熬了幾個(gè)通宵褥符，終于把初中到大學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)梳理完了（學(xué)習(xí)算法必備數(shù)學(xué)知識(shí)）

作者簡介：阿里巴巴高級(jí)技術(shù)專家龙誊，一直關(guān)注前端和機(jī)器學(xué)習(xí)鄰域相關(guān)技術(shù)，在知乎和微信公眾號(hào)的“全棧深入”分享深度硬核技術(shù)文章喷楣。

在機(jī)器學(xué)習(xí)的過程中趟大，用到了很多算法知識(shí)，而算法中用到很多推導(dǎo)和計(jì)算铣焊，涉及到很多初中數(shù)學(xué)逊朽、高中數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)中的知識(shí)曲伊。在市面的機(jī)器學(xué)習(xí)書籍中叽讳，往往最基礎(chǔ)的代數(shù)運(yùn)行、多項(xiàng)式運(yùn)算、函數(shù)等沒有涉及岛蚤，這對(duì)很多畢業(yè)多年的人來說或數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好的人來說邑狸，在學(xué)習(xí)的過程中并不是很順暢。而市面也沒有一本數(shù)學(xué)大全將不同的數(shù)學(xué)知識(shí)涵蓋起來灭美。因此推溃，筆者梳理了人民教育出版社的初中數(shù)學(xué)昂利、高中數(shù)學(xué)届腐，同濟(jì)大學(xué)出版的高等數(shù)學(xué)中算法學(xué)習(xí)相關(guān)的16個(gè)知識(shí)點(diǎn)，方便學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)蜂奸。關(guān)注全棧深入公眾號(hào)并發(fā)送數(shù)學(xué) 到聊天窗口下載初中數(shù)學(xué)合集犁苏，高中數(shù)學(xué)合集PDF。

數(shù)學(xué)包括對(duì)數(shù)量（數(shù)論/算術(shù)）扩所、結(jié)構(gòu)（代數(shù)）围详、空間（幾何）、變化（分析）的研究祖屏，還包括邏輯助赞、集合、應(yīng)用數(shù)學(xué)等的研究袁勺。

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01雹食、初中數(shù)學(xué) - 數(shù)論中的數(shù)學(xué)概念

整數(shù)：正整數(shù)，0期丰，負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)
分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)群叶，負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)
有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)（rational number)
相反數(shù)：正負(fù)的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)(opposite number)
倒數(shù)：一個(gè)數(shù)x與其相乘為1的數(shù)，記為1/x钝荡，其中x!=0
無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)街立，包括正負(fù)無理數(shù)，如很多數(shù)的平方根或立方根是無理數(shù)埠通。如 $\sqrt 2, \sqrt[3] {3}$ 赎离。
實(shí)數(shù)：有理數(shù) + 無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。包括正實(shí)數(shù) + 負(fù)實(shí)數(shù)端辱。對(duì)應(yīng)平面上的橫軸蟹瘾。
虛數(shù)：將偶指數(shù)冪是負(fù)數(shù)的數(shù)定義為純虛數(shù)（形如a+bxi的數(shù)，其中a,b是實(shí)數(shù)掠手，且b≠0,i2=-1憾朴。a為實(shí)部，b為虛部）喷鸽，虛數(shù)無算術(shù)根众雷。對(duì)應(yīng)平面上的縱軸。
復(fù)數(shù)：實(shí)數(shù) + 虛數(shù)稱為復(fù)數(shù)。

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02砾省、初中數(shù)學(xué) - 整式乘法

1鸡岗、多項(xiàng)式相乘

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)编兄，再把所得的積相加轩性。

$(a+b)(p+q)=a(p+q) + b(p+q)$

$\Rightarrow ap + aq + bp + bq$

2、平方差公式

formula for the difference of squares：兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差的積狠鸳，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差揣苏。

$(a+b)(a-b) = a^2-b^2$

3、平方和公式

formula for the square of the sum：兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方件舵，等于他們的平方和卸察，加上（或減去）它們積的2倍。

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

4铅祸、因式分解

$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$
$a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$
$a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$

03坑质、初中數(shù)學(xué) - 一元二次方程

$ax^2 + bx = - c$
$\Rightarrow x^2 + \frac b a x = - \frac c a$
$\Rightarrow x^2 + \frac b a x + (\frac {2a})^2 = - \frac c a + (\frac 临梗 {2a})^2$
$\Rightarrow (x + \frac {2a})^2 = \frac {b^2-4ac} {4a^2}$
$\Rightarrow x =\pm \sqrt {\frac {b^2-4ac} {4a^2}} - \frac 盟庞 {2a}$
$\Rightarrow x=-b \pm \frac {\sqrt {b^2-4ac} } {2a}$
$\Rightarrow 得到兩個(gè)不相等的實(shí)根：x1=-b + \frac {\sqrt {b^2-4ac} } {2a} , \;\; x2=-b - \frac {\sqrt {b^2-4ac} } {2a}$

04吃沪、初中數(shù)學(xué) - 多項(xiàng)式

Polynomial,由稱為未知數(shù)的變量和稱為系數(shù)的常數(shù)通過有限次加減法、乘法以及自然數(shù)冪次的乘方運(yùn)算得到的代數(shù)表達(dá)式茫经。

單項(xiàng)式：僅由一項(xiàng)構(gòu)成的多項(xiàng)式稱為單項(xiàng)式
常數(shù)項(xiàng)：一項(xiàng)中不含未知數(shù)

示例
$x^{2} + 3x -4$ 為三項(xiàng)一元二次多項(xiàng)式
$x^{3} + 2y^2 -4z$ 為三項(xiàng)三元三次多項(xiàng)式

應(yīng)用
1巷波、多項(xiàng)式的加減乘除
2、多項(xiàng)式的矩陣乘除
3卸伞、因式分解
4抹镊、多項(xiàng)式方程、函數(shù)

05荤傲、高中數(shù)學(xué) - 集合

把對(duì)象稱為元素(element)垮耳，把元素組成的總體叫集合，簡稱集(set)遂黍。如果兩個(gè)集合的元素相同則兩個(gè)集合相等终佛。

a屬于集合記為： $a \in A$
a不屬于集合B記為： $a \notin B$

1、集合的表示

列舉法：把集合里的所有元素一一列舉出來雾家，并用 {} 括起來表示集合的方法铃彰。如：{a,b}
描述法：無法用列舉法表示的無窮個(gè)元素的集合，利用集合中元素的共同特征來表示的方法芯咧。如： $\{x \in R | x <10\}$

2牙捉、集合的關(guān)系

1）子集
對(duì)于兩個(gè)集合A和B竹揍，如果集合A中任意一個(gè)元素都是B中的元素，則稱集合A為B的子集邪铲。記作： $A \subseteq B$ 或 $B \supseteq A$

韋恩圖(Venn)：平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合芬位。

子集韋恩圖：[圖片上傳失敗...(image-9ede26-1623946356307)]

