1.?數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程猶如一場(chǎng)馬拉松比賽弹渔。我們今天的課程，帶領(lǐng)大家從另一個(gè)視角來(lái)探尋他們的美妙之處驼唱。微積分（Calculus）是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分（Differentiation）烧董、積分（Integration）以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支督暂。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限皇拣、微分學(xué)严蓖、積分學(xué)及其應(yīng)用。
我們先來(lái)做個(gè)小調(diào)查氧急，經(jīng)過(guò)這些年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)颗胡，你們對(duì)數(shù)學(xué)有什么感受？抽象吩坝，神奇等等毒姨。那我們今天，希望帶領(lǐng)大家探尋所學(xué)知識(shí)點(diǎn)背后的來(lái)龍去脈钉寝，了解了每一個(gè)問(wèn)題所處的時(shí)代背景弧呐，就會(huì)明白每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)的背后闸迷，都有無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家的心血。這樣也就不會(huì)感受到數(shù)學(xué)是枯燥的俘枫。
2.?我們今天圍繞著微分和積分展開(kāi)腥沽，具體而言微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論鸠蚪。它使得函數(shù)今阳、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論茅信。積分學(xué)盾舌，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積汹押、體積等提供一套通用的方法矿筝。
3.?首先，我們來(lái)看第一部分棚贾，這部分我們著重探討三個(gè)問(wèn)題窖维。
4.?首先做個(gè)小調(diào)查
我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)微積分呢？咱們小學(xué)和中學(xué)階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)是不是已經(jīng)夠我們?nèi)粘Ｉ钪杏昧嗣畋裕看蠹铱梢哉f(shuō)說(shuō)小學(xué)階段都學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)嗎铸史？對(duì)的，我們還是在算數(shù)的范圍內(nèi)怯伊，這是我們?nèi)祟?lèi)幾萬(wàn)年的知識(shí)琳轿。中學(xué)階段，我們學(xué)習(xí)了代數(shù)耿芹，字母表示數(shù)崭篡，一些初步的方程和函數(shù)，這是我們?nèi)祟?lèi)幾千年的知識(shí)成果吧秕。
請(qǐng)大家看看這幾個(gè)實(shí)際問(wèn)題能不能用中學(xué)的知識(shí)解決呢琉闪？
(1)?求變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，比如行星橢圓軌跡運(yùn)行時(shí)的瞬時(shí)速度砸彬。我們回到求解瞬時(shí)速度的問(wèn)題颠毙，大家說(shuō)說(shuō)我們可以通過(guò)什么方法求解呢？是不是讓時(shí)間逐漸減小砂碉，那么這一過(guò)程就是稱(chēng)為取極限的過(guò)程
(2)?求曲線上的某個(gè)點(diǎn)的切線蛀蜜，比如望遠(yuǎn)鏡設(shè)計(jì)時(shí)要確定透鏡曲面的法線。而法向與切線垂直增蹭，因此先確定切線的方向滴某。
(3)?求函數(shù)的最大、最小值，比如計(jì)算炮彈的最大射程壮池。
那么這些涉及到描述變化和運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題偏瓤，僅用我們學(xué)習(xí)過(guò)的算數(shù)和代數(shù)問(wèn)題就無(wú)法解決了，微分（Differentiation）椰憋、積分（Integration）可以幫助我們理解和解決類(lèi)似的問(wèn)題厅克。另外、微積分也為物理橙依、化學(xué)证舟、地理和金融提供了有用的研究工具。
