讓我們從一個禪宗公案——「巖頭之斧」開始：
“德山一日謂師（即巖頭——譯注）曰：“我這里有兩僧入山，住庵多時，汝去看他怎生情连。”師遂將一斧去览效，見兩人在庵內(nèi)坐却舀。師乃拈起斧曰：“道得也一下斧，道不得也一下斧锤灿⊥彀危””
大意就是德山禪師讓巖頭去看看住庵里的兩個僧人，巖頭看到兩個僧人坐在庵內(nèi)但校，舉起斧頭說：“你們回答我要砍你們一斧頭螃诅，你們不回答我還要砍你們一斧頭。”（附1：「巖頭之斧」的中文難以理解的話我在文末附了英文原文）
這句話與武俠小說中常說的“抬頭也是一刀术裸，縮頭也是一刀”有異曲同工之妙倘是。看來這個巖頭還頗有些江湖氣息袭艺。
可是為什么我們下意識地把“道得也一下斧搀崭，道不得也一下斧”與直接砍一斧頭等同呢？
1
命題演算證明「砍一斧」為真
我們在這里要用一點數(shù)學思想證明他們是等同的猾编。
《GEB》第七章中介紹了命題演算的概念和規(guī)則瘤睹，書中用24行推導出這個結(jié)論。（附2：具體命題演算系統(tǒng)的推導規(guī)則我會附在文末答倡，有興趣的讀者可以對照理解）
把「回答」記為事件P轰传，則「不回答」即為事件∽P（“∽”是否定的意思）；
把「砍一斧」記為事件Q苇羡；
「回答砍一斧」即為<P→Q>绸吸，「不回答砍一斧」即為<∽P→Q>鼻弧；
則「回答砍一斧不回答砍一斧」的巖頭公理可以記作“＜＜P→Q＞∧＜～P→Q＞＞”设江。
我們將跟隨這24步，從“＜＜P→Q＞∧＜～P→Q＞＞”推導出事件Q攘轩，也就是「砍一斧」叉存。（與文末的推導規(guī)則對照起來看其實不難，不要害怕數(shù)學的符號度帮，其實數(shù)學的語言比中文簡單多了）
“
(1) ［ 推入
(2) ＜＜P→Q＞∧＜～P→Q＞＞ 巖頭公理
(2) ＜P→Q＞ 分隔
(4) ＜～Q→～P＞ 易位
(5) ＜～P→Q＞ 分隔
(6) ＜～Q→～～P＞ 易位
(7) ［ 再一次推入
(8) ～Q 前提
(9) ＜～Q→～P＞ 把第4行搬入
(10) ～P 分離
(11) ＜～Q→～～P＞ 把第6行搬入
(12) ～～P 分離（8和11行）
(13) ＜～P∧～～P＞ 聯(lián)結(jié)
(14) ～＜P∨～P＞ 德·摩根
(15) ］ 彈出一次
(16) ＜～Q→～＜P∨～P＞＞ 幻想規(guī)則
(17) ＜＜P∨～P＞→Q＞ 易位
(18) ［ 推入
(19) ～P 前提（也是結(jié)果＜吣蟆）
(20) ］ 彈出
(21) ＜～P→～P＞ 幻想規(guī)則
(22) ＜P∨～P＞ 思維陀螺
(23) Q 分離（22和17行）
(24) ］ 彈出”
在第23行，我們需要的Q出現(xiàn)了笨篷。
一件我們想當然的事瞳秽，使用嚴謹?shù)耐茖s使用了24步，并且會讓很多人望而生畏率翅。我不禁想：我們認為簡單的事其實不一定簡單练俐，而我們認為復雜的事也不一定復雜。人的思維真是奇妙冕臭。
2
「巖頭之斧」的后續(xù)發(fā)展
言歸正傳腺晾，既然我們最后得出了事件Q，也就是「砍一斧」辜贵，看來兩位僧人都難逃厄運了悯蝉。
不過，這件事之所以能成為公案托慨，還得看后面的發(fā)展：
“二人殊不顧鼻由。師擲下斧曰：“作家！作家！”歸嗡靡，舉似德山跺撼，山曰：“汝道他如何？”師曰：“洞山門下不道全無讨彼，若是德山門下歉井，未夢見在」螅””
說人話就是：兩個人好像沒聽到一樣不理他的話哩至。巖頭把斧扔下說：“這是修禪的人啊∶圩裕”回去把情況告訴給了德山禪師菩貌，禪師問巖頭怎么看他們，巖頭回答說：“如果在洞山禪師的門下還可以重荠，但在德山禪師的門下箭阶，他們還差得遠呢「曷常”
對于修禪方式的評論我們不去管它仇参，但是這兩個僧人應對這一斧頭的方法很巧妙∑诺睿回答的前提是聽見某句話了诈乒，如果沒聽見，那就無所謂回不回答了婆芦，也就自然不會受那一斧怕磨。（附3：想要了解禪宗背景的可以參考我附的網(wǎng)友評論）
不過，我們還有另一種方法避過那一斧——否定邏輯推理消约。
3
無限循環(huán)的三段式推理
讓我扮演其中一個人回答巖頭的話肠鲫。
我：你這待客之道太殘暴了。
巖頭：你回答我了或粮，我要砍你一斧导饲。
我：我是回答你了，但我不覺得我應該被砍頭被啼。
巖頭：我之前是不是說過「回答砍一斧」了帜消？
我：是的。
巖頭：你是不是「回答」了浓体？
我：是的泡挺。
巖頭：那你就該被我砍。
我：你是說我必須認為：
** 一命浴、「回答砍一斧」是真的**
** 二娄猫、「回答」是真的**
** 一百贱除、「砍一斧」是真的**
巖頭：就是這樣，我要砍你了媳溺。
我：等一下月幌，我得記一下，你是要我相信：
** 三悬蔽、如果一扯躺、二是真的，一百就是真的**
巖頭：就是這樣蝎困，我要砍你了录语。
我：那現(xiàn)在就是這樣了：
一、「回答砍一斧」是真的
** 二禾乘、「回答」是真的**
** 三澎埠、如果一、二是真的始藕，一百就是真的**
** 一百蒲稳、「砍一斧」是真的**
我：那我還得相信：
** 四、如果一伍派、二江耀、三是真的，一百就是真的**
我：是嗎拙已？
