目錄
- 求解線性方程組：高斯消元法
- 簡化線性方程組的表示——得到原始的矩陣定義
- 用矩陣的表示方法表示高斯消元法解線性方程組的過程——得到矩陣乘法的原始定義
求解線性方程組：高斯消元法
電視的轉播過程是這樣的：
因此從電視信號線傳過來的是YCrCb三個顏色通道的數(shù)字信號堕虹，此時如果使用的是彩色電視，就需要
這種信號編碼方式的轉換本質上就是在解方程組：
那么如何解這個線性方程組呢芬首？
我們大家都學過的一種比較通用的方法就是高斯消元法
得到最終結果：
簡化線性方程組的表示——得到原始的矩陣定義
當然鲫凶，解線性方程組使用高斯消元法，基本上就是最優(yōu)的求解方法衩辟，但是整個求解過程若按照上面這樣去表示螟炫，表示起來是比較復雜的
因此有一個英國的數(shù)學家叫阿瑟·凱萊就提出用矩陣去表示線性方程組，以及線性方程組的求解過程
以一個簡單的線性方程組為例進行說明：
對于上述方程組艺晴，未知數(shù)x昼钻，y根本不重要，所以可以用一種稱為矩陣的緊湊的陣列來表示封寞，把未知數(shù)的系數(shù)提出來：
稱為系數(shù)矩陣然评，而把等號右邊的數(shù)字一起提出來：
稱為增廣矩陣
用矩陣的表示方法表示高斯消元法解線性方程組的過程——得到矩陣乘法的原始定義
還是以上面提到的方程組為例進行說明
高斯消元法的目標是進行下面形式的轉換：
用矩陣表示就是：
我們來看對這個原始方程組用高斯消元法進行消元的第一步
用第一個方程消去第二個方程的第一個系數(shù)：
得到
我們已經(jīng)成功嘗試利用矩陣來表示方程組了，但是好像對方程組的求解并沒有什么用狈究，那么我們能否利用矩陣表示方式來簡化方程組的求解過程呢碗淌？
首先，可以將矩陣看作是兩個行向量
，那么上面的計算可以通過矩陣表示為：
這個過程實際上包含了兩個步驟：
- 第一行不變亿眠，即：
- 第二行改變碎罚，即：
首先第一行不變，即
其次纳像，第二行改變荆烈，即
凱萊規(guī)定，把第一行運算的結果放在第一行竟趾，第二行的結果放在第二行憔购，即
這就是矩陣乘法的最初的定義
參考資料：
(1) 微信公眾號·馬同學高等數(shù)學《圖解線性代數(shù)》
