1.6 全概率公式與Bayes公式

例：一所學(xué)校里面有 60% 的男生，40% 的女生缩搅。男生總是穿長(zhǎng)褲溉知，女生則一半穿長(zhǎng)褲一半穿裙子。有了這些信息之后我們可以容易地計(jì)算“隨機(jī)選取一個(gè)學(xué)生刃宵，他（她）穿長(zhǎng)褲的概率和穿裙子的概率是多大”，這個(gè)就是前面說(shuō)的“正向概率”的計(jì)算捅彻。然而组去，假設(shè)你走在校園中，迎面走來(lái)一個(gè)穿長(zhǎng)褲的學(xué)生（很不幸的是你高度近似步淹，你只看得見(jiàn)他（她）穿的是否長(zhǎng)褲，而無(wú)法確定他（她）的性別）诚撵，你能夠推斷出他（她）是男生的概率是多大嗎缭裆？

全概率公式

例：設(shè)女性患某種疾病的概率為 $0.3$ ，男性患該病的概率為 $0.25$ 寿烟，已知全國(guó)的男女比例為 $40:42?$ 澈驼，求任何一人患該病的概率。

分析：記事件 $A$ 為患該疾病筛武，事件 $B_1$ 為女性患該病缝其，事件 $B_2$ 為男性患該病挎塌，則
$\begin{aligned} P(A)&=P(AB_1)+P(AB_2)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)\\ &=0.3\cdot\frac{40}{82}+0.25\cdot\frac{42}{82} \approx 0.274 \end{aligned}$

全概率公式

定理：設(shè) $\Omega$ 為樣本空間，若事件 $B_1,B_2,...,B_n$ 滿足

$B_1,B_2,...,B_n$ 互不相容内边，即
$B _ { i } B _ { j } = \Phi \quad ( i \neq j , i , i , j = 1,2 , \cdots , n )$
$B _ { 1 } \cup B _ { 2 } \cup \cdots \cup B _ { n } = \Omega$

則稱 $\{B_1,B_2,...,B_n\}$ 為樣本空間 $\Omega$ 的一個(gè)分劃榴都，進(jìn)而可得
$\begin{aligned} P ( A ) & = P \left( A B _ { 1 } \cup A B _ { 2 } \cup \cdots \cup A B _ { n } \right) \\ & = P \left( A B _ { 1 } \right) + P \left( A B _ { 2 } \right) + \cdots + P \left( A B _ { n } \right) \\ & = P ( A | B _ { 1 } ) P \left( B _ { 1 } \right) + P ( A | B _ { 2 } ) P \left( B _ { 2 } \right) + \cdots + P ( A | B _ { n } ) P \left( B _ { n } \right) \end{aligned}$
也即
$P ( A ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } P ( A | B _ { i } ) P \left( B _ { i } \right)$
該公式稱為全概率公式（Law of Total Probability）

例：袋中有 $a$ 只紅球 $b$ 只白球，先從袋中任取一球漠其，記下顏色后放回嘴高，同時(shí)向袋中放入同顏色的球 $1?$ 只，然后再?gòu)拇腥〕鲆磺蚝褪骸Ｇ蟮诙稳〉桨浊虻母怕省?/p>

解：記 $A=\{\text{第二次取到白球}\},B_1=\{\text{第一次取到白球}\},B_2=\{\text{第一次取到紅球}\}$ 拴驮，顯然 $B_1,B_2$ 是 $\Omega$ 的一個(gè)分劃，由全概率公式有
$\begin{aligned} P ( A ) & = P ( A | B _ { 1 } ) P \left( B _ { 1 } \right) + P ( A | B _ { 2 } ) P \left( B _ { 2 } \right) \\ & = \frac { b + 1 } { a + b + 1 } \cdot \frac { b } { a + b } + \frac { b } { a + b + 1 } \cdot \frac { a } { a + b } \\ & = \frac { b } { a + b } \end{aligned}$

思考：若第2次向袋中放入同顏色的球 $c?$ 只柴信，結(jié)果如何套啤？
答：結(jié)果不變

例：有10個(gè)袋,其中甲袋二個(gè),每袋中有紅球、白球各2個(gè);乙袋三個(gè),每袋中有紅球3個(gè)随常、白球2個(gè);丙袋五個(gè),每袋中有紅球2個(gè)纲岭、白球3個(gè).從十個(gè)袋中任取一袋,再?gòu)拇腥稳∫磺?求取到白球的概率.