2）真子集
如果集合 $A \subseteq B$ ，但存在元素 $x \in B$ 带到，且 $x \notin A$ 昧碉，則稱集合A是集合B的真子集(proper subset)。記作： $A \subseteqq B$ 或 $A \supseteqq B$

3）空集
不包含任何元素的集合叫空集(empty set)揽惹。記作： $\varnothing$

3被饿、集合的基本運(yùn)算

1）并集
由所屬集合A及所屬集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集(union set)永丝，記作： $A \cup B$ 锹漱。即: $A \cup B = \{x | x \in A, 或 x \in B \}$
[圖片上傳失敗...(image-c8e11f-1623946356307)]

2）交集
由屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合箭养，稱為集合A與B的交集(intersection set)慕嚷，記作： $A \cap B$ 。即: $A \cap B = \{x | x \in A, 且 x \in B \}$
[圖片上傳失敗...(image-d61c47-1623946356307)]

3）全集
一個(gè)集合包含研究問題中涉及的所有元素毕泌，則該集合為全集(universe set)喝检，記作U。

4）補(bǔ)集
對(duì)于一個(gè)集合撼泛，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集(complementary set)挠说，記作： $C_{U}A$ ，即： $C_{U}A = \{x | x \in U, 且 x \notin A \}$
[圖片上傳失敗...(image-f443f3-1623946356307)]

06愿题、高中數(shù)學(xué) - 充要條件

1损俭、真命題

若p，則q潘酗，即由p可以推出q杆兵，記作： $p \Rightarrow q$ 。

p是q的充分條件(sufficient condition)
q是p的必要條件(necessary condition)

2仔夺、假命題

若p琐脏，不能得出q，即由p不能得出結(jié)論q缸兔。記作： $p \nRightarrow q$

3日裙、逆命題

“若p，則q” 中的條件p和結(jié)論q互換惰蜜，得到一個(gè)新的命題 “若q昂拂，則p”，則該命題為原命題的逆命題抛猖。

4格侯、充要條件

“若p路克，則q” 中的條件p和結(jié)論q互換，得到一個(gè)新的命題 “若q养交，則p”精算，均為真命題，即： $p \Leftarrow q$ 碎连，又 $q \Rightarrow p$ 灰羽，記作： $p \Leftrightarrow q$ 。

此時(shí) p即是q的充要條件鱼辙，也是q的必要條件廉嚼，則說p是q的充分必要條件，簡稱充要條件(sufficient adn necessary condition)

5倒戏、全稱量詞

短語 “所有的”怠噪、“任意一個(gè)” 在邏輯中通常叫做全稱量詞(universal proposition)。用符號(hào)： $\forall$ 表示杜跷。

含有全稱量詞的命題稱為全稱量詞命題(universal proposition)傍念。

對(duì)于M中任意一個(gè)x, p(x)成立，記作： $\forall x \in M, p(x)$

6葛闷、存在量詞

短語 “存在一個(gè)”憋槐，“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞(existential quantifier)，用符號(hào)： $\exists$ 表示淑趾。

含有存在量詞的命題稱為存在量詞命題(existential proposition)阳仔。

存在M中的元素x，p(x)成立扣泊，記作： $\exists x \in M, p(x)$

7近范、全稱量詞的否定

$\forall x \in M, p(x)$
否定：
$\exists x \in M, \lnot p(x)$

8、存在量詞的否定

$\exists x \in M, p(x)$
否定：
$\forall x \in M, \lnot p(x)$

07延蟹、高中數(shù)學(xué) - 函數(shù)

函數(shù)是刻畫變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型和工具评矩。

設(shè)A,B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x等孵，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f, 在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)稚照，則稱f: $a \rightarrow B$ 為從集合A到B的一個(gè)函數(shù)(function)。記作： $y=f(x), x \in A$

其中：

x:自變量
x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域(domain)
與x值對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值俯萌，也是函數(shù)的值域(range)果录。即 $\{f(x)|x \in A\}$

1乡革、開閉區(qū)間

研究函數(shù)時(shí)常會(huì)用到區(qū)間的概念侠姑，設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),而且a<b

(1)滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間,表示為[a,b]
(2)滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間,表示為(a,b)
(3)滿足不等式a≤x<b或a<x≤b的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間,分別表示為[a,b),(a,b].

實(shí)數(shù)a與b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)這些區(qū)間的幾何表示如下所示，在數(shù)軸表示時(shí),用實(shí)心點(diǎn)表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn),用空心點(diǎn)表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)烘跺。實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(-∞,+∞),"∞”讀作"無窮大”,"-∞”讀作"負(fù)無窮大”,”讀作"正無窮大”
[圖片上傳失敗...(image-e7fc9b-1623946356307)]

2棋恼、函數(shù)的表示

坐標(biāo)線

3返弹、單調(diào)性與最大值锈玉、最小值

單調(diào)性：利用函數(shù)圖像研究函數(shù)值隨自變量的增大而增大（或減少）的性質(zhì)叫函數(shù)的單調(diào)性。
單調(diào)遞增：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮 ,區(qū)間D是I的真子集义起。如果Vx1,x2∈D,當(dāng)x1 < x2時(shí), 都有 f(x1) < f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增拉背。
增函數(shù)：當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí),我們就稱它是增函數(shù)(increase function)
單調(diào)遞減：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮 ,區(qū)間D是I的真子集。如果Vx1,x2∈D,當(dāng)x1 > x2時(shí), 都有 f(x1) > f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減默终。
減函數(shù)：當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí),我們就稱它是減函數(shù)(increase function)
單調(diào)區(qū)間：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減, 那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間
最大值：
設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足 (1)Vx∈I ,都有f(x)≤M; (2)彐x0∈I,使得f(x0)=M 則M是函數(shù)y=f(x)的最大值( maximum value).
最小值：
設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足 (1)Vx∈I ,都有f(x)>=M; (2)彐x0∈I,使得f(x0)=M 則M是函數(shù)y=f(x)的最小值( minimum value).

4椅棺、奇偶性

偶函數(shù)(even function)：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果Vx∈I,都有-x∈I, 且f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)(even function).
奇函數(shù)(odd function）：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮, 如果x∈I,都有一x∈I, 且f(-x)=-f(x), 那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)( odd function)

08、高中數(shù)學(xué) - 冪函數(shù)

形如 $y=x^a$ 的函數(shù)齐蔽，都是以冪的底數(shù)為自變量两疚，指數(shù)為常數(shù)，這些函數(shù)稱為冪函數(shù)(power function)

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09含滴、高中數(shù)學(xué) - 指數(shù)函數(shù)

1诱渤、n次方根

如果 $x^n=a$ ，則x叫做a的n次方根谈况，其中n>1且 $n\in N$ 勺美。a的n次方根用符號(hào)： $\sqrt[n]{a}$ 表示

根式： $\sqrt[n]{a}$ 叫根式(radical)，n為根指數(shù)鸦做，a叫被開n次方励烦。

n為奇數(shù)谓着、偶數(shù)時(shí)n次方根計(jì)算：

當(dāng)n是奇數(shù)時(shí), 正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù), 負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù). 這時(shí), a的n次方根用符號(hào)表示 $\sqrt[n] a$ .
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí), 正數(shù)的n次方根有兩個(gè),這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù). 正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào) $\sqrt[n] a$ 表示, 負(fù)的n次方根用符號(hào)— $\sqrt[n] a$ .表示, 正的n次方根與負(fù)的n次方根可以合并寫成± $\sqrt[n] a$ (a>0).