5.?微分（Differentiation）窗骑、積分（Integration）女责，這其中包含的具體思想有哪些？對(duì)的创译，極限思想和分解思想抵知，當(dāng)我們的時(shí)間取得很小，就可以計(jì)算相應(yīng)的瞬時(shí)速度软族，這就用到了極限的思想刷喜。而計(jì)算曲邊圖形的面積時(shí)，我們將其分解為多個(gè)曲邊梯形(trapezoid with curved edge)的面積之和立砸，這就用到了分解和極限思想掖疮。
6.?我們看看堪遂，在實(shí)際生活中妈拌，是不是會(huì)用到微分（Differentiation）、積分（Integration）以及極限和分解思想（limit and decomposition thinking）呢概荷？這里展示的是有限元軟件模擬出了飛機(jī)飛行時(shí)螺戳，機(jī)翼的振動(dòng)搁宾，汽車(chē)撞擊實(shí)驗(yàn)和橋梁受載的情況。大家想想我們是如何用電腦去模擬飛機(jī)倔幼、汽車(chē)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)環(huán)境呢盖腿？大家觀察這些圖，看看能夠發(fā)現(xiàn)什么凤藏？
我們是用數(shù)量足夠多的微元體，來(lái)逼近真實(shí)的飛機(jī)結(jié)構(gòu)堕伪，以了解飛機(jī)揖庄、汽車(chē)、橋梁在受力過(guò)程中的承載性能欠雌。我們都可以借助這樣的思想來(lái)研究蹄梢，這會(huì)極大的節(jié)約成本，且可以?xún)?yōu)化結(jié)構(gòu)性能。
7.?大家有想過(guò)如何準(zhǔn)確模擬手機(jī)掉落在地上時(shí)的受力嗎禁炒？同樣根據(jù)前面的思想而咆，用無(wú)窮多的單元去逼近手機(jī)和地面，在進(jìn)行計(jì)算幕袱。手機(jī)摔落實(shí)驗(yàn)的模擬暴备，左端為沒(méi)有手機(jī)殼時(shí)，其受力情況们豌，這些模擬背后是什么呢涯捻？是用足夠多的網(wǎng)格近似逼近真實(shí)物體，當(dāng)需要精細(xì)捕捉的地方望迎，需要再次加細(xì)網(wǎng)格障癌，如右圖所示。即體現(xiàn)極限和分解思想（limit and decomposition thinking）辩尊。
8.?具體給大家一個(gè)例子涛浙，在需要精細(xì)描述的地方，我們可以按需要對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行不斷地細(xì)分摄欲。
9.?大家都接觸過(guò)現(xiàn)在很火且給我們生活帶來(lái)很大便利的人工智能轿亮。想想這些算法中是否會(huì)用到微分（Differentiation）、積分（Integration）呢蒿涎？
目前的人工智能更多是基于機(jī)器學(xué)習(xí)哀托，其中很多算法都需要微積分這個(gè)工具。相關(guān)概念有凸優(yōu)化劳秋、多元函數(shù)function of several variables仓手、偏導(dǎo)Partial derivative、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中反向傳播使用的鏈?zhǔn)椒▌t(chain rule)玻淑、用多項(xiàng)式逼近描述高階導(dǎo)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)Taylor series嗽冒、牛頓法、梯度下降法等等补履。當(dāng)然這些內(nèi)容就是和高階微積分相關(guān)的知識(shí)添坊。這也說(shuō)明，為了更好的適應(yīng)社會(huì)的發(fā)展箫锤，我們必須要把微積分學(xué)好贬蛙。
10.?好的，有了上面的應(yīng)用背景谚攒，大家是不是感受到學(xué)習(xí)calculus的迫切重要性阳准。那么，接下來(lái)馏臭，我們進(jìn)行微分（Differentiation）相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)野蝇。
11.?首先，咱們回想下課程開(kāi)始的問(wèn)題，如何計(jì)算瞬時(shí)速度绕沈。北京到上海的高鐵锐想，高鐵到站后，車(chē)廂中乍狐，往往會(huì)顯式當(dāng)前列車(chē)的速度是多少赠摇。此時(shí)顯示的為瞬時(shí)速度，但請(qǐng)大家仔細(xì)想想澜躺，速度等于路程除以時(shí)間蝉稳，此時(shí)，列車(chē)是停在站臺(tái)上的掘鄙，路程是零耘戚，時(shí)間也是零，怎么還能算出來(lái)速度呢操漠？