解：記 $B_1,B_2,B_3$ 分別表示取到甲、乙线罕、丙袋止潮， $A$ 表示取到白球。由全概率公式
$\begin{aligned} P ( A ) & = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } P ( A | B _ { i } ) P \left( B _ { i } \right) \\ & = \frac { 2 } { 10 } \cdot \frac { 2 } { 4 } + \frac { 3 } { 10 } \cdot \frac { 2 } { 5 } + \frac { 5 } { 10 } \cdot \frac { 3 } { 5 } = \frac { 13 } { 25 } \end{aligned}$

問(wèn)：如果將三個(gè)袋中的球混合在一起钞楼，然后任取一球喇闸，問(wèn)取到白球的概率是否一樣？
答：不同询件！全概率公式是概率的加權(quán)平均燃乍。

例：甲、乙兩坦克的首發(fā)命中率均為0.8,經(jīng)修正后的第二發(fā)命中率均為0.9, 敵目標(biāo)被一發(fā)炮彈擊中而被擊毀的概率為0.2,被兩發(fā)炮彈擊中而擊毀的概率為0.5,被三發(fā)炮彈擊中必定被擊毀. 在戰(zhàn)斗中,甲宛琅、乙兩坦克分別向敵同一目標(biāo)發(fā)射了兩發(fā)炮彈,求敵目標(biāo)被擊毀的概率.

解：設(shè) $A$ 表示目標(biāo)被擊毀刻蟹， $B_i$ 表示目標(biāo)被 $i$ 發(fā)炮彈擊中， $i=1,2,3,4$ 嘿辟。
$\begin{array} { l } { P \left( B _ { 1 } \right) = 2 ( 0.8 \times 0.2 \times 0.05 \times 0.05 + 0.2 \times 0.2 \times 0.95 \times 0.05 ) = 0.0046 } \\ { P \left( B _ { 2 } \right) = 0.8 \times 0.8 \times 0.05 \times 0.05 + 0.2 \times 0.2 \times 0.95 \times 0.95 } \\ {\quad\quad\quad\quad +4 \times 0.8 \times 0.2 \times 0.95 \times 0.05 = 0.0681 } \\ { P \left( B _ { 3 } \right) = 2 ( 0.8 \times 0.8 \times 0.95 \times 0.05 + 0.8 \times 0.2 \times 0.95 \times 0.95 ) = 0.3496 } \\ { P \left( B _ { 4 } \right) = 0.8 \times 0.8 \times 0.95 \times 0.95 = 0.5776 } \end{array}$
由全概率公式
$\begin{aligned} P ( A ) & = \sum _ { i = 0 } ^ { 4 } P ( A | B _ { i } ) P \left( B _ { i } \right) \\ & = 0 . .2 \times 0.0046 + 0.5 \times 0.0681 + 1 \times 0.3496 + 1 \times 0.5776 \\ & = 0.96217 \end{aligned}$