負(fù)數(shù)沒有偶次方根
0的任何次方根都是0,記作0=0.

性質(zhì)

$(\sqrt[n]{a})^n = a$

$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac {m} {n}} (a>0, m,n \in N, n>1)$

$\frac {1} {\sqrt[n]{a^m}} = a^{-\frac {m} {n}} (a>0, m,n \in N, n>1)$

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為0泼诱，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義

$a^ra^s = a^{r+s} (a>0, r,s \in R)$

$(a^r)^s = a^{rs} (a>0, r,s \in R)$

$(ab)^r = a^{r}b^{r} (a>0, b>0, r\in R)$

2、指數(shù)函數(shù)

1赊锚、指數(shù)函數(shù)
函數(shù) $y=a^x(a>0且a\neq 1)$ 叫指數(shù)函數(shù)(exponential function)治筒，其中x為自變量，定義域?yàn)镽舷蒲。

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函數(shù)y=a(a>0,且a≠1)的圖象.由于底數(shù)a可取大于0且不等于1的所有實(shí)數(shù),所以不妨用一端圓定于y軸的水平線段PA的長度來表示底數(shù)a的值, 即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)xA顯示的就是a的取值
如圖1,從左向右拖動(dòng)點(diǎn)A(0<xA<1),則xA的值逐漸增大,當(dāng)xA 的值越來越接近于1時(shí),圖象就越來越接近于直線y=1;當(dāng)xA=1時(shí),圖象就是直線y=1; 繼續(xù)向右拖動(dòng)點(diǎn)A(xA>1),如圖2,圖象發(fā)生了變化

[圖片上傳失敗...(image-e7f78d-1623946356307)]

2耸袜、指數(shù)函數(shù)乘除
同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變堤框，指數(shù)相減纵柿。
$a^m \div a^n = a^{m-n}$

同底數(shù)冪相乘腊嗡，底數(shù)不變燕少，指數(shù)相加卡者。
$a^m \times a^n = a^{m+n}$

10、高中數(shù)學(xué) - 對(duì)數(shù)函數(shù)

如果 $a^x=N(a>0且a \neq 1)$ 客们，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)(logarithm)虎眨，記作： $x=log_{a}N$ 。其中a為對(duì)數(shù)的底數(shù)镶摘，N為真數(shù)嗽桩。

常用對(duì)數(shù)：common logarithm, 以10為底的對(duì)數(shù)，即 $log_{10}N$ 凄敢，簡寫為： $lgN$
自然對(duì)數(shù)：natural logarithm, 以科技碌冶、經(jīng)濟(jì)、生活中常用的無理數(shù)e=2.71828..為底數(shù)的對(duì)象涝缝，即 $log_{e}N = lnN$ （N>0)
計(jì)算機(jī)以2為底的對(duì)數(shù)： $log_{2}N = lgN$

1扑庞、指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系

$a^x = N \Leftrightarrow x=log_{a}N (其中a>0且a \neq 1)$

2、對(duì)數(shù)規(guī)則

負(fù)數(shù)與0沒有對(duì)數(shù)
$log_{a}1=0, log_{a}a=1$

3拒逮、對(duì)數(shù)的性質(zhì)

$log_{a}(MN) = log_{a}M + log_{a}N$ 推導(dǎo)過程見高一上Page127
$log_{a}\frac M N = log_{a}M - log_{a}N$
$log_{a}M^n = nlog_{a}M \;\; (n \in R)$

4罐氨、對(duì)數(shù)的運(yùn)算

對(duì)數(shù)換底公式： $log_{a}b = \frac {log_{c}b} {log_{c}a} \;\; (a>0且a \neq 1; b>0;c>0且c \neq 1)$

5、對(duì)數(shù)函數(shù)

函數(shù) $y=log_{a}x \;\;(a>0且a\neq1)叫對(duì)數(shù)函數(shù)(logarithmic function)滩援，x為自變量栅隐，定義域?yàn)?0,+\infty)$

6、對(duì)象的性質(zhì)

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11玩徊、高中數(shù)學(xué) - 反函數(shù)

$x=log_{a}b租悄，y \in (0,1] 是函數(shù) y=a^{x}，x \in \[0, + \infty)$ 的反函數(shù)恩袱∑澹基定義域互換。

12畔塔、高中數(shù)學(xué) - 三角函數(shù)

1潭辈、正弦函數(shù)

$y=sin x, x \in [0,2\pi]$
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2、余弦函數(shù)

$y=cos x, x \in R$
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3澈吨、正切函數(shù)

$y=tan x, x \in R, x \neq \frac {\pi} {2} + k\pi, k \in Z$
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13把敢、高中數(shù)學(xué) - 數(shù)列

按確定順序排列的數(shù)稱為數(shù)列。用正整數(shù)表示事物發(fā)展過程的先后順序棚辽，把正整數(shù)作為自變量的取值技竟，把事務(wù)對(duì)應(yīng)數(shù)值看作是相應(yīng)的函數(shù)值，數(shù)列是定義在正整數(shù)集上的一類離散函數(shù)屈藐。

數(shù)列形式：a1, a2, a3, ..., an 簡記為: $\{a_{n}\}$

因?yàn)椋?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5C%7Ba_%7Bn%7D%5C%7D" alt="\{a_{n}\}" mathimg="1"> 中每一項(xiàng) ${a_{n}}$ 和它的序號(hào)n有關(guān)系榔组，所以數(shù)列 ${a_{n}}$ 是從正整數(shù)集N或它的子集到實(shí)數(shù)集R的函數(shù),自變量為n熙尉。記為： $a_{n}=f(n)$

遞增數(shù)列：每一項(xiàng)都大于它前一項(xiàng)的數(shù)列
遞減數(shù)列：每一項(xiàng)都小于它前一項(xiàng)的數(shù)列
常數(shù)列：每一項(xiàng)都相等的數(shù)列
通項(xiàng)公式：數(shù)列 $\{a_{n}\}$ 的第 n 項(xiàng) $a_{n}$ 與序號(hào) n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可用一個(gè)式子來表示，式子即為數(shù)列的通項(xiàng)公式
數(shù)列前 $\{a_{n}\}$ 前n項(xiàng)和： $S_{n}$ = a1 + a2 + ... + an