解決辦法：引入無(wú)窮小量收津，在非常短時(shí)間內(nèi)的路程。大家看看我們求平均速度的定義式和我們求解直線斜率的定義是不是一致浊伙？都是表示函數(shù)的變化量撞秋。
大家類(lèi)比著上述思想討論下，我們?nèi)绾斡?jì)算某一點(diǎn)處切線的斜率呢嚣鄙？或者說(shuō)求解切線斜率和這里考慮的瞬時(shí)速度有什么相同之處呢吻贿？
12.?大家看到，我們由平均速度求瞬時(shí)速度哑子，由割線的斜率求切線的斜率舅列，這都?xì)w結(jié)于求改變量之比的極限。我們接下來(lái)給出這種形式的極限的一般定義卧蜓。大家從我們這里的動(dòng)圖可以看出帐要，導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是：用割線的斜率代替切線的斜率。
不知道大家之前是否接觸過(guò)導(dǎo)數(shù)弥奸。我們看如何用定義計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)榨惠，這里給出一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。大家自己根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義算一下盛霎，看是否存在問(wèn)題赠橙？
這里，我們?cè)谔嵋幌赂唠A導(dǎo)數(shù)愤炸，例如期揪，二階導(dǎo)數(shù)是求兩次導(dǎo)數(shù)，就是對(duì)一階導(dǎo)數(shù)在求一次導(dǎo)數(shù)
13.?當(dāng)然摇幻，一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)經(jīng)過(guò)計(jì)算是有通用公式的横侦，我們不用每次計(jì)算都去推導(dǎo)一遍。這里就不詳細(xì)推導(dǎo)了绰姻。
同時(shí)枉侧，我們也會(huì)遇到函數(shù)的和、差狂芋、積榨馁、商的導(dǎo)數(shù)，他們的公式也在這里帜矾。這都是可以通過(guò)嚴(yán)格證明得到的翼虫。
另外，關(guān)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)屡萤，這也是需要大家能夠掌握的珍剑。這里有一個(gè)例子，大家可以試著算一下死陆。我們將其拆分為基本初等函數(shù)逐層復(fù)合而成的函數(shù)招拙。
我們做一個(gè)小練習(xí)，x^3的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)分別是多少措译？
14.?函數(shù)的單調(diào)性和最值（Monotonicity of functions and ）别凤。有一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形板。 現(xiàn)在领虹，從盤(pán)子的四個(gè)角上切下相同的小正方形规哪，制成一個(gè)沒(méi)有蓋子的長(zhǎng)方體容器。 為了使容積最大塌衰，截下的小正方形的邊長(zhǎng)為多少诉稍？
首先請(qǐng)大家根據(jù)問(wèn)題描述，列出問(wèn)題的式子猾蒂。我們可以看到這時(shí)候得到的函數(shù)并不方便畫(huà)出圖像均唉。那如何借助我們已有的數(shù)學(xué)工具來(lái)幫助我們呢？剛剛學(xué)到的導(dǎo)數(shù)能夠幫助我們嗎肚菠？我們回到導(dǎo)數(shù)的定義舔箭，來(lái)看看，導(dǎo)數(shù)能不能體現(xiàn)處函數(shù)的增減性呢蚊逢？根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義层扶，我們可以判斷出取到極值的點(diǎn)。
具體而言烙荷，大家從導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)看镜会，當(dāng)函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)的時(shí)候，我們計(jì)算出的導(dǎo)數(shù)值是大于零的终抽；而函數(shù)是減函數(shù)時(shí)戳表，我們計(jì)算的導(dǎo)數(shù)值為負(fù)數(shù)桶至。那么在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，就會(huì)取到極大值和極小值匾旭。簡(jiǎn)言之镣屹，導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，可能是函數(shù)的最大值或者最小值點(diǎn)价涝。