Bayes公式（Bayes's Theorem）

事件之間的聯(lián)系

設(shè) $\left\{ B _ { 1 } , B _ { 2 } , \cdots , B _ { n } \right\}$ 為樣本空間的一個(gè)分劃舆瘪，且
$P ( A ) > 0 , P \left( B _ { i } \right) > 0 \quad ( i = 1,2 , \cdots , n )$
則由乘法公式
$P \left( B _ { i } | A \right) P ( A ) = P ( A | B _ { i } ) P \left( B _ { i } \right) ( i = 1,2 , \cdots , n )$
結(jié)合全概率公式 $P ( A ) = \sum _ { j = 1 } ^ { n } P ( A | B _ { j } ) P \left( B _ { j } \right)$ ，可以得到
$P \left( B _ { i } | A \right) = \frac { P ( A | B _ { i } ) P \left( B _ { i } \right) } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } P ( A | B _ { j } ) P \left( B _ { j } \right) } ( i = 1,2 , \cdots , n )$
該公式稱為Bayes公式

Bayes公式

Bayes公式體現(xiàn)了一種“因”和“果”的聯(lián)系红伦，很多時(shí)候不僅可以由因推果英古，也可以由果推因。

通常昙读，事件A在事件B已發(fā)生的條件下發(fā)生的概率召调，與事件B在事件A已發(fā)生的條件下發(fā)生的概率是不一樣的。然而，這兩者是有確定的關(guān)系的唠叛，Bayes公式就是這種關(guān)系的陳述只嚣。
$P(B_j|A)P(B_j)$ 有時(shí)被稱作標(biāo)準(zhǔn)似然度（standardised likelihood），這樣一來(lái)Bayes定理可表述為：后驗(yàn)概率=標(biāo)準(zhǔn)似然度*先驗(yàn)概率

所謂的Bayes方法源于Tomas Bayes生前為解決一個(gè)“逆概”問(wèn)題寫(xiě)的一篇文章艺沼，而這篇文章是在他死后才由他的一位朋友發(fā)表出來(lái)的册舞。在Bayes寫(xiě)這篇文章之前，人們已經(jīng)能夠計(jì)算“正向概率”澳厢，如“假設(shè)袋子里面有N個(gè)白球环础，M個(gè)黑球，你伸手進(jìn)去摸一把剩拢，摸出黑球的概率是多大”线得。而一個(gè)自然而然的問(wèn)題是反過(guò)來(lái)：“如果我們事先并不知道袋子里面黑白球的比例，而是閉著眼睛摸出一個(gè)（或好幾個(gè)）球徐伐，觀察這些取出來(lái)的球的顏色之后贯钩，那么我們可以就此對(duì)袋子里面的黑白球的比例作出什么樣的推測(cè)”。這個(gè)問(wèn)題办素，就是所謂的逆概問(wèn)題角雷。

實(shí)際上，Bayes當(dāng)時(shí)的論文只是對(duì)這個(gè)問(wèn)題的一個(gè)直接的求解嘗試性穿，并不清楚他當(dāng)時(shí)是不是已經(jīng)意識(shí)到這里面包含著的深刻的思想勺三。然而后來(lái)，Bayes方法席卷了概率論需曾，并將應(yīng)用延伸到各個(gè)問(wèn)題領(lǐng)域吗坚，所有需要作出概率預(yù)測(cè)的地方都可以見(jiàn)到Bayes方法的影子，特別地呆万，Bayes是機(jī)器學(xué)習(xí)的核心方法之一商源。這背后的深刻原因在于，現(xiàn)實(shí)世界本身就是不確定的谋减，人類(lèi)的觀察能力是有局限性的（否則有很大一部分科學(xué)就沒(méi)有必要做了——設(shè)想我們能夠直接觀察到電子的運(yùn)行牡彻，還需要對(duì)原子模型爭(zhēng)吵不休嗎？）出爹，我們?nèi)粘Ｋ^察到的只是事物表面上的結(jié)果庄吼，沿用剛才那個(gè)袋子里面取球的比方，我們往往只能知道從里面取出來(lái)的球是什么顏色以政，而并不能直接看到袋子里面實(shí)際的情況霸褒。