應(yīng)用
1搓扯、根據(jù)通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)的值检痰，并作出圖像
2、根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式
3锨推、根據(jù)通項(xiàng)公式判斷指定是否為數(shù)列的項(xiàng)铅歼，求序號(hào)
4、斐波那契數(shù)列

1换可、等差數(shù)列

一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起椎椰，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，就叫等差數(shù)列沾鳄，常數(shù)叫的公差慨飘，常以字母 d 表示。

等差中項(xiàng)：在a和b間存在一個(gè)數(shù)使得 2A = a+b译荞，則A為a和b的等差中項(xiàng)瓤的。

應(yīng)用
1、等差數(shù)列求和吞歼，利用等差中項(xiàng)來計(jì)算

2圈膏、等比數(shù)列

一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)篙骡，就叫等比數(shù)列稽坤，常數(shù)叫數(shù)列的公比，常以字母 q 表示医增。

等比中項(xiàng)：在a和b間存在一個(gè)數(shù)使得 G² = ab慎皱，則G為a和b的等比中項(xiàng)。

等比數(shù)列前n項(xiàng)公式: $S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ..+ a_{n}$
=>由等比公式得到A式： $S_{n} =a_{1}q^0 + a_{1}q^1 + a_{1}q^2 + ..+ a_{1}q^{n-1}$
=>左右都乘以公比得到B式： $qS_{n} =a_{1}q^1 + a_{1}q^2 + a_{1}q^3 + ..+ a_{1}q^n$
=>A式B式左右相減： $(1-q)S_{n} =a_{1} + a_{1}q^n$
=> $S_{n} =a_{1}\frac {1-q^n} {1-q} (其中q!=1)$

14叶骨、高中數(shù)學(xué) - 導(dǎo)數(shù)

1、微積分的創(chuàng)立與四類科學(xué)相關(guān)

已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù)祈匙，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度忽刽。反之已知物體的加速度作為時(shí)間的函數(shù)，求速度與路程
求曲線的切線
求函數(shù)的最大值夺欲、最小值
求長度跪帝、面積、體積些阅、重心等

2伞剑、導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)定量地刻畫函數(shù)的局部變化，是研究函數(shù)增減市埋、變化快慢黎泣、最大值恕刘、最小值等性質(zhì)的基本方法，是解決如增長率抒倚、膨脹率褐着、效率、密度托呕、速度含蓉、加速度等實(shí)際問題的基本工具。

3项郊、平均變化率

對(duì)于函數(shù) $y=f(x)$ 馅扣，設(shè)自變量x從 $x_{0}$ 變化到 $x_{0}+\triangle x$ ，相應(yīng)地值y就從 $f(x_{0})$ 變化到了 $f(x_{0}+\triangle x)$ 着降。此時(shí)x, y的變化量為：
$\triangle y = f(x_{0} + \triangle x) - f(x_{0})$

比值 $\frac {\triangle y} {\triangle x} = \frac {f(x_{0} + \triangle x) - f(x_{0})} {\triangle x}$ 叫做函數(shù) $y=f(x)$ 從 $x_{0}$ 到 $x_{0}+\triangle x$ 的平均變化率

4岂嗓、導(dǎo)數(shù)

當(dāng) $\triangle x \to 0$ 時(shí)，平均變化率 $\frac {\triangle y} {\triangle x}$ 無限趨近于一個(gè)確定的值鹊碍，即 $\frac {\triangle y} {\triangle x}$ 有極限厌殉，則稱 y=f(x)在 $x=x_{0}$ 處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做 $y=f(x)在x=x_{0}$ 處的導(dǎo)數(shù)(derivative)侈咕。也叫瞬時(shí)變化率公罕，記作 $f'(x_{0})$ 或 $y'|_{x=x_{0}}$ 。即：

$\displaystyle f'(x_{0}) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac {\triangle x} {\triangle y} = \lim_{\triangle x \to 0} \frac {f(x_{0} + \triangle x) - f(x_{0})} {\triangle x}$

5耀销、求導(dǎo)數(shù)

設(shè) $f(x)=\frac 1 x$ 楼眷，求 $f'(1)$
解：

$\displaystyle f'(1)= \lim_{\triangle x \to 0} \frac {f(1+\triangle x)-f(1)} {\triangle x}$

$\displaystyle = \lim_{\triangle x \to 0} \frac {\frac {1} {1+\triangle x } -1} {\triangle x}$

$\displaystyle = \lim_{\triangle x \to 0} (-\frac 1 {1+\triangle x})$

$=-1$

將原油精煉為汽油、柴油熊尉、塑膠等各種不同產(chǎn)罐柳，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱。已知在x 時(shí)狰住，原油的溫度為 $y=f(x)=x^2-7x+15$ 张吉，（0<=x<=8)。計(jì)算第2h時(shí)第6h時(shí)原油的瞬時(shí)變化率并說明它們的意義催植。

解: 在第2h和第6h時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率就是f'(2)和f'(6). 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義:
$\displaystyle \frac {△y} {△x} = \frac {f(2+△x)-f(2)} {△x}$
$\displaystyle = \frac {(2+△x)^2-7(2+△x)+15-(2^2-7×2+15)} {△x}$
$\displaystyle = \frac {(4△x + (△x)^2-7△x)} {△x}$
$\displaystyle = △x - 3$

所以 $\displaystyle f'(2) = \lim_{△x \rightarrow 0} \frac {△y} {△x} = \lim_{△x \rightarrow 0}(△x-3) = -3$
同埋可得: f'(6) = 5

在第2h與第6h時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為-3C/h與5℃/h肮蛹。說明在第2h附近，原油溫度大約以3℃/h的速度下降;在第5h附近,原池溫度大約以5℃/h的速率上升创南。一般地 f'(x0) (0≤x0≤8)反映了原油溫度在時(shí)刻x0附近的變化情況

3）一輛汽車在公路上沿直線變速行駛伦忠，假設(shè)t s時(shí)汽車的速度為 $y=v(t)=-t^2+6t+60$ ，求汽車在第2s與第6s時(shí)的瞬時(shí)加速度稿辙，并說明他們的意義昆码。

分析: 瞬時(shí)加速度是速度關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率, 因此在第2s與第6s時(shí)汽車的時(shí)加速度分別為v'(2), v'(6)

解: 在第2s和第6s時(shí),汽車的瞬時(shí)加速度就是v'(2)和v'(6)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義

$\displaystyle \frac {△y} {△t} = \frac {v(2+△t) - v(2)} {△t}$
$\displaystyle = \frac {( 2 + △t)^2 + 6(2+△t) + 60 - (-2^2 + 6 * 2 + 60)} {△t}$
$\displaystyle = -△t + 2$

所以 $\displaystyle v'(2) = \lim_{△t \rightarrow 0} \frac {△y} {△t} = \lim_{△t \rightarrow 0} (-△t + 2) =2$

同理可得: v'(6)=-6.