回到我們這里關(guān)心的問(wèn)題女蜈，我們想要讓體積達(dá)到最大值，
當(dāng)然色瘩，這里要注意伪窖，我們需要用到乘法導(dǎo)數(shù)公式，或者直接展開(kāi)各項(xiàng)求導(dǎo)居兆，都可以覆山。這里講到的知識(shí)點(diǎn)，大家都理解了嗎泥栖？
這時(shí)候汹买，就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)工具的強(qiáng)大性。當(dāng)然聊倔，這里只是一個(gè)簡(jiǎn)單的例子晦毙。
15.?從本質(zhì)上講，人工智能的目標(biāo)就是最優(yōu)化：在復(fù)雜環(huán)境與多體交互中做出最優(yōu)決策耙蔑。幾乎所有的人工智能問(wèn)題最后都會(huì)歸結(jié)為一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的求解见妒，因而最優(yōu)化理論同樣是人工智能必備的基礎(chǔ)知識(shí)。最優(yōu)化理論（optimization）研究的問(wèn)題是判定給定目標(biāo)函數(shù)的最大值（最小值）是否存在甸陌，并找到令目標(biāo)函數(shù)取到最大值（最小值）的數(shù)值须揣。同樣，我們要找到芯片上晶體管的最優(yōu)排列數(shù)目钱豁，以保證他們發(fā)揮最大的性能耻卡。
擴(kuò)展大家的視野，我們求極值牲尺，當(dāng)問(wèn)題可以用一元函數(shù)表示時(shí)卵酪，極值就是求一階導(dǎo)數(shù)。而用多元函數(shù)表述時(shí)谤碳，極值就是梯度溃卡。梯度是關(guān)于各個(gè)方向求導(dǎo)數(shù)。當(dāng)然蜒简，我們各種電子設(shè)備的芯片中晶體管數(shù)目如何排列瘸羡，也屬于最優(yōu)化問(wèn)題。
16.?問(wèn)題：如果你駕車(chē)在一條限速為100公里/小時(shí)的公路上行駛搓茬，監(jiān)控儀證明你在半個(gè)小時(shí)內(nèi)跑了60公里犹赖，那么警察會(huì)給你開(kāi)一張超速罰單嗎队他？大家說(shuō)說(shuō)看自己的想法和這樣想的原因，那如何用我們的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決呢峻村？
拉格朗日中值公式反映可導(dǎo)函數(shù)在[a,b]上整體平均變化率與在（a漱挎，b）內(nèi)某點(diǎn)處函數(shù)的局部變化率的關(guān)系。若從力學(xué)角度看雀哨，公式表示整體上的平均速度等于某一內(nèi)點(diǎn)處的瞬時(shí)速度。因此私爷；拉格朗日中值定理是聯(lián)結(jié)局部與整體的紐帶雾棺。
因?yàn)槠骄俣?20公里/小時(shí)，而根據(jù)中值定理平均速度等于某一內(nèi)點(diǎn)處的瞬時(shí)速度衬浑，所以你在半個(gè)小時(shí)內(nèi)的某一時(shí)刻一定是達(dá)到了120公里/小時(shí)〉100公里/小時(shí)捌浩，也就是超速了
17.?再給出一道計(jì)算題目。大家計(jì)算一下這道題目工秩，大家可以將這道題目尸饺，看作我們上面的問(wèn)題中，如何確定出你超速的那一時(shí)刻助币±颂看看是否有問(wèn)題。
微分中值定理在研究函數(shù)性態(tài)眉菱、討論方程的根迹栓、證明等式、證明不等式等方面都有應(yīng)用俭缓。
18.?上一部分克伊，我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念和如何求函數(shù)的極值，以及中值定理的應(yīng)用和計(jì)算华坦。接下來(lái)愿吹，我們進(jìn)入積分的學(xué)習(xí)。這部分分為四個(gè)小部分惜姐。積分的三種定義及其計(jì)算犁跪，變限積分的導(dǎo)數(shù)及其計(jì)算、微積分基本定理歹袁、旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算耘拇。
19.?大家都計(jì)算過(guò)很多面積，看圖片中的例子宇攻，是不是都有相應(yīng)的計(jì)算公式惫叛。針對(duì)規(guī)則的多邊形，我們可以通過(guò)逐漸將其劃分為三角形來(lái)計(jì)算逞刷。如果是邊為曲線時(shí)嘉涌，我們?cè)撊绾斡?jì)算呢妻熊？能不能找到類(lèi)似簡(jiǎn)單圖形的計(jì)算公式呢？大家有什么想法仑最？可以互相討論下扔役。看看都可以想出哪些辦法呢警医？
