測度空間(measure space)

測度空間一般記作 $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ 裸影，其中 $\Omega$ 為樣本空間(sample space)挣轨， $\mathcal{F}$ 為一個 $\sigma$ -域( $\sigma$ -field)， $\mu$ 為測度(measure)轩猩，下面將分別介紹這個三元組每一部分的具體含義卷扮。

一荡澎、樣本空間

樣本空間 $\Omega$ 為一個集合，在統(tǒng)計學(xué)中画饥， $\Omega$ 中的每一個元素 $\omega$ 都是一個結(jié)果(outcome)衔瓮。所以我們可以將所有的 $\omega\in\Omega$ ，看作我們研究的過程中的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的集合抖甘。

樣本空間可以為任意形式的集合，例如：

????· $\Omega=\{H,T\}$ 葫慎，其中 $H$ 代表硬幣的正面衔彻， $T$ 代表硬幣的反面；

????· $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ 偷办，代表骰子六個面的數(shù)字艰额；

????· $\Omega=[0,1]$ ，代表0到1間的任意一個數(shù)字

事件(event) $A$ 為樣本空間 $\Omega$ 的一個子集椒涯，它表示一系列結(jié)果的集合柄沮。這里事件 $A$ 發(fā)生，表示一次實驗結(jié)果 $\omega$ 落在了 $A$ 中废岂，即 $\omega\in A$ 祖搓，而不是事件 $A$ 中的所有結(jié)果都出現(xiàn)了。所以全集 $\Omega$ 表示這次試驗中出現(xiàn)的任何一個結(jié)果湖苞，而不是所有的結(jié)果都發(fā)生了拯欧。事件的交集和集合的交集在理解上是有區(qū)別的。

二财骨、 $\sigma$ -域

定義 2.1 域(field) $\mathcal{F}$ 為樣本空間 $\Omega$ 上的事件的集合镐作，它滿足：

????(1) $\Omega\in\mathcal{F}$ ；

????(2)若 $A\in\mathcal{F}$ 隆箩，則 $A^c\in\mathcal{F}$ 该贾；

????(3)若 $A,B\in\mathcal{F}$ ，則 $A\cup B\in\mathcal{F}$

直觀來說，域 $\mathcal{F}$ 為一些事件的集合矿筝。全集 $\Omega$ 表示所有的結(jié)果宙项，因為我們總可以觀察到一些結(jié)果，所以 $\Omega\in\mathcal{F}$ 六荒；如果 $A\in\mathcal{F}$ ，即我們?nèi)绻苡^察到 $A$ 發(fā)生矾端，那么我們就也能觀察到 $A$ 未發(fā)生掏击，即 $A^c\in\mathcal{F}$ ；如果 $A,B \in\mathcal{F}$ 秩铆，即如果我們能分別觀察到 $A$ 發(fā)生或 $B$ 發(fā)生砚亭，那么我們也就能觀察到 $A$ 或 $B$ 發(fā)生灯变，即 $A\cup B\in\mathcal{F}$ 。

同理捅膘，我們也應(yīng)該能觀察到 $A$ 和 $B$ 同時發(fā)生添祸，即 $A\cap B\in\mathcal{F}$ ：

證明：????首先? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $A\cap B=(A^c\cup B^c)^c$

? ? ? ? ? ? ? ?由 $A,B\in\mathcal{F}$ ，得到? ? ? ? ? ? ? ? ?? $A^c,B^c\in\mathcal{F}$

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $\implies A^c\cup B^c\in\mathcal{F}$

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $\implies (A^c\cup B^c)^c\in\mathcal{F}$

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $\implies A\cap B\in\mathcal{F}$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $\square$

根據(jù)定義寻仗， $\mathcal{F}=\{\emptyset,\Omega\}$ 是 $\Omega$ 上最小的域刃泌。

在統(tǒng)計學(xué)中，當(dāng) $\Omega$ 中的元素由無限個時署尤，我們有時需要考慮一些例如 $\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i,A_i\in\mathcal{F}$ 耙替，這樣的事件，所以便引入了 $\sigma$ -域：