在第2s與第6s時(shí),汽車的瞬時(shí)加速度分別是2m/s^2與-6m/s2. 說明在第2s附近汽車的速度每秒大約增加2m/s; 在第6s附近,汽車的速度每秒大約減少6m/s

6、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1、常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1） $y=f(x)=c$
$\Rightarrow \frac {\triangle y} {\triangle x} = \frac {f(x+\triangle x) - f(x)} {\triangle x} = \frac {c-c} {\triangle x} = 0$
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2） $y=f(x)=x$
$y = \frac {△y} {△x} = \frac {f(x+△x) - f(x)} {△x} = \frac {(x+△x-x)} {△x} = 1$
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3） $y=f(x)=x^2$
$\displaystyle \frac {△y} {△x} = \frac {f(x+△x)-f(x)} {△x} = \frac {(x+△x)^2-x^2} {△x}$
$\displaystyle = \frac {x^2 + 2x * △x + (△x)^2 - x^2} {△x}$
$\displaystyle = 2x + △x$

所以： $\displaystyle y' = \lim_{△x \rightarrow 0} \frac {△y} {△x} = \lim_{△x \rightarrow 0} (2x + △x) = 2x$

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4） $y=f(x)=\frac 1 x$
$\displaystyle \frac {△y} {△x} = \frac {f(x+△x) - f(x)} {△x} = \frac 1 {x+△x - 1/x } {△x}$
$\displaystyle = \frac {x - (x + △x)} {x (x + △x) △x} = - \frac 1 {x^2 + x * △x}$

$\displaystyle y' = \lim_{△x \rightarrow 0} \frac {△y} {△x} = \lim_{△x \rightarrow 0} \frac {- 1} {x^2 + x * △x} = - \frac 1 {x^2}$

5） $y=f(x)=\sqrt x$
$\displaystyle = \frac {△y} {△x} = \frac {f(x+△x) - f(x)} {△x}$
$\displaystyle \frac {\sqrt {x+△x} - \sqrt x} {△x} = \frac 1 {\sqrt {x+△x} + \sqrt x}$

所以 $\displaystyle y' = \lim_{△x \rightarrow 0} \frac {△y} {△x} = \lim_{△x \rightarrow 0} \frac 1 {\sqrt {x+△x} + \sqrt x} = \frac 1 {2\sqrt x}$

2赋咽、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

若f(x)=c(c為常數(shù)),則f'(x)=0
若f(x)=x(n∈Q),則f'(x)=nx^(n-1)
若f(x)=sinx,則f'(x)=cosx
若f(x)=cosx,則f'(x)=-sinx
若f(x)=a^x,則f'(x)=ax lna;
若f(x)=e^x,則f'(x)=ex;
若f(x)=loga x,則f'(x)=1 / (xlna)
若f(x)=lnx,則f'(x)=1/x

練習(xí)

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： $y=x^3-2x+3$
$y'=(x^3-2x+3)' = (x^3)' - (2x)' + (3)' = 3x^2 - 2 \times 1 + 0 = 3x^2 - 2$

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： $y=(2x+3)^2$

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： $y=e^{-0.05x+1}$

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： $y=sin(\pi x+\phi) 其中\(zhòng)pi和\phi為常數(shù)$

3旧噪、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)
$y=f(u)=f(g(x))$ 求導(dǎo)： $y_x' = y_u' \times u_x'$

4、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則
導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

[f(x) ± g(x)]'=f'(x) ± g'(x)
[f(x) · g(x)]'=f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
[f(x) / g(x)]'=（f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]^2 (其中g(shù)(x)≠0)

7冬耿、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

1舌菜、函數(shù)的單調(diào)性
在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi), 如果f'(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增; 如果f'(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減0

2、函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)
求函數(shù)y=f(x)的極值的方法是:

解方程f'(x)=0. 當(dāng)f(x0)=0時(shí):
(1) 如果在x0附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,那么f(x0)是極大值;
(2) 如果在x0附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,那么f(x0)是極小值

3亦镶、生活中優(yōu)化問題
導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大值日月、最小會(huì)上有力的工具。

練習(xí)1:
學(xué)戌凸牵或班級(jí)舉行活動(dòng), 通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳. 現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào), 要求版心面積為128dm^2, 上爱咬、下兩邊各空2dm, 左、右兩邊各空1dm. 如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸,才能使四周空白面積最小?

解法：設(shè)版心的高度為x dm绊起，則版心的寬為 128/x dm, 四周空白面積為：S(x) = (x + 4)(128/x + 2) -128 = 2x + 512/x + 8, x>0
S'(x) = 2 - 512 /x^2 => x=+-16精拟，舍去負(fù)數(shù)，當(dāng) $x \in (0,16)$ 時(shí)虱歪，S'(x)<0, 當(dāng) $x \in (16, +∞ )時(shí)蜂绎，S'(x) > 0$

當(dāng)x=16時(shí)函數(shù)S(x)的極小值點(diǎn)也是最小點(diǎn)，所版版心高為16dm笋鄙，寬為8dm時(shí)师枣，四周空白面積最小。

15萧落、高中數(shù)學(xué) - 定積分

1践美、近似替代法求曲面的面積及加速行汽車的距離。

練習(xí)1
陰影部分類似于一個(gè)梯形,但有一邊是曲錢y=f(x)的一段找岖。我們把由直線x=a, x=b(a≠b), y=0和曲線 y=f(x) 所圍成的圖形稱為曲邊梯形. 當(dāng) y= x^2, x=1, y=0時(shí)陨倡，如何計(jì)算這個(gè)曲邊梯形的面積呢?
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求解步驟
1）分割：將區(qū)間[0, 1]分割成n個(gè)小區(qū)間，用表達(dá)式計(jì)算每個(gè)小區(qū)間的長度△x=i/n - (i-1)/n = 1/n许布，面積△S 兴革，總面積 $\displaystyle S = \sum_{i=1}^n △S_i$ .
2）近似替代：當(dāng)n很大，△x很小時(shí)爹脾，可認(rèn)為每個(gè)區(qū)間f(x)=x^{2值變化很小帖旨，近似等于一個(gè)常數(shù)（可認(rèn)為是左端點(diǎn)處的函數(shù)值y=x}2）。即用直線段近似地代替小曲邊灵妨，近似可用小矩形面積代替曲邊梯形面積。得到面積△S的表達(dá)式 (i-1/n)^2 * 1/n 其中i為第i個(gè)小區(qū)間,落竹。

3）求和：通過將n段的每個(gè)△S進(jìn)行相加泌霍，得到一個(gè)表達(dá)式，進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算后得到總面積S一個(gè)簡單的表達(dá)式 $S \approx S_n= 1/n^3 [1^2+2^2+…+(n-1)^2] =1/3(1-1/n)(1-1/2n)$ 。

4）取極限：當(dāng)n取無窮大時(shí)朱转，即△x趨向于0時(shí)蟹地，得到總面S的會(huì)上為1/3

練習(xí)2
汽車以速度v作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí),經(jīng)過時(shí)間t所行駛的路程為s=vt. 如果汽車作變速直線運(yùn)動(dòng),在時(shí)刻t的速度為v(t)=-t^2+2 (t的單位:h,v的單位:km/h), 那么它在0≤t≤1這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s(單位:km)是多少?