例（吸毒檢測(cè)）：假設(shè)一個(gè)常規(guī)的檢測(cè)結(jié)果的敏感度與可靠度均為 $99\%$ ，即吸毒者每次檢測(cè)呈陽(yáng)性（+）的概率為 $99\%$ 盈蛮。而不吸毒者每次檢測(cè)呈陰性（-）的概率為 $99\%$ 。從檢測(cè)結(jié)果的概率來(lái)看技矮，檢測(cè)結(jié)果是比較準(zhǔn)確的抖誉，但是Bayes定理卻可以揭示一個(gè)潛在的問(wèn)題殊轴。假設(shè)某公司對(duì)全體雇員進(jìn)行吸毒檢測(cè)，已知 $0.5\%$ 的雇員吸毒袒炉。請(qǐng)問(wèn)每位檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性的雇員吸毒的概率有多高旁理？

分析：令 $D$ 為雇員吸毒事件， $N$ 為雇員不吸毒事件我磁， $+$ 為檢測(cè)呈陽(yáng)性事件孽文。可得

$P(D)$ 代表雇員吸毒的概率夺艰，不考慮其他情況芋哭，該值為 $0.005$ 。因?yàn)楣镜念A(yù)先統(tǒng)計(jì)表明該公司的雇員中有 $0.5\%$ 的人吸食毒品郁副，所以這個(gè)值就是 $D$ 的先驗(yàn)概率减牺。
$P(N)?$ 代表雇員不吸毒的概率，顯然存谎，該值為 $0.995?$ 拔疚，也就是 $1-P(D)?$ 。
$P(+|D)?$ 代表吸毒者陽(yáng)性檢出率既荚，這是一個(gè)條件概率稚失，由于陽(yáng)性檢測(cè)準(zhǔn)確性是 $99\%?$ ，因此該值為 $0.99?$ 恰聘。
$P(+|N)$ 代表不吸毒者陽(yáng)性檢出率句各，也就是出錯(cuò)檢測(cè)的概率，該值為 $0.01$ 憨琳，因?yàn)閷?duì)于不吸毒者诫钓，其檢測(cè)為陰性的概率為 $99\%$ ，因此篙螟，其被誤檢測(cè)成陽(yáng)性的概率為 $1 - 0.99 = 0.01$ 菌湃。
$P(+)$ 代表不考慮其他因素的影響的陽(yáng)性檢出率。該值為 $0.0149$ 或者 $1.49\%$ 遍略。具體由全概率公式計(jì)算得到：此概率 = 吸毒者陽(yáng)性檢出率（ $0.5\% \times 99\% = 0.495\%$ )+ 不吸毒者陽(yáng)性檢出率（ $99.5\% \times 1\% = 0.995\%$ )惧所。 $P(+)=0.0149?$ 是檢測(cè)呈陽(yáng)性的先驗(yàn)概率。用數(shù)學(xué)公式描述為：
$P(+)=P(+ \cap D)+P(+\cap N)=P(+| D) P(D)+P(+| N) P(N)$

根據(jù)上述描述绪杏，我們可以計(jì)算某人檢測(cè)呈陽(yáng)性時(shí)確實(shí)吸毒的條件概率 $P(D|+)$ ：
$\begin{aligned} P(D |+) &=\frac{ P(+| D) P(D)}{P(+)} \\ &=\frac{P(+| D) P(D)}{P(+| D) P(D)+P(+| N) P(N)} \\ &=\frac{0.99 \times 0.005}{0.99 \times 0.005+0.01 \times 0.995} \\ &=0.3322 \end{aligned}$
結(jié)論：盡管吸毒檢測(cè)的準(zhǔn)確率高達(dá)99%下愈，但Bayes定理告訴我們：如果某人檢測(cè)呈陽(yáng)性，其吸毒的概率只有大約33%蕾久，不吸毒的可能性比較大势似。假陽(yáng)性高，則檢測(cè)的結(jié)果不可靠。

