí)尘分，求直線 $AB$ 的方程.

2022年全國卷乙題20

分值：12分

已知橢圓 $E$ 的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為 $x$ 軸丸氛、 $y$ 軸培愁，且過 $A(0,-2),B(\dfrac{3}{2},-1)$ 兩點(diǎn).

（1）求 $E$ 的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn) $P(1,-2)$ 的直線交 $E$ 于 $M,N$ 兩點(diǎn)缓窜，過 $M$ 且平行于 $x$ 軸的直線與線段 $AB$ 交于點(diǎn) $T$ 定续，點(diǎn) $H$ 滿足 $\overrightarrow {MT} = \overrightarrow {TH}$ . 證明：直線 $HN$ 過定點(diǎn).

2022年全國新高考卷1題21

分值：12分

已知點(diǎn) $A(2,1)$ 在雙曲線 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{a^2-1}=1(a \gt 1)$ 上，直線 $l$ 交 $C$ 于 $P,Q$ 兩點(diǎn)禾锤，直線 $AP,AQ$ 的斜率之和為 $0$ .

（1）求 $l$ 的斜率私股；
（2）若 $\tan \angle PQA=2\sqrt{2}$ ，求 $\triangle PAQ$ 的面積.

2022年全國新高考卷2題21

分值：12分

已知雙曲線 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt 0, b \gt 0)$ 的右焦點(diǎn)為 $F(2,0)$ 恩掷，漸近線方程為 $y=\pm\sqrt{3}x$ .

（1）求 $C$ 的方程倡鲸；

（2）過 $F$ 的直線與 $C$ 的兩條漸近線分別交于 $A,B$ 兩點(diǎn)，點(diǎn) $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$ 在 $C$ 上黄娘，且 $x_1 \gt x_2 \gt 0, y_1 \gt 0$ . 過 $P$ 且斜率為 $-\sqrt{3}$ 的直線與過 $Q$ 且斜率為 $\sqrt{3}$ 的直線交于點(diǎn) $M$ . 從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件峭状，證明另外一個(gè)成立.

① $M$ 在 $AB$ 上；② $PQ//AB$ 逼争；③ $|MA|=|MB|$ .

注∶若選擇不同的組合分別解答优床，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

最后編輯于：2023.01.12 23:26:29

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兩角相等~拋物線：2015年理數(shù)全國卷一題20

兩角相等~橢圓：2015年理數(shù)北京卷題19

拋物線：2016年文科數(shù)學(xué)全國卷一題20

弦長和面積：2016年理數(shù)全國卷一題20

弦長和面積：2016年理數(shù)全國卷二題20

弦長和面積：2016年數(shù)學(xué)全國卷三題20（文理同題）

拋物線和圓：2017年文科數(shù)學(xué)全國卷三題20

拋物線和圓：2017年理數(shù)全國卷三題20

向量與曲線：2017年數(shù)學(xué)全國卷二題20（文理同題）

拋物線的弦：2017年文數(shù)全國卷一題20

橢圓~定點(diǎn)問題：2017年理數(shù)全國卷一題20

弦長和面積：2018年數(shù)學(xué)全國卷二題20（文理同題）

橢圓的弦：2018年文數(shù)全國卷三題20

橢圓的弦：2018年理數(shù)全國卷三題20

兩角相等~拋物線：2018年文數(shù)全國卷一題20

兩角相等~橢圓：2018年理數(shù)全國卷一題19

拋物線的弦：2019年理數(shù)全國卷三題21

拋物線的弦：2019年理數(shù)全國卷一題19

2019年全國卷二題21

2020年~2022年

橢圓：2020年全國卷一題20

2020年全國卷二題20

橢圓：2020年全國卷三題20

2020年新高考1卷題21

2020年新高考2卷題21

2021年全國甲卷題20

2021年全國乙卷題21

2021年全國新高考1卷題21

2021年全國新高考2卷題20

2022年全國卷甲題20

2022年全國卷乙題20

2022年全國新高考卷1題21

2022年全國新高考卷2題21

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