直方圖均衡化

直方圖均衡化的介紹

直方圖均衡化是一種簡單有效的圖像增強(qiáng)技術(shù)，通過改變圖像的直方圖來改變圖像中各像素的灰度数冬，主要用于增強(qiáng)動態(tài)范圍偏小的圖像的對比度。原始圖像由于其灰度分布可能集中在較窄的區(qū)間撩鹿，造成圖像不夠清晰搅方。例如，過曝光圖像的灰度級集中在高亮度范圍內(nèi)刺覆，而曝光不足將使圖像灰度級集中在低亮度范圍內(nèi)严肪。采用直方圖均衡化，可以把原始圖像的直方圖變換為均勻分布（均衡）的形式谦屑，這樣就增加了像素之間灰度值差別的動態(tài)范圍驳糯，從而達(dá)到增強(qiáng)圖像整體對比度的效果。換言之氢橙，直方圖均衡化的基本原理是：對在圖像中像素個數(shù)多的灰度值（即對畫面起主要作用的灰度值）進(jìn)行展寬酝枢，而對像素個數(shù)少的灰度值（即對畫面不起主要作用的灰度值）進(jìn)行歸并，從而增大對比度悍手，使圖像清晰帘睦，達(dá)到增強(qiáng)的目的。舉個例子坦康，如圖1所示竣付，左圖為原始圖像，右圖為直方圖均衡化后的圖像滞欠。

直方圖的概念

對一幅灰度圖像古胆，其直方圖反映了該圖像中不同灰度級出現(xiàn)的統(tǒng)計情況。圖2給出了一個直方圖的示例筛璧，其中圖(a)是一幅圖像逸绎，其灰度直方圖可表示為圖(b)，其中橫軸表示圖像的各灰度級夭谤，縱軸表示圖像中各灰度級像素的個數(shù)棺牧。（需要注意，灰度直方圖表示了在圖像中各個單獨灰度級的分布沮翔，而圖像對比度則取決于相鄰近像素之間灰度級的關(guān)系陨帆。）

嚴(yán)格地說，圖像的灰度直方圖是一個一維的離散函數(shù)采蚀，可寫成：

$h(k)=n_{k} ,k=0,1,......L-1$

式中疲牵， $n_{k}$ 是圖像 $f(x,y)$ 中灰度級為 $k$ 的像素的個數(shù)。直方圖的每一列（稱為bin）的高度對應(yīng) $n_{k}$ 榆鼠。直方圖提供了原圖中各種灰度值分布的情況纲爸，也可以說直方圖給出了一幅圖像所有灰度值的整體描述。直方圖的均值和方差也是圖像灰度的均值和方差妆够。圖像的視覺效果與其直方圖有對應(yīng)關(guān)系识啦，或者說负蚊，直方圖的形狀和改變對圖像有很大的影響。

在直方圖的基礎(chǔ)上颓哮，進(jìn)一步定義歸一化的直方圖為灰度級出現(xiàn)的相對頻率 $P_{r} (k)$ 家妆。即：

$P_{r}(k)=n_{k}/N$

式中， $N$ 表示圖像 $f(x,y)$ 的像素的總數(shù)冕茅， $n_{k}$ 是圖像中灰度級為 $k$ 的像素的個數(shù)伤极。

直方圖均衡化的理論基礎(chǔ)

為討論方便起見，以 r 和 s 分別表示歸一化了的原圖像灰度和經(jīng)直方圖均衡化后的圖像灰度（因為歸一化了姨伤，所以 r 和 s 的取值在0到1之間）哨坪。當(dāng) r = s = 0時乍楚，表示黑色当编；當(dāng) r = s = 1時，表示白色徒溪；當(dāng) r, s ∈(0, 1)時忿偷，表示像素灰度在黑白之間變化。（所謂直方圖均衡化词渤，其實是根據(jù)直方圖對像素點的灰度值進(jìn)行變換牵舱，屬于點操作范圍串绩。換言之缺虐，即：已知r，求其對應(yīng)的s礁凡。）