類(lèi)似的情況：

胰腺癌檢測(cè)：即使100%的胰腺癌癥患者都有某癥狀履因，而某人有同樣的癥狀障簿，絕對(duì)不代表該人有100%的概率得胰腺癌，還需要考慮先驗(yàn)概率栅迄，假設(shè)胰腺癌的發(fā)病率是十萬(wàn)分之一站故，而全球有同樣癥狀的人有萬(wàn)分之一，則此人得胰腺癌的概率只有十分之一毅舆，90%的可能是是假陽(yáng)性
不良種子檢測(cè)：假設(shè)100%的不良種子都表現(xiàn)A性狀西篓，而種子表現(xiàn)A性狀，并不代表此種子100%是不良種子憋活，還需要考慮先驗(yàn)概率岂津，假設(shè)一共有6萬(wàn)顆不良種子，在種子中的比例是十萬(wàn)分之一（假設(shè)總共有60億顆種子）余掖，假設(shè)所有種子中有1/3表現(xiàn)A性狀（即20億顆種子表現(xiàn)A性狀）寸爆，則此種子為不良種子的概率只有十萬(wàn)分之三

例：某工廠的一、二盐欺、三車(chē)間都生產(chǎn)同一產(chǎn)品赁豆，產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%,80%,5%三個(gè)車(chē)間的次品率分別為2%,1%,3%.現(xiàn)從匯總起來(lái)的產(chǎn)品中任取一個(gè),經(jīng)檢查是次品,判斷該次品是哪個(gè)車(chē)間生產(chǎn)的可能性較大？

分析：這是“因—果”分析問(wèn)題冗美，故應(yīng)用Bayes公式

解：記 $A$ 表示取得次品魔种， $B_i$ 表示取到的產(chǎn)品是 $i$ 車(chē)間生產(chǎn)的， $i=1,2,3$ 粉洼，由全概率公式
$\begin{aligned} P ( A ) & = \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } P ( A | B _ { j } ) P \left( B _ { j } \right) \\ & = 0.02 \times 0.15 + 0.01 \times 0.80 + 0.03 \times 0.05 = 0.0125 \end{aligned}$
再由Bayes公式
$\begin{array} { l } { P \left( B _ { 1 } | A \right) = \frac { P ( A | B _ { 1 } ) P \left( B _ { 1 } \right) } { P ( A ) } = \frac { 0.02 \times 0.15 } { 0.0125 } = 0.24 } \\ { P \left( B _ { 2 } | A \right) = \frac { 0.01 \times 0.80 } { 0.0125 } = 0.64 } \\ { P \left( B _ { 3 } | A \right) = \frac { 0.03 \times 0.05 } { 0.0125 } = 0.12 } \end{array}$
可見(jiàn)該次品是第二車(chē)間生產(chǎn)的可能性較大节预。

以上的分析過(guò)程也被稱為Bayes推斷。

Bayes推斷

假定 $B _ { 1 } , B _ { 2 } , \cdots , B _ { n }$ 為導(dǎo)致試驗(yàn)結(jié)果的“原因”属韧，稱 $P \left( B _ { i } \right) ( i = 1,2 , \cdots , n )$ 為先驗(yàn)概率安拟。

若試驗(yàn)產(chǎn)生事件 $A$ ，則要探討事件發(fā)生的“原因”宵喂，稱 $P(B_i|A)$ 為后驗(yàn)概率糠赦，稱 $P(A|B_i)$ 為原因概率

先驗(yàn)概率反映了各種“原因”發(fā)生的可能性大小
先驗(yàn)概率和原因概率可以在試驗(yàn)前分析確定
后驗(yàn)概率反映了試驗(yàn)后對(duì)各種“原因”發(fā)生的可能性大小的推斷.后驗(yàn)概率可通過(guò)Bayes公式進(jìn)行計(jì)算
Bayes 方法廣泛應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)、分類(lèi)锅棕、診斷拙泽、估計(jì)、檢驗(yàn)裸燎、判別顾瞻、推理等方面