20.?同學(xué)提到了將圖形劃分亿胸，那我們來(lái)具體看看。
當(dāng)劃分的區(qū)間數(shù)逐漸增多時(shí)预皇，就可以近似表示曲邊梯形的面積了侈玄。我們來(lái)看一個(gè)具體的例子。區(qū)間為(0,a)吟温，我們將區(qū)間等間距的劃分為n等份序仙。這時(shí)候，我們來(lái)劃分矩形鲁豪，每一個(gè)小矩形寬就是a/n潘悼，那高取哪一個(gè)端點(diǎn)的數(shù)值呢？所以我們可以將端點(diǎn)分為兩類(lèi)爬橡。
21.?計(jì)算出每一個(gè)小矩形的面積治唤，再相加是不是就是我們需要的面積了，這里是分別以矩形的左端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為高糙申。我們利用矩形面積的計(jì)算公式肝劲，可以得到。大家自己寫(xiě)一些郭宝，如果以矩形的右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為高辞槐，此時(shí)面積是什么樣呢？大家想一想粘室，我們這兩種計(jì)算方法計(jì)算的面積一樣嗎榄檬？
當(dāng)然，這里只列出了兩種情況衔统。在計(jì)算每一個(gè)小矩形的面積時(shí)鹿榜，我們還可以取小區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為高。當(dāng)然計(jì)算中锦爵，要求大家會(huì)將區(qū)間劃分為3-4個(gè)區(qū)間舱殿，分別以小區(qū)間左端點(diǎn)、中點(diǎn)和右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為高险掀，近似計(jì)算面積沪袭。
22.?大家計(jì)算計(jì)算一下這個(gè)例子，看看是不是理解了這里的概念樟氢。這里的左黎曼和冈绊，就是我們說(shuō)到的用區(qū)間劃分的左端點(diǎn)做函數(shù)的高侠鳄。
23.?那么，計(jì)算曲邊圖形的面積死宣，有沒(méi)有一般公式呢伟恶？一般形式是什么樣呢？如圖所示毅该。我們的積分號(hào)就是拉長(zhǎng)了的求和符號(hào)s博秫。這里符號(hào)的意思分別是積分上限捉貌，積分下限紧卒，和積分區(qū)間肺素。大家想想椭盏，定積分的幾何意義是什么呢？是不是相當(dāng)于無(wú)窮多個(gè)矩形面積之和司倚。我們最終計(jì)算的是什么？面積
24.?看到用定積分的定義求定積分是非常復(fù)雜的，有時(shí)候無(wú)法求出積分的精確值寝殴。根據(jù)定積分的幾何意義(即求面積)，我們可以得到一些簡(jiǎn)單函數(shù)的積分值明垢。這時(shí)候蚣常，我們來(lái)看微分和積分有什么關(guān)系。
那么積分上限是定值痊银，如果是變化的函數(shù)抵蚊，大家想想此時(shí)的面積是多少？如果面積變化時(shí)溯革，依據(jù)定積分的幾何意義贞绳，此時(shí)的積分是多少，再求導(dǎo)數(shù)又是多少呢致稀？這就是微積分基本定理冈闭，
大家看看，對(duì)這個(gè)定理理解了嗎抖单？看看下面這個(gè)例子如何做
25.?我們來(lái)看看萎攒，導(dǎo)數(shù)和積分之間有什么關(guān)系，F(xiàn)函數(shù)是原函數(shù)矛绘，即F的導(dǎo)數(shù)是小f耍休。看下這個(gè)例子货矮。
26.?接下來(lái)羊精，我們看看積分在幾何中的應(yīng)用。大家討論下囚玫，花瓶?jī)?nèi)部體積如何計(jì)算
27.?如果一個(gè)平面繞著一條線旋轉(zhuǎn)园匹，所得到物體叫做旋轉(zhuǎn)體雳刺。通過(guò)剛才的例子，大家可以發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)體都是由二維平面旋轉(zhuǎn)得到的掖桦。我們看這里的示意圖枪汪，如果曲線繞著x軸旋轉(zhuǎn)，我們?nèi)〕雠cx軸垂直的面雀久，這個(gè)面可以看作圓趁舀，他的面積是 。將所有這些面積累加越庇，就可以得到我們需要的旋轉(zhuǎn)體的體積。大家試試看桑驱，這個(gè)簡(jiǎn)單的例子，如何計(jì)算悦析。
28.?關(guān)于積分部分的介紹就是這樣。接下來(lái)我們對(duì)所講的內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單的總結(jié)。
29.?我們主要關(guān)注微分和積分中的一些小知識(shí)點(diǎn)道媚，希望能夠引起大家對(duì)數(shù)學(xué)的興趣最域。