在 [0,1] 區(qū)間內(nèi)的任何一個 r 高氮，經(jīng)變換函數(shù) T(r) 都可以產(chǎn)生一個對應(yīng)的 s ，且

$s=T(r)$

式中顷牌，T(r) 應(yīng)當(dāng)滿足以下兩個條件：

在 0 ≤ r ≤ 1 內(nèi)剪芍，T(r) 為單調(diào)遞增函數(shù)；（此條件保證了均衡化后圖像的灰度級從黑到白的次序不變）

在 0 ≤ r ≤ 1 內(nèi)有 0 ≤ T(r) ≤ 1窟蓝。（此條件保證了均衡化后圖像的像素灰度值在允許的范圍內(nèi)）

公式3的逆變換關(guān)系為：

$r=T^{-1}(s)$

式中罪裹， $T^{-1}(s)$ 對 s 同樣滿足上述的兩個條件。

由概率論可知运挫，如果已知隨機(jī)變量 r 的概率密度是 $p_{r} (r)$ ?状共，而隨機(jī)變量 s 是 r 的函數(shù)，則 s 的概率密度 $p_{s} (s)$ 可以由 $p_{r}(r)$ 求出谁帕。假定隨機(jī)變量 s 的分布函數(shù)用 $F_{s}(s)$ 表示峡继，根據(jù)分布函數(shù)的定義有

又因為概率密度函數(shù)是分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此上述公式兩邊對 s 求導(dǎo)可得：

從上述公式可以看出匈挖，通過變換函數(shù)?T(r) 可以控制圖像灰度級的概率密度函數(shù) $p_{s}(s)$ 碾牌，從而改善圖像的灰度層次康愤，這就是直方圖均衡化的理論基礎(chǔ)。

又有：從人眼視覺特性來考慮舶吗，一幅圖像的灰度直方圖如果是均勻分布的征冷，那么該圖像看上去效果比較好（參考岡薩雷斯數(shù)字圖像處理3.3節(jié)）。因此要做直方圖均衡化誓琼，這里的 $p_{s}(S)$ 應(yīng)當(dāng)是均勻分布的概率密度函數(shù)资盅。

由概率論知識可知，對于區(qū)間 [a,b]上的均勻分布踊赠，其概率密度函數(shù)等于 $\frac{1}{b-a}$ 呵扛。如果原圖像沒有進(jìn)行歸一化，即 $r\in [0, L-1]$ , 那么 $p_{s}(s)=\frac{1}{(L-1)-0}=\frac{1}{L-1}$ 筐带，歸一化之后 $r\in [0,1]$ 今穿，所以這里的 $p_{s}(s)=\frac{1}{1-0}=1$ 。

由概率密度公式可以知道 $p_{s}(s)ds=p_{r}(r)dr$ 伦籍，又因為 $p_{s}(s)=1$ 蓝晒，所以有 $ds=p_{r}(r)dr$ 。對這個式子兩邊積分得：

上式就是我們所求的變換函數(shù) $T(r)$ 帖鸦。它表明當(dāng)變換函數(shù) $T(r)$ 是原圖像直方圖的累積分布概率時芝薇，能達(dá)到直方圖均衡化的目的。

對于灰度級為離散的數(shù)字圖像作儿，用頻率來代替概率洛二，則變換函數(shù) $T(r_{k})$ 的離散形式可以表示為：

式中,? $0\leq r_{k}\leq 1,k=0,1,2...,L-1$ （注：這里的 $r_{k}=\frac{k}{L-1}$ ，表示歸一化后的灰度級攻锰；k表示歸一化前的灰度級）晾嘶。由上述公式可以知道，均衡化后各像素的灰度級 $s_{k}$ 可直接由原圖像的直方圖算出來娶吞。需要說明的是垒迂，這里的 $s_{k}$ 也是歸一化后的灰度級，其值在 0 到 1 之間妒蛇；有時需要將其乘以 $L-1$ 再取整机断，使其灰度級范圍在 0 到 L-1之間，與原圖像一致绣夺。

直方圖均衡化的缺點

如果一幅圖像整體偏暗或者偏亮吏奸，那么直方圖均衡化的方法很適用。但直方圖均衡化是一種全局處理方式乐导，它對處理的數(shù)據(jù)不加選擇苦丁，可能會增加背景干擾信息的對比度并且降低有用信號的對比度（如果圖像某些區(qū)域?qū)Ρ榷群芎茫硪恍﹨^(qū)域?qū)Ρ榷炔缓梦锉郏遣捎弥狈綀D均衡化就不一定適用）旺拉。此外产上，均衡化后圖像的灰度級減少，某些細(xì)節(jié)將會消失蛾狗；某些圖像（如直方圖有高峰）晋涣，經(jīng)過均衡化后對比度不自然的過分增強(qiáng)。針對直方圖均衡化的缺點沉桌，已經(jīng)有局部的直方圖均衡化方法出現(xiàn)谢鹊。

摘自：https://blog.csdn.net/qq_15971883/article/details/88699218