1.6 - 簡書

? ? ? ? 我們現(xiàn)在轉(zhuǎn)而去考察經(jīng)濟的供給端

? ? ? ? 考慮有 $K$ 個商品的經(jīng)濟敷钾，有生產(chǎn)向量 $y=(y_1,...,y_K)\in\mathbb R^K$ 枝哄，生產(chǎn)可行集 $Y\subset \mathbb R^K$ ，價格向量 $p=(p_1,...,p_K)\gg0$

????????轉(zhuǎn)換函數(shù) $F$ 阻荒，有 $Y=\{y\in\mathbb R^K|F(y)\leq0\}$

? ? ? ? 轉(zhuǎn)換邊界 $\{y\in\mathbb R^K|F(y)=0\}$

? ? ? ? 商品 $i$ 對商品 $j$ 的邊際轉(zhuǎn)換率為 $MRT_{i,j}(\overline y)=\frac{\partial F(\overline y)/\partial y_i}{\partial F(\overline y)/\partial y_j}$

? ? ? ? 在生產(chǎn)過程中挠锥，一部分商品可以被當作產(chǎn)出品，另一部分商品可以被當作投入品

? ? ? ? 產(chǎn)出品 $q=(q_1,...,q_m)\geq0$ 侨赡，投入品 $z=(z_1,...,z_{K-m})\geq0$

? ? ? ? 當 $m=1$ 時瘪贱，產(chǎn)出品只有一個，有生產(chǎn)函數(shù) $f:\mathbb R^{K-1}\rightarrow\mathbb R$

$Y=\{(-z_1,...,-z_{K-1};q)|q-f(z_1,...,z_{K-1})\leq0\&(z_1,...,z_{K-1})\geq0\}$

? ? ? ? 投入品 $z_i$ 對投入品 $z_j$ 的邊際技術(shù)替代率為 $MRTS_{i,j}(\overline z)=\frac{\partial F(\overline z)/\partial z_i}{\partial F(\overline z)/\partial z_j }$

? ? ? ? 生產(chǎn)集 $Y$ 有如下性質(zhì)：

? ? ①非空且閉

? ? ②無免費午餐： $Y\cap \mathbb R_+^K\subset\{0\}$

? ? ③可以不行動： $0\in Y$

? ? ④自由處置：若 $y\in Y,y^\prime\leq y$ 辆毡，則 $y^\prime\in Y$ 菜秦，即 $Y-\mathbb R_+^K\subset Y$

? ? ⑤不可反置：若 $y\in Y,y\ne0$ ，則 $-y\notin Y$

? ? ⑥可加性：若 $y,y^\prime\in Y$ 舶掖，則 $y+y^\prime\in Y$

? ? ⑦凸性：若 $y,y^\prime\in Y,a\in[0,1]$ 球昨，則 $ay+(1-a)y^\prime\in Y$

? ? ⑧凸錐：若 $y,y^\prime\in Y,a,b\geq0$ ，則 $ay+by^\prime\in Y$

? ? ? ? 規(guī)模報酬

? ? ①非增規(guī)模報酬：

???????? $y\in Y\Rightarrow ay\in Y,\forall a\in[0,1]$ 眨攘，即 $f(tz)\leq tf(z)$

? ? ②非減規(guī)模報酬：

? ?????? $y\in Y\Rightarrow ay\in Y,\forall a\geq1$ 主慰，即 $f(tz)\geq tf(z)$

? ? ③常數(shù)規(guī)模報酬：

? ?????? $y\in Y\Rightarrow ay\in Y,\forall a\geq0$ ，即 $f(tz)=tf(z)$

? ? ? ? 利潤最大化問題(PMP)： $\pi(p)=\max_{y\in Y}py\qquad s.t.\quad F(y)\leq0$

? ? ? ? 有 $y(p)=\{y\in Y|py=\pi(p)\}$

性質(zhì)：

? ? ? ? 利潤函數(shù) $\pi(p)$ 有如下性質(zhì)：

? ? ①1階齊次性： $\forall \lambda\geq0,\pi(\lambda p)=\lambda\pi(p)$

? ? ②單調(diào)性：若產(chǎn)出品 $p_i^\prime\geq p_i$ 鲫售，投入品 $p_j^\prime\leq p_j$ 共螺，則 $\pi(p^\prime)\geq\pi(p)$

