亥姆霍茲方程

本篇討論波導(dǎo)中的齊次矢量亥姆霍茲方程。

從麥克斯韋方程組出發(fā)：

$\nabla\times \vec{E} = - \partial \vec{B}/\partial t$

$\nabla \times \vec{H}=\vec{J}+\partial\vec{D}/\partial t$

$\nabla \bullet \vec{D} = \rho$

$\nabla \bullet\vec{B}=0$

波導(dǎo)的條件：

均勻介質(zhì)，沒(méi)有源，即

$\vec{B}=\mu\vec{H}$

$\vec{D}=\varepsilon\vec{E}$

$\vec{J}=0$

$\rho=0$

推導(dǎo)：

由上述波導(dǎo)的條件腋逆，麥克斯韋方程組重寫為：

$\nabla\times \vec{E} = - \mu\partial \vec{H}/\partial t$

$\nabla \times \vec{H}=\varepsilon\partial\vec{E}/\partial t$

$\nabla\bullet\vec{D}=\nabla\bullet\vec{E}=0$

$\nabla \bullet\vec{B}=0$

E的旋度方程再取旋度，左邊為
$\nabla\times\nabla\times \vec{E} = \nabla(\nabla\bullet \vec{E})-\nabla^2\vec{E}=-\nabla^2\vec{E}$

右邊為 $- \mu\partial(\nabla\times \vec{H})/\partial t =- \mu\varepsilon\partial^2\vec{E}/\partial t^2$

得到： $\nabla^2\vec{E}- \mu\varepsilon\partial^2\vec{E}/\partial t^2 =0$

同樣地侈贷，E替換成H也滿足該方程惩歉。

時(shí)諧場(chǎng)情況：

$\nabla^2\vec{E}+\omega^2\mu\varepsilon\vec{E} =0$

令 $k^2=\omega^2\mu\varepsilon$ ,k是波數(shù)

$\nabla^2\vec{E}+k^2\vec{E} =0$

這就是齊次矢量亥姆霍茲方程。

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