問一個基本的問題。

負數(shù)在計算機中如何表示涉茧？

舉例來說，+8在計算機中表示為二進制的1000疹娶，那么-8怎么表示呢伴栓？

很容易想到，可以將一個二進制位（bit）專門規(guī)定為符號位雨饺，它等于0時就表示正數(shù)钳垮，等于1時就表示負數(shù)。比如额港，在8位機中饺窿，規(guī)定每個字節(jié)的最高位為符號位。那么移斩，+8就是00001000肚医，而-8則是10001000。

但是向瓷，隨便找一本《計算機原理》肠套，都會告訴你，實際上猖任，計算機內(nèi)部采用2的補碼（Two's Complement）表示負數(shù)你稚。

什么是2的補碼？

它是一種數(shù)值的轉換方法朱躺，要分二步完成：

第一步刁赖，每一個二進制位都取相反值，0變成1长搀，1變成0宇弛。比如，00001000的相反值就是11110111源请。

第二步枪芒，將上一步得到的值加1轿钠。11110111就變成11111000。

所以病苗，00001000的2的補碼就是11111000。也就是說症汹，-8在計算機（8位機）中就是用11111000表示硫朦。

不知道你怎么看，反正我覺得很奇怪背镇，為什么要采用這么麻煩的方式表示負數(shù)咬展，更直覺的方式難道不好嗎？

昨天瞒斩，我在一本書里又看到了這個問題破婆，然后就花了一點時間到網(wǎng)上找資料，現(xiàn)在總算徹底搞明白了胸囱。

2的補碼的好處

首先祷舀，要明確一點。計算機內(nèi)部用什么方式表示負數(shù)烹笔，其實是無所謂的裳扯。只要能夠保持一一對應的關系，就可以用任意方式表示負數(shù)谤职。所以饰豺，既然可以任意選擇，那么理應選擇一種最方便的方式允蜈。

2的補碼就是最方便的方式冤吨。它的便利體現(xiàn)在，所有的加法運算可以使用同一種電路完成饶套。

還是以-8作為例子漩蟆。

假定有兩種表示方法。一種是直覺表示法凤跑，即10001000爆安；另一種是2的補碼表示法，即11111000仔引。請問哪一種表示法在加法運算中更方便扔仓？

隨便寫一個計算式，16 + (-8) = ?

16的二進制表示是 00010000咖耘，所以用直覺表示法翘簇，加法就要寫成：

０００１００００
＋１０００１０００
－－－－－－－－－
　１００１１０００

可以看到儿倒，如果按照正常的加法規(guī)則版保，就會得到10011000的結果呜笑，轉成十進制就是-24。顯然彻犁，這是錯誤的答案叫胁。也就是說，在這種情況下汞幢，正常的加法規(guī)則不適用于正數(shù)與負數(shù)的加法驼鹅，因此必須制定兩套運算規(guī)則，一套用于正數(shù)加正數(shù)森篷，還有一套用于正數(shù)加負數(shù)输钩。從電路上說，就是必須為加法運算做兩種電路仲智。

現(xiàn)在买乃，再來看2的補碼表示法。

０００１００００
＋１１１１１０００
－－－－－－－－－
１００００１０００

可以看到钓辆，按照正常的加法規(guī)則剪验，得到的結果是100001000。注意前联，這是一個9位的二進制數(shù)碉咆。我們已經(jīng)假定這是一臺8位機，因此最高的第9位是一個溢出位蛀恩，會被自動舍去疫铜。所以，結果就變成了00001000双谆，轉成十進制正好是8壳咕，也就是16 + (-8) 的正確答案。這說明了顽馋，2的補碼表示法可以將加法運算規(guī)則谓厘，擴展到整個整數(shù)集，從而用一套電路就可以實現(xiàn)全部整數(shù)的加法寸谜。

2的補碼的本質

在回答2的補碼為什么能正確實現(xiàn)加法運算之前竟稳，我們先看看它的本質，也就是那兩個步驟的轉換方法是怎么來的熊痴。

要將正數(shù)轉成對應的負數(shù)他爸，其實只要用0減去這個數(shù)就可以了。比如果善，-8其實就是0-8诊笤。

已知8的二進制是00001000，-8就可以用下面的式子求出：

００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－

因為00000000（被減數(shù)）小于0000100（減數(shù)）巾陕，所以不夠減讨跟。請回憶一下小學算術纪他，如果被減數(shù)的某一位小于減數(shù)，我們怎么辦晾匠？很簡單茶袒，問上一位借1就可以了。

所以凉馆，0000000也問上一位借了1弹谁，也就是說，被減數(shù)其實是100000000句喜，算式也就改寫成：

１００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
　１１１１１０００

進一步觀察沟于，可以發(fā)現(xiàn)100000000 = 11111111 + 1咳胃，所以上面的式子可以拆成兩個：

１１１１１１１１
－００００１０００
－－－－－－－－－
　１１１１０１１１
＋０００００００１
－－－－－－－－－
】跆１１１１１０００

2的補碼的兩個轉換步驟就是這么來的展懈。

為什么正數(shù)加法適用于2的補碼？

實際上供璧，我們要證明的是存崖，X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的2的補碼完成。

Y的2的補碼等于(11111111-Y)+1睡毒。所以来惧，X加上Y的2的補碼，就等于：

X + (11111111-Y) + 1

我們假定這個算式的結果等于Z演顾，即 Z = X + (11111111-Y) + 1

接下來供搀，分成兩種情況討論。

第一種情況钠至，如果X小于Y葛虐，那么Z是一個負數(shù)。這時棉钧，我們就對Z采用2的補碼的逆運算屿脐，求出它對應的正數(shù)絕對值，再在前面加上負號就行了宪卿。所以的诵，

Z = -[11111111-(Z-1)] = -[11111111-(X + (11111111-Y) + 1-1)] = X - Y

第二種情況，如果X大于Y佑钾，這意味著Z肯定大于11111111奢驯，但是我們規(guī)定了這是8位機，最高的第9位是溢出位次绘，必須被舍去瘪阁，這相當于減去100000000撒遣。所以，

Z = Z - 100000000 = X + (11111111-Y) + 1 - 100000000 = X - Y

這就證明了管跺，在正常的加法規(guī)則下义黎，可以利用2的補碼得到正數(shù)與負數(shù)相加的正確結果。換言之豁跑，計算機只要部署加法電路和補碼電路廉涕，就可以完成所有整數(shù)的加法。

文章轉載自：http://www.ruanyifeng.com/blog/2009/08/twos_complement.html