? ? ③凸性：若 $p^{\prime\prime}=ap+(1-a)p^\prime,a\in[0,1]$ ，則 $\pi(p^{\prime\prime})\leq a\pi(p)+(1-a)\pi(p^\prime)$

? ? ④連續(xù)性

? ? ? ? 唯一產(chǎn)出品的情形：

? ? ? ? 生產(chǎn)函數(shù) $q=f(z)$

????????產(chǎn)出品價格為 $p>0$ 情竹，投入品價格為 $w=(w_1,...,w_{K-1})\gg0$

? ? ? ? 利潤最大化問題： $\max_{z\geq 0}pf(z)-wz$

? ? ? ? 一階條件： $p\frac{\partial f(z)}{\partial z_i}=w_i,i=1,...,K-1$ 藐不，其中 $MP_i=\frac{\partial f(z)}{\partial z_i}$

? ? ? ? 邊際技術(shù)替代率 $MRTS_{i,j}=\frac{w_i}{w_j}$

? ? ? ? 給定供給函數(shù) $y(p)$ ，有 $\pi(p)=p\cdot y(p)$

? ? ? ? 若 $y(p)$ 是單點集秦效，則 $y_i(p)=\frac{\partial \pi(p)}{\partial p_i},i=1,...,K$

? ? ? ? 成本最小化問題(CMP)： $c(w,q)=\min_{z\geq0}wz\qquad s.t.\quad f(z)\geq q$

? ? ? ? 需求函數(shù) $z(w,q)$ 雏蛮，成本函數(shù) $c(w,q)$

? ? ? ? 成本函數(shù) $c(w,q)$ 的性質(zhì)：

? ? ①對投入品價格 $w$ 為1階齊次性

? ? ②對產(chǎn)出品產(chǎn)量 $q$ 非減

? ? ③對投入品價格 $w$ 為凹性

? ? ④對投入品價格連續(xù)

? ? ⑤Shepard引理： $z_i(w,q)=\frac{\partial c(w,q)}{\partial w_i},i=1,...,K-1$

? ? ? ? 需求函數(shù) $z(w,q)$ 的性質(zhì)：

? ? ①對投入品價格 $w$ 為0階齊次性

? ? ②矩陣 $Z=(\frac{\partial z_i(w,q)}{\partial w_j})_{K-1\times K-1}$ 對稱且半負定

? ? ? ? 成本函數(shù)：

? ? ①平均成本函數(shù) $AC(q)=\frac{c(w,q)}{q}$

? ? ②邊際成本函數(shù) $MC(q)=\frac{\partial c(w,q)}{\partial q}$

? ? ? ? 回顧企業(yè)利潤最大化問題(PMP)： $\max_qpq-c(w,q)$

? ? ? ? 一階條件： $p=MC(q)$

? ? ? ? 短期運行和長期運行的對比：

? ? ? ? 假定即便產(chǎn)量降為0，仍然有些投入品需要使用

? ? ? ? 固定投入 $\overline z=(\overline z_1,...,\overline z_k)$ 阱州，價格為 $\overline w$ 挑秉；可變投入 $z=(z_{k+1},...,z_{K-1})$

? ? ? ? 短期成本函數(shù) $C^{SR}(w,q;\overline w,\overline z)=\overline w\overline z+wz(w,q;\overline z)$

? ? ? ? 長期成本函數(shù) $C^{LR}(w,q)=\min_{\overline z}C^{SR}(w,q;\overline w,\overline z)$

? ? ? ? 即 $C^{LR}(w,q)$ 是 $C^{SR}(w,q;\overline w,\overline z)$ 的下包絡(luò)線