數(shù)據(jù)分析的對象主要是結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)，雖然數(shù)據(jù)的類型有很多量淌，但是所有的結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)都可以從三個維度進行描述饿自，這三個維度就是數(shù)據(jù)的集中趨勢描述，數(shù)據(jù)的離散程度描述和數(shù)據(jù)的分布形態(tài)描述锈拨。

集中趨勢描述

數(shù)據(jù)的集中趨勢描述是尋找反映事物特征的數(shù)據(jù)集合的代表值或中心值，這個代表值或中心值可以很好地反映事物目前所處的位置和發(fā)展水平羹唠。主要描述指標包含：

1. 眾數(shù)奕枢、中位數(shù)、平均數(shù)

• 眾數(shù)
  數(shù)據(jù)集合中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值被稱為眾數(shù)佩微。
  備注：數(shù)據(jù)集中時有效缝彬，可以具有多個眾數(shù)。如果數(shù)據(jù)集合中所有數(shù)據(jù)值出現(xiàn)的次數(shù)相同哺眯，那么該數(shù)據(jù)集合沒有眾數(shù)谷浅。
• 中位數(shù)
  按照升序排列數(shù)據(jù)后：

1. n為奇數(shù)時,
   n為奇數(shù)

2. n為偶數(shù)時,

   n為偶數(shù)
   
   備注：中位數(shù)與算術(shù)平均值相比，中位數(shù)的優(yōu)勢在于不受數(shù)據(jù)集合中個別極端值的影響奶卓，表現(xiàn)出穩(wěn)定的特點一疯。這一特點使其在數(shù)據(jù)集合的數(shù)值分布有較大偏斜時，能夠保持對數(shù)據(jù)集合特征的代表性夺姑。因此墩邀，中位數(shù)常被用來度量具有偏斜性質(zhì)的數(shù)據(jù)集合的集中趨勢。

• 平均數(shù)
  指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以這組數(shù)據(jù)的個數(shù)盏浙，計算公式同算數(shù)平均數(shù)眉睹。

2. 算數(shù)平均值、加權(quán)平均值废膘、幾何平均值

• 算數(shù)平均數(shù)
  將數(shù)據(jù)集合的所有數(shù)據(jù)值相加的和除以數(shù)據(jù)值個數(shù)就得到簡單算術(shù)平均
  值竹海。
  假設(shè)有一組包含n個數(shù)值的數(shù)據(jù)集合，它們的數(shù)值分別為x1 丐黄，x2 斋配，…，xn 孵稽，該數(shù)據(jù)集合的簡單算術(shù)平均值的計算公式為：
  
  算術(shù)平均值
• 加權(quán)平均值
  有時每個數(shù)據(jù)值的權(quán)重不一樣许起，需要用加權(quán)算術(shù)平均值來表示數(shù)據(jù)集合的集中趨勢。
  假設(shè)有一個數(shù)據(jù)集合菩鲜，總共包括k個不同類別的數(shù)據(jù)組园细，各組的簡單算術(shù)平均值表示為x-1，x-2接校，…猛频，x-k狮崩，每個數(shù)據(jù)組的數(shù)值個數(shù)分別為f1，f2鹿寻，…睦柴，fk，每組的數(shù)值個數(shù)就是每個數(shù)據(jù)組的權(quán)重毡熏，那么加權(quán)算術(shù)平均值的計算公式可以表示為：
  
  加權(quán)平均值
  
  備注：簡單算術(shù)平均值可以看作是所有數(shù)值的權(quán)重都為1的加權(quán)算術(shù)平均值坦敌，即所有數(shù)值的重要性相同。
  算數(shù)平均值缺陷：當數(shù)據(jù)集合中有極大值或極小值存在時痢法，會對算術(shù)平均值產(chǎn)生很大的影響狱窘，其計算結(jié)果會掩蓋數(shù)據(jù)集合的真實特征，這時算術(shù)平均值就失去了代表性财搁。
  • 幾何平均值
    有些數(shù)據(jù)之間的關(guān)系不是加減關(guān)系蘸炸，而是乘除關(guān)系。此時尖奔，應(yīng)該用幾何平均值來表示由這樣的數(shù)值組成的數(shù)據(jù)集合的集中趨勢搭儒。
    幾何平均值被用于各種定比數(shù)據(jù)的平均值計算。
    假設(shè)有一個定比數(shù)據(jù)集合提茁，集合中的數(shù)值分別為x1淹禾，x2，…茴扁，xn稀拐，且所有的數(shù)值均大于 0，那么該數(shù)據(jù)集合的幾何平均值的計算公式為：
    