巖頭：就是這樣决记，我要砍你了摧冀。
我：等一下倍踪，這樣我還需要相信：
** 五、如果一索昂、二建车、三、四是真的椒惨，一百就是真的**
巖頭：就是這樣缤至，我要……
（這段對話改編自劉易斯·卡羅爾，“烏龜說給阿基里斯的話”）
這樣下去康谆，巖頭永遠也無法砍下那一斧领斥。我們所信奉的亞里士多德的三段論在這里好像失去了能量。
看來一個徹底的“懷疑論者”是駁不倒的沃暗，用《GEB》中的話說：
“你無法永遠維護你的推理模式月洛。到了一定的地步，就只有靠信仰了孽锥〗狼”
4
附言：
《GEB》七细层、八兩章幾乎全部是數(shù)學相關(guān)的內(nèi)容，我盡量把其中和數(shù)學不太相關(guān)的地方拿出來和大家分享唬涧。
但是命題演算系統(tǒng)是《GEB》第七章最重要的概念疫赎，我絕不可能跳過不提。所以只能以簡短的篇幅和附錄的形式介紹這個系統(tǒng)碎节。
強烈建議你去閱讀原書來理解命題演算系統(tǒng)捧搞，只要肯靜下心來思考，對命題演算的理解只需要相當基礎(chǔ)的數(shù)學思維狮荔，且對初高中所學的數(shù)學知識毫無要求实牡。
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附1：「巖頭之斧」的英文原文
One day Tokusan told his student Ganto, “I have two monks who have been here for many years. Go and examine them.” Ganto picked up an ax and went to the hut where the two monks were meditating. He raised the ax, saying “If you say a word, I will cut off your heads; and if you do not say a word, I will also cut off your heads.”
Both monks continued their meditation as if he had not spoken. Ganto dropped the ax and said, "You are true Zen students." He returned to Tokusan and related the incident. "I see your side well," Tokusan agreed, "but tell me, how is their side?" "T?zan may admit them," replied Ganto, "but they should not be admitted under Tokusan."
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附2：命題推理系統(tǒng)符號表、形成規(guī)則和推導規(guī)則
符號表：
≈岷稀＜ 〈次搿＞
P Q R ’
∧ ∨ → ～
［］
形成規(guī)則：如果x和y都是良構(gòu)的受葛，那么以下的四種串也都是良構(gòu)的：
⑴ ～x
⑵ ＜x∧y＞
⑶ ＜x∨y＞
⑷ ＜x→y＞”
聯(lián)結(jié)規(guī)則：如果x和y是定理题涨，那么＜x∧y＞是個定理。
分隔規(guī)則：如果＜x∧y＞是個定理总滩，那么x和y二者都是定理纲堵。
雙彎號規(guī)則：“～～”這個串可以從任何定理中刪除。它也可以嵌入到任何定理中去闰渔，只要所得的結(jié)果本身是良構(gòu)串席函。
幻想規(guī)則：如果假定x是一個定理時能推導出y來，那么＜x→y＞是個定理冈涧。
搬入規(guī)則：在一個幻想里邊茂附，任何來自于“現(xiàn)實性”高一個層次的定理都可以拿進并使用。
分離規(guī)則：如果x和＜x→y＞二者都是定理督弓，那么y是個定理营曼。
易位規(guī)則：＜x→y＞與＜～y→～x＞是可互換的。
德·摩根規(guī)則：＜～x∧～y＞與～＜x∨y＞是可互換的愚隧。
思維陀螺規(guī)則：＜x∨y＞與＜～x→y＞是可互換的蒂阱。
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附3：網(wǎng)友評「巖頭之斧」公案
庵居坐禪本是洞山一系的門風，石霜有枯木眾狂塘，后世倡默照禪录煤，豈是虛然！德山令巖頭評價二人荞胡，巖頭言道妈踊，若是洞山門下，不能說全無可取硝训，若是德山門下响委，則尚未夢見新思，差得很遠。巖頭不是說二人境界不及赘风，而是怪他們投錯了地方夹囚，若是洞山門下，定力深厚邀窃，堪稱作家荸哟，而在德山門下，如此枯坐瞬捕，驢年難悟鞍历！洞山門下有修有證，坐禪便是功夫肪虎；德山門下無修無證劣砍，宴坐即是執(zhí)著。巖頭并非有意貶低洞山扇救，而是表明二宗門風不同刑枝。