定義 2.2 稱 $\mathcal{F}$ 為 $\Omega$ 上的一個 $\sigma$ -域曹体，若 $\mathcal{F}$ 滿足：

? ? (1) $\Omega\in\mathcal{F}$ 俗扇；

????(2)若 $A\in\mathcal{F}$ ，則 $A^c\in\mathcal{F}$ 箕别；

????(3)若 $A_1,A_2,\dots\in\mathcal{F}$ 铜幽，則 $\bigcup_{i=1}^{\infty}Ai\in\mathcal{F}$

Borel? $\sigma$ -域 $\mathcal{B}_{[0,1)}$ 是包含[0,1)上所有開集的最小 $\sigma$ -域。其中[a,b]串稀，(a,b)除抛，[a,b)，(a,b]形式的區(qū)間均為 $\mathcal{B}_{[0,1)}$ 中的元素厨诸，可通過交镶殷，并，補等運算獲得微酬。

$\sigma$ -域和普通域的區(qū)別在于定義中的(3)绘趋，普通的域只對有限并的運算封閉，而 $\sigma$ -域可以對可數(shù)并運算封閉颗管，比如實數(shù)集上的有限子集和全集構(gòu)成的域就是一個不是 $\sigma$ -域的域陷遮。該域中的有限集的有限并還是有限集，仍在該域中了垦江；但是可數(shù)并就是一個可數(shù)集帽馋，不在該域中了。

若要證明 $\sigma$ -域是一個域比吭，只需證明：

? ? ? ? ? ? ?若 $A_1,A_2,\dots\in\mathcal{F}$ 绽族，則 $\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\in\mathcal{F}\implies$ 若 $A,B\in\mathcal{F}$ ，則 $A\cup B\in\mathcal{F}$

證明：? ? 令 $A_1=A,A_2=B,A_j=\emptyset,\forall j>2$ 衩藤，

? ? ? ? ? ? ? ?則 $\bigcup_{i=1}^{\infty}Ai=A\cup B$

? ? ? ? ? ? ? ?因為對于 $\forall i>0,A_i\in\mathcal{F}$ 吧慢，所以有 $\bigcup_{i=1}^{\infty}Ai=A\cup B\in\mathcal{F}$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $\square$

三、測度

定義 3.1 稱二元組 $(\Omega,\mathcal{F})$ 為一個可測空間(measurable space)赏表，其中 $\Omega$ 為一個樣本空間检诗， $\mathcal{F}$ 為 $\Omega$ 上的一個 $\sigma$ -域匈仗。

定義 3.2 給定一個可測空間 $(\Omega,\mathcal{F})$ ，定義測度 $\mu$ 為函數(shù) $\mu:\mathcal{F}\rightarrow [0,\infty]$ 逢慌，滿足：

? ? (1) $\mu(\emptyset)=0$ 悠轩；

????(2)對于互相不相交的(disjoint)任意事件 $A_1,A_2,\dots\in\mathcal{F}$ ，有

? ???????????????????????????????????????????????????? $\mu\Big(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\Big)=\sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_i)$

? ? 當(dāng) $\mu(\Omega)=1$ 時攻泼，稱 $\mu$ 為概率測度(probability measure)火架。

定義 3.3 稱三元組 $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ 為測度空間，其中 $(\Omega,\mathcal{F})$ 為一個可測空間忙菠， $\mu$ 為定義在 $(\Omega,\mathcal{F})$ 上的一個測度距潘。

直觀上講，測度是用來測量一個集合的度量(measure)或尺寸(size)的量只搁。稱 $\mu$ 為測度空間 $(\Omega,\mathcal{F})$ 上的測度，意思為 $\mu$ 可以為 $\mathcal{F}$ 中的所有元素測量一個尺寸俭尖；從另一個方向來說氢惋，任意一個事件 $A\in\mathcal{F}$ ，它是可以被測度 $\mu$ 度量的稽犁。對于互不相交的集合 $A_i\in\mathcal{F}$ 來說焰望，他們的并集的“尺寸”應(yīng)該等于他們分別的“尺寸”的和已亥。