首先再回顧一下之前的高斯迭代裙盾，就拿T22舉例绞愚，由于計(jì)算是按著從左向右朱巨，從下向上的方向????進(jìn)行的史翘，所以計(jì)算T22的時(shí)候，就可以拿剛剛計(jì)算出來(lái)的T12和T21來(lái)計(jì)算T22蔬崩，如果說(shuō)最后結(jié)果是收斂的恶座，那么計(jì)算出來(lái)的T22會(huì)更接近于最終值。

對(duì)比常規(guī)的Jacobi的思想沥阳，可以發(fā)現(xiàn)高斯迭代的方法有這么一個(gè)特點(diǎn)：“在同一個(gè)迭代步內(nèi)跨琳，邊界條件向計(jì)算域傳播的更快⊥┖保”也正是這一個(gè)特點(diǎn)造成了高斯迭代的收斂快于Jacobi迭代脉让。

????通過(guò)公式了解一下這句話(huà)，首先是Jacobi迭代：

這是Guass迭代：

首先討論Jacobi迭代下：在同一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)功炮，不同的迭代次數(shù)下溅潜，受影響的位置是“一圈一圈”向內(nèi)傳播的。

可以把這種影響想象成波薪伏！內(nèi)部節(jié)點(diǎn)因?yàn)橛谐跏紬l件的制約滚澜，開(kāi)始不受到外部邊界的影響，這種影響是從邊界向內(nèi)部傳播的嫁怀。

在分析Guass-Seidel迭代：

同時(shí)也只考慮一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)设捐，在一次迭代過(guò)程中計(jì)算場(chǎng)每一個(gè)點(diǎn)的溫度計(jì)算都受到了控制體左側(cè)和下側(cè)控制體的影響，也就是說(shuō)在一個(gè)迭代步內(nèi)塘淑，左側(cè)和下側(cè)的影響就傳遍了整個(gè)計(jì)算域萝招；但是上面和右面的控制體在計(jì)算域中第一次迭代的影響卻還是一步一步。

第一次迭代影響方向用粉色表示：第二次影響方向用藍(lán)色表示存捺；

第一迭代：

第二次迭代：

這個(gè)時(shí)候槐沼，我們?cè)賮?lái)考慮一下這句話(huà)：“在同一個(gè)迭代步內(nèi)，邊界條件向計(jì)算域傳播的更快捌治「诠常”這也就從邊界影響傳播速度的角度解釋了為什么Guass迭代要快于Jacobi迭代。

1.線(xiàn)迭代

參考之前的（1）-（2）式肖油，給出線(xiàn)迭代的公式：

從公式上開(kāi)看兼吓，這和Guass迭代差不多，影響都是從兩邊一次迭代就傳遍了整個(gè)計(jì)算域构韵，剩下兩邊只能一格一格的傳遞影響周蹭。即：左側(cè)和右側(cè)均使用新迭代步的值趋艘，上下側(cè)使用上一個(gè)迭代步的值。

因?yàn)槊恳恍猩鲜鞘褂昧诵碌降闹敌桌剩栽诿恳恍芯涂梢员硎境扇龑?duì)角矩陣瓷胧，有了三對(duì)角矩陣就意味著可以用TDMA算法，所以這個(gè)計(jì)算方法又是一個(gè)新的方法：ADI算法棚愤。

照貓畫(huà)虎搓萧，這是左右的影響一迭代步傳遍全場(chǎng)，當(dāng)然一步上下全場(chǎng)也是可以的宛畦！

2.ADI迭代

這里瘸洛，在對(duì)（3）做進(jìn)一步修改：

這樣就得到了“隱式線(xiàn)迭代”。

想想也知道次和，（4）隱式線(xiàn)迭代可以做到一個(gè)迭代步內(nèi)x軸雙方向全場(chǎng)反肋，y方向單方向全場(chǎng)，所以這個(gè)隱式線(xiàn)迭代也叫做“x方向隱式線(xiàn)迭代”踏施。這就有意思了石蔗，高斯因?yàn)橛袃蓚€(gè)面是一迭代步影響遍布全場(chǎng)，就比Jacobi迭代快畅形，那么隱格式線(xiàn)迭代有三個(gè)面的影響單步遍全場(chǎng)养距，它的迭代絕對(duì)是快于高斯迭代的！

既然有“x方向隱式線(xiàn)迭代”日熬，那就必定有“y方向隱式線(xiàn)迭代”棍厌，它的表達(dá)式，可以寫(xiě)成：

（5）隱式線(xiàn)迭代可以做到一個(gè)迭代步內(nèi)y軸雙方向全場(chǎng)竖席，x方向單方向全場(chǎng)耘纱。

現(xiàn)在觀察（4）-（5）式子，可以發(fā)現(xiàn)不管是x方向隱式線(xiàn)迭代還是y方向隱式線(xiàn)迭代怕敬，

??????三面影響單步遍全場(chǎng)揣炕，總有那么一個(gè)方向的影響是一步一步傳遞的帘皿。譬如：x方向隱式線(xiàn)迭代东跪，上側(cè)的影響就是一步一步傳遞的；y方向隱式線(xiàn)迭代鹰溜，右側(cè)的影響就是一步一步傳遞的虽填。

現(xiàn)在這么想，如果我們?cè)谝粋€(gè)迭代步中曹动，先進(jìn)行一次x方向隱式線(xiàn)迭代（此時(shí)上側(cè)的影響還是一步一步）斋日，緊接著進(jìn)行一次y方向隱式線(xiàn)迭代（這樣就保證了上方向也可以單次迭代影響遍全場(chǎng)）。把這種操作就叫做交替方向隱式線(xiàn)迭代墓陈，ADI迭代恶守。

這個(gè)ADI迭代第献，對(duì)于一個(gè)未知的問(wèn)題，也許利用x方向隱式線(xiàn)迭代需要10次兔港，利用y方向隱式線(xiàn)迭代需要20次庸毫，此時(shí)，ADI迭代綜合了這兩種迭代衫樊，需要n次就可以達(dá)到收斂效果飒赃，這里n介于10和20。所以科侈，ADI迭代不能減少計(jì)算量载佳，但是對(duì)于未知問(wèn)題，它可以很好的平衡x方向隱式線(xiàn)迭代和y方向隱式線(xiàn)迭代的計(jì)算量臀栈，所以通用性較強(qiáng)蔫慧。