例：假定 $B _ { 1 } , B _ { 2 } , \cdots , B _ { n }$ 為各種疾病，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法可確定患病的概率（先驗(yàn)概率）
$P \left( B _ { i } \right) \quad ( i = 1,2 , \cdots , n )$
應(yīng)用醫(yī)學(xué)知識(shí)確定每種疾病下指標(biāo) $A$ （例如體溫德绿、脈搏荷荤、血象等）出現(xiàn)的概率（原因概率）退渗，應(yīng)用Bayes公式，可以計(jì)算出該指標(biāo)意味著某種疾病的概率（后驗(yàn)概率）
$P \left( B _ { i } | A \right) \quad ( i = 1,2 , \cdots , n )$
這正是大數(shù)據(jù)在醫(yī)療系統(tǒng)中應(yīng)用的原理梅猿。

課后思考題：習(xí)題一：20氓辣，21秒裕，22袱蚓，23，24

參見(jiàn)數(shù)學(xué)之美番外篇：平凡而又神奇的貝葉斯方法

Bayes公式與人工智能

例（拼寫(xiě)糾正）

經(jīng)典著作《人工智能：現(xiàn)代方法》的作者之一 Peter Norvig 曾經(jīng)寫(xiě)過(guò)一篇介紹如何寫(xiě)一個(gè)拼寫(xiě)檢查/糾正器的文章（原文在這里几蜻，這篇文章很深入淺出喇潘，強(qiáng)烈建議讀一讀），里面用到的就是Bayes方法梭稚。

首先颖低，我們的問(wèn)題是我們看到用戶輸入了一個(gè)不在字典中的單詞，我們需要去猜測(cè)：“這個(gè)家伙到底真正想輸入的單詞是什么呢弧烤？”用剛才我們形式化的語(yǔ)言來(lái)敘述就是忱屑，我們需要求：
$P(\text{我們猜測(cè)他想輸入的單詞} | \text{他實(shí)際輸入的單詞})$
這個(gè)概率，并找出那個(gè)使得這個(gè)概率最大的猜測(cè)單詞暇昂。

顯然莺戒，我們的猜測(cè)未必是唯一的。比如用戶輸入： thew 急波，那么他到底是想輸入 the 从铲，還是想輸入 thaw ？到底哪個(gè)猜測(cè)可能性更大呢澄暮？幸運(yùn)的是我們可以用Bayes公式來(lái)直接算出它們各自的概率名段，我們不妨將我們的多個(gè)猜測(cè)記為 $h_1, h2,...$ （ $h$ 代表 hypothesis），它們都屬于一個(gè)有限且離散的猜測(cè)空間 $H$ （單詞總共就那么多而已）泣懊，將用戶實(shí)際輸入的單詞記為 $D$ （ $D$ 代表 Data 伸辟，即觀測(cè)數(shù)據(jù)），于是 $P(\text{我們的猜測(cè)1 }| \text{他實(shí)際輸入的單詞})$ 可以抽象地記為： $P(h_1 | D)$ 馍刮，類(lèi)似地信夫，對(duì)于我們的猜測(cè)2，則是 $P(h_2 | D)$ 渠退。不妨統(tǒng)一記為：
$P(h | D)$
運(yùn)用一次Bayes公式忙迁，我們得到：
$P(h | D) = \frac{P(h) \times P(D | h)}{ P(D)}$
對(duì)于不同的具體猜測(cè) $h_1, h_2, h_3,…$ ， $P(D)$ 都是一樣的碎乃，所以在比較 $P(h_1 | D)$ 和 $P(h_2 | D)$ 的時(shí)候我們可以忽略這個(gè)常數(shù)姊扔。即我們只需要知道：
$P(h | D) ∝ P(h) \times P(D | h)$
這個(gè)式子的抽象含義是：對(duì)于給定觀測(cè)數(shù)據(jù)，一個(gè)猜測(cè)是好是壞梅誓，取決于“這個(gè)猜測(cè)本身獨(dú)立的可能性大星∩摇（先驗(yàn)概率佛南，Prior ）”和“這個(gè)猜測(cè)生成我們觀測(cè)到的數(shù)據(jù)的可能性大小”（似然，Likelihood ）的乘積嵌言。具體到我們的那個(gè) thew 例子上嗅回，含義就是，用戶實(shí)際是想輸入 the 的可能性大小取決于 the 本身在詞匯表中被使用的可能性（頻繁程度）大写蒈睢（先驗(yàn)概率）和想打 the 卻打成 thew 的可能性大忻嘣亍（似然）的乘積。