求解步驟：參照上個(gè)練習(xí)，得到最終答案為： $\displaystyle s \approx \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^n \frac 1 n v(\frac {i-1} n) = \lim_{n \rightarrow \infty} [-1/3(1-1/n)(1-1/2n)+2] = 5/3$

2藤为、定積分

由近似替代法求曲面的面積及加速行汽車的距離都可歸結(jié)為求這種特定形式和的極限怪与。將區(qū)間[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間[x_i-1,x_i]上任取一點(diǎn)(i=1,2,…,n)作和式為：

$\displaystyle \sum_{i=1}^n f(\epsilon_i)△x = \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac {b-a} n f(\epsilon_i)$

當(dāng) $n \rightarrow \infty$ 時(shí)，該和式無限接近某個(gè)常數(shù)缅疟，該常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分(definite integral)分别，記作： $\displaystyle \int_{a}^ f(x)dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac {b-a} n f(\epsilon_i)$

其中：

a和b：積分上限和積分下限
區(qū)間[a,b]：積分區(qū)間
函數(shù)f(x)：被積函數(shù)
x：積分變量
f(x)dx：被積式

上面曲邊梯形面積定積分表示： $\displaystyle S=\int_0^1 f(x)dx = \int_0^1 x^2 dx = \frac 1 3$
幾何意義： $\displaystyle S=\int_0^1 f(x)dx$ 表示由直線x=a, x=b （a!=b）存淫，y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積耘斩。

上面汽車路徑定積分表示： $\displaystyle S=\int_0^1 v(t)dt = \int_0^1 (-t^2+2)dt = \frac 5 3$

練習(xí)
1）計(jì)算 $\displaystyle \int_0^1 x^3 dx$ 的值
解題步驟：

分割：區(qū)間[0,1]等分為n個(gè)區(qū)間, [i-1/n, i/n] （i=1,2,3..n）,每個(gè)小區(qū)間長度△x=i/n - (i-1)/n = 1/n
近似代替、作和： $\displaystyle \int_0^1 x^3 dx = S_n = \sum_{i=1}^n f(\frac i n) * \triangle x = \frac 1 4 (1+ \frac 1 n)^2$
取極限： $\displaystyle \int_0^1 x^3 dx = \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac 1 4(1+ \frac 1 n)^2 = \frac 1 4$

定積分性質(zhì)：

$\displaystyle \int_a^b kf(x)dx = \displaystyle k \int_a^b f(x)dx$ 其中k為常數(shù)
$\displaystyle \int_a^b [f_1(x) \pm f_2(x)] dx = \displaystyle \int_a^b f_1(x)dx \pm f_2(x)dx$
$\displaystyle \int_a^b f(x)dx = \displaystyle \int_a^{\epsilon} f(x)dx + \int_{\epsilon}^b f(x)dx$ 其中 $a \leq \epsilon \leq b$

16桅咆、高等數(shù)學(xué) - 微積分

1括授、微積分

用定積分的定義計(jì)算 $\int_0^1 x^3dx$ 的值比較麻煩，導(dǎo)數(shù)和定積分存在聯(lián)系岩饼。

一個(gè)作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是y=y(t). 由導(dǎo)數(shù)的概念可知,它在任意時(shí)刻t的速度v(t)=y'(t). 設(shè)這個(gè)物體在時(shí)間段[a,b]內(nèi)的位移為s,你能分別用y(t),v(t)表示s嗎?
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解：
1）物體的位移s是函數(shù)y=y(t)在t=b處與t=a處的函數(shù)值之差荚虚，即 s=y(b)-y(a)

用定積分求位移：

分割
近似替代、求和
求極限
得到 $\displaystyle s=\sum_{i=1}^n \triangle S_i \approx \sum_{i=1}^n h_i = \sum_{i=1}^n v(t_{i-1}) \triangle t = \sum_{i=1}^n y'(i_{i-1}) \triangle t$

n越大籍茧，△t越小版述，區(qū)間[a,b]劃分的越細(xì)， $\sum_{i=1}^n v(t_{i-1}) \triangle t = \sum_{i=1}^n y'(i_{i-1}) \triangle t$ 與s的近似程度就越好硕糊。

由定積分得到
$\displaystyle s=\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac {b-a} n v(t_{i-1})$
$\displaystyle = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac {b-a} n v(t_{i-1})$
$\displaystyle = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac {b-a} n y'(t_{i-1})$
$\displaystyle = \int_a^b v(t) dt = \int_a^b y'(t) dt$
由1）院水，2）結(jié)果得到
$\displaystyle s = \int_a^b v(t) dt = \int_a^b y'(t) dt = y(b) -y(a)$

微積分基本定理
fundamental theorem of calculus,（牛頓-萊布尼茲公式, Newton-Leibniz Formula）.

一般地如果f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，且F'(x) = f(x)简十，則 $\displaystyle \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$ 檬某，則F(b)-F(a)常記作 $F(x)|_a^b$ ，即： $\displaystyle \int_a^b f(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)$

計(jì)算定積分的關(guān)鍵是找到滿足 $F'(x) = f(x)$ 的函數(shù)F(x)螟蝙，通郴帜眨可運(yùn)用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則從反方向上求出F(x)

練習(xí)
1、計(jì)算下列定積分

$\int_1^2 \frac 1 x dx$
$\int_1^3(2x-\frac 1 {x^2}) dx$
$\int_0^{\pi}sinx dx$
$\int_{\pi}^{2\pi} sinx dx$
$\int_0^{2\pi} sinx dx$

解

因?yàn)?(lnx)' = 1/x胰默，所以 $\int_1^2 \frac 1 x dx = lnx |_1^2 = ln2 - ln1 = ln2$

因?yàn)? $(x^2)' = 2x, (- \frac 1 x)' = \frac 1 {x^2}$ , 所以 $\int_1^3(2x-\frac 1 {x^2}) dx = \int_1^3 x^2 dx - \int_1^3 \frac 1 {x^2} dx = x^2 |_1^3 -(- \frac 1 x)|_1^3 = (9-1) - (\frac 1 3 -1) = \frac 22 3$

$\int_0^{\pi}sinx dx = -cosx|_0^{\pi}=(-cos \pi) - (-cos 0) = -(-1) - (-1) = 2$
三角函數(shù)的定積分等于三角函數(shù)的面積
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$\int_{\pi}^{2\pi} sinx dx = -cosx|_{\pi}^{2\pi} = (-cos 2\pi) - (-cos \pi) = (-1) - (-(-1)) = -2$
[圖片上傳失敗...(image-a810f7-1623946356307)]

$\int_0^{2\pi} sinx dx = 0$
[圖片上傳失敗...(image-83f91e-1623946356307)]