    幾何平均值

離散程度描述

1. 數(shù)值型數(shù)據(jù)：極差丹弱、平均偏差德撬、方差、標準差

• 極差
  極差又被稱為全距躲胳，是指數(shù)據(jù)集合中最大值與最小值的差值蜓洪，表示
  整個數(shù)據(jù)集合能夠覆蓋的數(shù)值距離。
  現(xiàn)有數(shù)據(jù)集合（xmin坯苹，x2隆檀，…，xmax）粹湃，全距的計算公式為：
  
  極差
• 平均偏差
  平均偏差的數(shù)值代表了所有數(shù)值與平均值的平均偏差距離恐仑。
  平均偏差的計算公式為：
  
  平均偏差
  
  備注：①平均差異大，表明各標志值與算術(shù)平均數(shù)的差異程度越大为鳄，該算術(shù)平均數(shù)的代表性就越猩哑汀；②平均差越小孤钦，表明各標志值與算術(shù)平均數(shù)的差異程度越小歧斟，該算術(shù)平均數(shù)的代表性就越大纯丸。

• 方差
  

  (1)總體方差：如果數(shù)據(jù)集合（x1，x2静袖，…觉鼻，xn）就是數(shù)據(jù)總體，并且數(shù)據(jù)集合有N個數(shù)值队橙，假設(shè)數(shù)據(jù)總體的均值為μ坠陈，那么總體方差σ2的計算公式為：
  總體方差
  
  (2)樣本方差：為了區(qū)分，樣本的均值用x-表示捐康，樣本方差用s2表示畅姊，樣本標準差用s表示。假設(shè)樣本容量為n吹由，那么樣本方差的計算公式為：
  樣本方差

• 標準差
  

  (1)總體標準差是方差的正值平方根，其計算公式為：
  總體標準差
  
  (2)樣本標準差：
  
  樣本標準差的計算公式為：
  樣本標準差

樣本標準差s對總體標準差σ的估計誤差

2. 順序數(shù)據(jù)：四分位數(shù)

(1)先將數(shù)字由小到大排序：下四分位數(shù)Q1朱嘴，又稱“較小四分位數(shù)”.
(2)第二四分位數(shù) (Q2)倾鲫，又稱“中位數(shù)”
(3)上四分位數(shù)Q3，又稱“較大四分位數(shù)”
(4)四分位極差等于第一四分位數(shù)與第三四分位數(shù)的差值（Q3-Q1)這個差值區(qū)間包含了整個數(shù)據(jù)集合50%的數(shù)據(jù)值萍嬉。
Q1-Q2之間距離的差的一半又稱為分半四分位差乌昔。

四分位數(shù)

3. 分類數(shù)據(jù)：異眾比率。

異眾比率

①主要適合測度分類數(shù)據(jù)的離散程度
②異眾比率越大壤追，說明非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比重越大磕道，眾數(shù)的代表性就越差；
③異眾比率越小行冰，說明非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比重越小溺蕉，眾數(shù)的代表性越好；

相對離散程度描述

變異系數(shù)

如果兩者的方差和標準差相等時悼做，那么到底哪個數(shù)據(jù)集合的離散程度更高疯特、更低或相同？對于這個問題肛走，方差和標準差解決不了漓雅，變異系數(shù)卻可以。
總體的變異系數(shù)計算公式為：

總體的變異系數(shù)

樣本的變異系數(shù)

分布的形狀

偏態(tài)系數(shù)

偏態(tài)分布

圖片來源于網(wǎng)絡(luò)

備注：
(1)看長尾在哪邊就是往哪偏徘层；
(2)峰左移峻呕，右偏態(tài)；
(3)峰右移趣效，左偏態(tài)瘦癌；
(4)偏態(tài)系數(shù)：SK< 0 左偏，又稱為負偏跷敬；SK> 0 右偏讯私，又稱為正偏。
(5)當樣本增大時西傀，其均數(shù)趨向正態(tài)分布

偏態(tài)系數(shù)

加權(quán)偏態(tài)系數(shù)

峰態(tài)系數(shù)

峰態(tài)分布

正態(tài)分布的峰度K=3斤寇，均勻分布的峰度K=1.8。
備注：除了左偏右偏之外我們還需要從峰度上看峰度是否偏離了正態(tài)分布拥褂。
kurtosis=K-3 稱為超值峰度
kurtosis>0娘锁，尖峰態(tài)（leptokurtic），數(shù)據(jù)集比較分散饺鹃，極端數(shù)值較多
kurtosis<0莫秆，低峰態(tài)（platykurtic），數(shù)據(jù)集比較集中悔详，兩側(cè)的數(shù)據(jù)比較少

峰態(tài)系數(shù)

注：此文章部分節(jié)選于《人人都會數(shù)據(jù)分析》镊屎。![ffff.jpeg]