下面的事情就很簡(jiǎn)單了苛白，對(duì)于我們猜測(cè)為可能的每個(gè)單詞計(jì)算一下 $P(h) \times P(D | h)$ 這個(gè)值娃豹，然后取最大的，得到的就是最靠譜的猜測(cè)购裙。

類(lèi)似的方法可以用來(lái)處理自然語(yǔ)言的二義性問(wèn)題懂版，例如

The girl saw the boy with a telescope.

到底是 The girl saw-with-a-telescope the boy 這一語(yǔ)法結(jié)構(gòu)，還是 The girl saw the-boy-with-a-telescope 呢躏率？?jī)煞N語(yǔ)法結(jié)構(gòu)的常見(jiàn)程度都差不多（你可能會(huì)覺(jué)得后一種語(yǔ)法結(jié)構(gòu)的常見(jiàn)程度較低躯畴，這是事后偏見(jiàn)，你只需想想 The girl saw the boy with a book 就知道了薇芝。當(dāng)然蓬抄，實(shí)際上從大規(guī)模語(yǔ)料統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)看后一種語(yǔ)法結(jié)構(gòu)的確稍稍不常見(jiàn)一丁點(diǎn)，但是絕對(duì)不足以解釋我們對(duì)第一種結(jié)構(gòu)的強(qiáng)烈傾向）恩掷。那么到底為什么呢倡鲸？

比價(jià)合理的解釋是：如果語(yǔ)法結(jié)構(gòu)是 The girl saw the-boy-with-a-telecope 的話，怎么那個(gè)男孩偏偏手里拿的就是望遠(yuǎn)鏡——一個(gè)可以被用來(lái) saw-with 的東東捏黄娘？這也忒小概率了吧峭状。他咋就不會(huì)拿本書(shū)呢？拿什么都好逼争。怎么偏偏就拿了望遠(yuǎn)鏡优床？所以唯一的解釋是，這個(gè)“巧合”背后肯定有它的必然性，這個(gè)必然性就是，如果我們將語(yǔ)法結(jié)構(gòu)解釋為 The girl saw-with-a-telescope the boy 的話旁振，就跟數(shù)據(jù)完美吻合了——既然那個(gè)女孩是用某個(gè)東西去看這個(gè)男孩的，那么這個(gè)東西是一個(gè)望遠(yuǎn)鏡就完全可以解釋了（不再是小概率事件了）移层。