參考：基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式

若f(x)=c(c為常數(shù)),則f'(x)=0
若f(x)=x(n∈Q),則f'(x)=nx^(n-1)
若f(x)=sinx,則f'(x)=cosx
若f(x)=cosx,則f'(x)=-sinx
若f(x)=a^x,則f'(x)=ax lna;
若f(x)=e^x,則f'(x)=ex;
若f(x)=loga x,則f'(x)=1 / (xlna)
若f(x)=lnx,則f'(x)=1/x

2场斑、定積分的簡單應(yīng)用

1、計(jì)算曲線 $y^2=x, y=x^2$ 所圍圖形的面積S
解：

畫出草圖
[圖片上傳失敗...(image-c246bf-1623946356307)]
解方程

$y^2=x \Rightarrow y = \sqrt x$
$y=x^2$

得到的解為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=0, x=1

求圖形面積
S = S曲邊形梯形OABC - S曲邊形梯形OABD = $\int_0^1 \sqrt x dx - \int_0^1 x^2 dx = \frac 2 3 x^{\frac 1 2} |_0^1 - \frac 1 3 x^3|_0^1 = \frac 1 3$

2牵署、計(jì)算直線y=x-4, 曲線 $y = \sqrt {2x}$ 所圍圖形的面積S

畫出草圖
[圖片上傳失敗...(image-7cb47a-1623946356307)]
解方程

$y = \sqrt {2x}$
$y=x-4$

直線與曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,4)漏隐，直線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)

求圖形面積
$S = S_1+S_2=\int_0^4 \sqrt {2x} dx + [ \int_4^8 \sqrt {2x} dx - \int_4^8(x-4)dx] = \frac {40} 3$

3、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程
作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s,等于其速度函數(shù)v=v(t) （v(t)≥0）在時(shí)間區(qū)間[a,b]上的定積分 $s=\int_a^b v(t)dt$

輛汽車的速度-時(shí)間曲線如圖所示,求汽車在這1min行駛的路程.
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解：

[圖片上傳失敗...(image-f4ded0-1623946356307)]

3奴迅、小結(jié)

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17青责、高等數(shù)學(xué) - 矩陣

1、矩陣與向量

矩陣
矩陣是矩形的數(shù)組。

矩陣表示： $A = (a_{ij})$ , 其中i=1, 2; j=1,2,3脖隶。
矩陣元素表示：第i行扁耐，第j列的元素通常表示為 $a_{ij}$ 。用大寫字母表示矩陣产阱，用小寫字母表示矩陣中的元素婉称。
矩陣集合：用 $R^{m \times n}$ 所有元素為實(shí)數(shù)的m x n矩陣集合。
矩陣來自集合表示：元素來自集合S的m x n 矩陣的集合可用 $S^{m \times n}$ 表示构蹬。

$A =\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix}$

矩陣轉(zhuǎn)置
交換矩陣的行和列王暗，獲得的矩陣是矩陣A的轉(zhuǎn)置 $A^T$

$A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ a_{13} & a_{23} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \\ \end{bmatrix}$

向量
向量是一維數(shù)組。長度為n的向量稱為n向量怎燥，用 $x_i$ 表示向量中第i個(gè)元素瘫筐，其中i=1,2,3..n。將向量的標(biāo)準(zhǔn)形式定義為列向量铐姚，是n x 1的矩陣策肝，轉(zhuǎn)置后是行向量。

$x = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}$

$x^T = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \end{bmatrix}$

單位向量： $e_i$ 是除第i個(gè)元素為1隐绵，其他均為0的向量之众。

2、各種矩陣

零矩陣：所有元素均為0的矩陣依许，常表示為0棺禾。
方陣：正方形 n x n的矩陣
對(duì)角矩陣：一個(gè)矩陣中對(duì)于任意 $i \neq j$ ，均有 $a_{ij}=0$ 峭跳。即非對(duì)角元素均為0膘婶。

$diag(a_{11},a_{12},...,a_{mn})= \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{ij} \\ \end{bmatrix}$

單位矩陣： $I_n$ , 對(duì)角線元素均為1的n x n對(duì)角矩陣。
$I_n = diag(1,1,...,1)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{bmatrix}$
三對(duì)角矩陣：若一個(gè)矩陣滿足當(dāng) |i-j|>1時(shí) $t_{ij}=0$ 蛀醉。
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上三角矩陣：若一個(gè)矩陣滿足對(duì)任意 i>j悬襟，有 $u_{ij}=0$
單位上三角矩陣：若一個(gè)上三角矩陣對(duì)角線上元素均為1
[圖片上傳失敗...(image-7eb6a3-1623946356307)]
下三角矩陣：若一個(gè)矩陣滿足對(duì)任意 i<j，有 $u_{ij}=0$
單位下三角矩陣：若一個(gè)下三角矩陣對(duì)角線上元素均為1
[圖片上傳失敗...(image-7442ec-1623946356307)]

排列矩陣 P：若一個(gè)矩陣每行每列均有且僅有一個(gè)1拯刁，其他位置均為0
[圖片上傳失敗...(image-49891a-1623946356307)]
對(duì)稱矩陣：若一個(gè)矩陣轉(zhuǎn)置后 $A = A^T$

$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 6 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ \end{bmatrix}$

3脊岳、矩陣基本操作

矩陣或向量中的元素是實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)垛玻、或整數(shù)取模某素?cái)?shù)等數(shù)系中的數(shù)割捅。

矩陣加法
如果矩陣 $A=(a_{ij}), B=(b_{ij})$ 是m x n矩陣，兩者的矩陣和是對(duì)應(yīng)位置上的元素進(jìn)行相加帚桩，得到的和 $C = (c_{ij})=A+B$ 也是m x n的矩陣亿驾。即 $c_{ij}=a_{ij} + b_{ij}$

零矩陣相加
是矩陣加法的單位元，A+0=0+A=A

矩陣數(shù)乘
標(biāo)量倍數(shù)： $\lambda A=(\lambda a_{ij})$ 是A的標(biāo)量倍數(shù)账嚎。通過將 $\lambda$ 分別乘以每個(gè)元素颊乘。 $-1 \cdot A = -A$

矩陣減法
A + (-B) = A - B
A + (-A) = -A + A = 0
矩陣乘法
兩個(gè)相容的矩陣A和B参淹，即A的列數(shù)與B的行數(shù)相等才能相乘醉锄。 $A_{m \times n}B_{n \times p} = C_{m \times p}$
$\displaystyle c_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$

示例：求矩陣 $A =\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \end{bmatrix}乏悄， B =\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \\ \end{bmatrix}，求C=A \times B$

計(jì)算過程
$C=A \times B=\begin{bmatrix} a_{11} \times b_{11} + a_{12} \times b_{21} + a_{13} \times b_{31} & a_{11} \times b_{12} + a_{12} \times b_{22} + a_{13} \times b_{32}\\ a_{21} \times b_{11} + a_{22} \times b_{21} + a_{23} \times b_{31} & a_{21} \times b_{12} + a_{22} \times b_{22} + a_{23} \times b_{32} \\ \end{bmatrix}$