29.?我們主要關(guān)注微分和積分中的一些小知識(shí)點(diǎn)镀脂，希望能夠引起大家對(duì)數(shù)學(xué)的興趣沙兰。
30.?莫比烏斯帶也被用于工業(yè)制造鼎天。一種從莫比烏斯帶得到靈感的傳送帶能使用更長(zhǎng)的時(shí)間，因?yàn)榭梢愿玫睦谜麄€(gè)帶子罗岖，或者用于制造磁帶化借，可以承載雙倍的信息量
一張紙一定會(huì)有兩個(gè)面嗎铐炫？
實(shí)驗(yàn)1：任取一點(diǎn)倒信，開(kāi)始劃線，旋轉(zhuǎn)一周以后乘综，會(huì)回到原點(diǎn)。
實(shí)驗(yàn)2：沿著剛剛畫(huà)的中線剪開(kāi)九妈，不會(huì)剪短邊界宴树，反而會(huì)形成新的條帶
實(shí)驗(yàn)3：沿著三分之一剪開(kāi)
31.
時(shí)代在變，人工智能的發(fā)展不斷挑戰(zhàn)著人們對(duì)于傳統(tǒng)學(xué)科的思考。然而耐齐，拋開(kāi)知識(shí)點(diǎn)，良好的數(shù)學(xué)思維邏輯依然將是未來(lái)社會(huì)人才所必備的素質(zhì)辕翰。
解題即建立聯(lián)系。有人在解題的過(guò)程中壁榕，游刃有余，遇到障礙時(shí)牡辽，很容易找到克服障礙的工具或是找到繞過(guò)障礙的新路；有人卻顯得寸步維艱痰憎，一籌莫展铣耘。造成如此大區(qū)別的原因很多，有無(wú)足夠的數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)基本的原因。波利亞有一名言:?豐富而有條理的知識(shí)儲(chǔ)備是解題者的至寶吊骤。
你若想成為一名高手，就應(yīng)該盡量廣泛地吸收已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，經(jīng)常地總結(jié)整理鹃祖。這樣，在與具體問(wèn)題進(jìn)行“搏殺”時(shí)楷兽，隨時(shí)都能拿出有針對(duì)性的法寶端考，克敵制勝扶供。
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混知
精彩評(píng)論打開(kāi)百度APP查看更多評(píng)論
leettin1979
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梯度，勢(shì)，場(chǎng)丰榴，保守場(chǎng)。
07-08 03:01
回復(fù)
歷史中的未來(lái)[作者]：嗯呢，在大學(xué)或者研究生階段，這些都是非常重要的骨饿，不過(guò)這些對(duì)高中生稍有復(fù)雜
呂曠wLeM：對(duì),就是勢(shì)場(chǎng),我把他和場(chǎng)的關(guān)系搞混了
全部4條評(píng)論?
望秋月2010
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數(shù)學(xué)太抽象太難學(xué)了，壓根沒(méi)有幾個(gè)人能學(xué)好數(shù)學(xué)。對(duì)于90%以上的人來(lái)說(shuō)贴汪，終其一生所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)不會(huì)超過(guò)小學(xué)三年級(jí)
43分鐘前
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歷史中的未來(lái)[作者]：的確是
許嘉欣Gx
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轉(zhuǎn)發(fā)了
9小時(shí)前
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枝椏3l
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知識(shí)少看不了。
13分鐘前
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校尉鞋墊036
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垂直x軸也可能是半圓
12小時(shí)前
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頁(yè)面到底了
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