還有中文分詞的問(wèn)題，比如

給定一個(gè)句子（字串）赫粥，如：

南京市長(zhǎng)江大橋

如何對(duì)這個(gè)句子進(jìn)行分詞（詞串）才是最靠譜的观话。例如：

南京市/長(zhǎng)江大橋
南京/市長(zhǎng)/江大橋

這兩個(gè)分詞，到底哪個(gè)更靠譜呢越平？

顯然這個(gè)思想還可以推廣到機(jī)器翻譯的領(lǐng)域频蛔，甚至是圖像識(shí)別灵迫、垃圾郵件過(guò)濾

圖像識(shí)別中的Bayes方法

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人面猴
序言：七十年代末，一起剝皮案震驚了整個(gè)濱河市晦溪，隨后出現(xiàn)的幾起案子瀑粥，更是在濱河造成了極大的恐慌，老刑警劉巖三圆，帶你破解...
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死咒
序言：濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件狞换，死亡現(xiàn)場(chǎng)離奇詭異，居然都是意外死亡嫌术，警方通過(guò)查閱死者的電腦和手機(jī)哀澈，發(fā)現(xiàn)死者居然都...
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救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
文/潘曉璐我一進(jìn)店門(mén)，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來(lái)度气，“玉大人，你說(shuō)我怎么就攤上這事膨报×准” “怎么了？”我有些...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 164,782評(píng)論 0贊 354
道士緝兇錄：失蹤的賣(mài)姜人
文/不壞的土叔我叫張陵现柠，是天一觀的道長(zhǎng)院领。經(jīng)常有香客問(wèn)我，道長(zhǎng)够吩，這世上最難降的妖魔是什么比然？我笑而不...
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?港島之戀（遺憾婚禮）
正文為了忘掉前任，我火速辦了婚禮周循，結(jié)果婚禮上强法，老公的妹妹穿的比我還像新娘。我一直安慰自己湾笛，他們只是感情好饮怯，可當(dāng)我...
茶點(diǎn)故事閱讀 67,733評(píng)論 6贊 392
惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來(lái)的
文/花漫我一把揭開(kāi)白布。她就那樣靜靜地躺著嚎研，像睡著了一般蓖墅。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上临扮，一...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 51,578評(píng)論 1贊 305
城市分裂傳說(shuō)
那天论矾，我揣著相機(jī)與錄音，去河邊找鬼杆勇。笑死贪壳，一個(gè)胖子當(dāng)著我的面吹牛，可吹牛的內(nèi)容都是我干的靶橱。我是一名探鬼主播寥袭，決...
沈念sama閱讀 40,320評(píng)論 3贊 418
雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開(kāi)眼路捧，長(zhǎng)吁一口氣：“原來(lái)是場(chǎng)噩夢(mèng)啊……” “哼！你這毒婦竟也來(lái)了传黄？” 一聲冷哼從身側(cè)響起杰扫，我...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 39,241評(píng)論 0贊 276
萬(wàn)榮殺人案實(shí)錄
序言：老撾萬(wàn)榮一對(duì)情侶失蹤，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎膘掰，沒(méi)想到半個(gè)月后章姓，有當(dāng)?shù)厝嗽跇?shù)林里發(fā)現(xiàn)了一具尸體，經(jīng)...
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?護(hù)林員之死
正文獨(dú)居荒郊野嶺守林人離奇死亡识埋，尸身上長(zhǎng)有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
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?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年凡伊，在試婚紗的時(shí)候發(fā)現(xiàn)自己被綠了。大學(xué)時(shí)的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片窒舟。...
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活死人
序言：一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡系忙，死狀恐怖，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出惠豺，到底是詐尸還是另有隱情银还，我是刑警寧澤，帶...
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?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布洁墙，位于F島的核電站蛹疯，受9級(jí)特大地震影響，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏热监。R本人自食惡果不足惜捺弦，卻給世界環(huán)境...
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男人毒藥：我在死后第九天來(lái)索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望孝扛。院中可真熱鬧列吼，春花似錦、人聲如沸疗琉。這莊子的主人今日做“春日...
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一樁弒父案，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽(yáng)盈简。三九已至凑耻，卻和暖如春，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間柠贤，已是汗流浹背香浩。一陣腳步聲響...
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情欲美人皮
我被黑心中介騙來(lái)泰國(guó)打工，沒(méi)想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留臼勉，地道東北人邻吭。一個(gè)月前我還...
沈念sama閱讀 48,173評(píng)論 3贊 370
代替公主和親
正文我出身青樓，卻偏偏與公主長(zhǎng)得像宴霸，于是被迫代替她去往敵國(guó)和親囱晴。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子膏蚓，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 44,947評(píng)論 2贊 355

1.6 全概率公式與Bayes公式