[圖片上傳失敗...(image-6a9ec-1623946356307)]
1）看紫色線
2）看綠色線
3）看藍(lán)色線
4）看紅色線

各矩陣相乘

單位矩陣相乘： $I_mA=AI_n=A$
零矩陣相相乘：A0=0
矩陣乘法結(jié)合率：A(BC)=(AB)C
矩陣乘法對(duì)加法滿足分配律：A(B+C)=AB+AC恳不。例外：n>1檩小，n x n的矩陣乘法不滿足交換律。如下：
$A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$
$AB=\begin{bmatrix}

1 & 0 \
0 & 0 \
\end{bmatrix} $\text{[math]}$ BA=\begin{bmatrix}
0 & 0 \
0 & 1 \
\end{bmatrix}$

矩陣向量乘積：可把向量看作n x 1的矩陣相乘烟勋。
- 內(nèi)積：如果兩個(gè)向量相乘规求，則 $\displaystyle x^Ty=\sum_{i=1}^n x_i y_i$ 是一個(gè)1x1的矩陣，稱之為x與y的內(nèi)積卵惦。
- 外積：矩陣 $xy^T$ 是n x n的矩陣Z阻肿，稱為x與y的外積。
歐幾里德范式：定義 n 向量x的范式 $\left \| x \right \|=(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2)^{1/2}=(x^Tx)^{1/2}$ 沮尿，x的范式是其在n維歐幾里德空間內(nèi)的長度丛塌。

4、矩陣的基本性質(zhì)

1）矩陣的逆
定義 n x n的矩陣A的逆 $A^{-1}$ 為滿足 $AA^{-1} = A^{-1}A= I_n$ 的n x n矩陣(即為原矩陣的倒數(shù)）畜疾。許多非零矩陣沒有逆矩陣赴邻。
$A= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac 1 A = \frac 1 {\begin{bmatrix} m & n \\ p & q \\ \end{bmatrix}} =\begin{bmatrix} a \times m + b \times p & a \times n + b \times q \\ c \times m + d \times p & b \times n + d \times q \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

如求 $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}^{-1} \Rightarrow \begin{bmatrix} m+p=1 & n+q=0 \\ m+0=0 & n+0=1 \\ \end{bmatrix}^{-1} \Rightarrow \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{bmatrix}^{-1}$

可逆矩陣：若矩陣可逆則稱為可逆矩陣或非奇異矩陣，如果存在則其是唯一的啡捶。
不可逆矩陣：沒有逆的矩陣為不可逆的或奇異的姥敛。 $(BA)^{-1}=A^{-1} b^{-1}$
逆操作與轉(zhuǎn)置操作可交換順序： $(A^{-1})^T =(A^T)^{-1}$

2）矩陣的線性相關(guān)和無關(guān)

線性相關(guān)：若存在不全為零的相關(guān)系數(shù) c1,c2, ..,cn，使得 $c_1x_1+c_2x_2+..+c_nx_n=0$ 瞎暑，則稱向量 $x_1,x_2,..,x_n$ 是線性相關(guān)的彤敛。
行向量 $x_1=(1 \; 2 \; 3), x_2=(2 \; 6 \; 4), x_3=(4 \; 11 \;9)$ 是線性相關(guān)的，因?yàn)榇嬖诜侨?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=c_1%2C%20c_2%2C%20c_3" alt="c_1, c_2, c_3" mathimg="1">使得 $c_1x_1 + c_2x_2 + c_3x_3=0$ 了赌，例如 $2x_1 + 3x_2 - 2x_3=0$ 墨榄，即 $(2, 4, 6) + (6, 18, 12) - (8, 22, 18) = 0$
線性無關(guān)：不是線性相關(guān)的。單位矩陣的列向量是線性無關(guān)的揍拆。

3）矩陣的秩
對(duì)于非零 m x n的矩陣A：

列秩：最大線性無關(guān)列集合的大小
行秩：最大線性無關(guān)行集合的大小

任意矩陣A所共有的一個(gè)基本性質(zhì)是A的行秩等于其列秩渠概。簡稱為A的迭。
秩：非零m x n矩陣A嫂拴， m x r的矩陣B播揪，r x n的矩陣C，使得 A = BC時(shí)最小數(shù)值r是A的秩筒狠。

矩陣的秩

矩陣的秩是[0, min(m, n)]內(nèi)的整數(shù)
零矩陣的秩是0猪狈，而n x n單位矩陣的秩是n

滿秩

如果 n x n方陣的秩是n，則它是滿秩的辩恼。
如果 m x n矩陣的秩是n雇庙，則它是列滿秩的谓形。

定理

定理1：一個(gè)方陣是滿秩的，當(dāng)且僅當(dāng)該方陣是非奇異的疆前。
定理2：一個(gè)矩陣A是列滿秩的失尖，當(dāng)且僅當(dāng)該矩陣不存在空向量
推論3：一個(gè)方陣是奇異的，當(dāng)且僅當(dāng)它有空向量

4）矩陣的行列式
n x n(n>1)矩陣A的第i行j列子矩陣挟鸠，是一個(gè)刪除A中i行j列后得到的(n-1)x(n-1)矩陣 $A_{[ij]}$ 膝晾。利用子矩陣遞歸定義該矩陣的行列式。

$det(A) = \begin{cases} a_{11} & \text 若n=1 \\ \displaystyle \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j}det(A_{[1j]}) & \text 若n>1 \end{cases}$

$(-1)^{1+j} a_{1j}det(A_{[1j]})$ 為元素 $a_{ij}$ 的代數(shù)余子式胸完。

行列式性質(zhì)
定理4：

如果矩陣A中某行或某列為0书释，則det(A)=0
當(dāng)將矩陣A的任意一行（或列）的每個(gè)元素乘以 $\lambda$ 后，A的行列式乘以 $\lambda$
當(dāng)將矩陣A的任意一行（或列）的每個(gè)元素加到另一行（或列）的元素上赊窥，則A的行列式不變
矩陣A的行列式與其轉(zhuǎn)置 $A^T$ 的行列式相等
當(dāng)交換A的任意兩行（或兩列）時(shí)爆惧，行列式改變正負(fù)號(hào)

定理5：
n x n 矩陣A是奇異的，當(dāng)且僅當(dāng)dt(A)=0锨能。

正定矩陣：如果n x n矩陣A滿足對(duì)于所有n向量 $x \neq 0$ 扯再，有 $x^TAx>0$ ，則稱A是正定的腹侣。 $x^TI_nx=x^Tx = \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2 > 0$

定理6：
對(duì)于任意列滿秩的矩陣A叔收，矩陣 $A^TA$ 是正定的。
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最后編輯于：2021.06.18 00:23:04

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