第四章時變電磁場

波動方程

在無源的線性、各向同性且無損耗的均勻媒質(zhì)中吧黄，由麥克斯韋方程組可推導出電磁場 $\vec{E}$ 和磁場 $\vec{H}$ 滿足波動方程 $\Delta^2 \vec{E} - \mu \varepsilon \frac{ \partial^2 \vec{E} }{ \partial t^2}=0$ $\Delta^2 \vec{H} - \mu \varepsilon \frac{ \partial^2 \vec{H} }{ \partial t^2}=0$

動態(tài)矢量位和標量位

在時變電磁場中部服，動態(tài)矢量位 $\vec{A}$ 和動態(tài)標量位 $\varphi$ 的定義為 $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ $\vec{E} = - \frac{ \partial \vec{A} }{ \partial t } - \nabla \varphi$ 應(yīng)用洛倫茲條件 $\nabla \cdot \vec{A} + \mu \varepsilon \frac{ \partial \varphi }{ \partial t} = 0$ 可得到 $\vec{A}$ 和 $\varphi$ 的微分方程為 $\nabla^2 \vec{A} - \mu \varepsilon \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} = -\mu \vec{J}$ $\nabla^2 \varphi - \mu \varepsilon \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = -\frac{1}{\varepsilon} \rho$

坡印廷定理和坡印廷矢量

坡印廷定理

坡印廷定理表征了電磁場能量守恒關(guān)系，其微分形式為 $- \nabla \cdot ( \vec{E} \times \vec{H} ) = \frac{ \partial }{ \partial t }(\frac{1}{2} \vec{H} \cdot \vec{B} + \frac{1}{2} \vec{E} \cdot \vec{D}) + \vec{E} \cdot \vec{J}$ 積分形式為 $- \oint_S (\vec{E} \times \vec{H}) \cdot d \vec{S} = \fracvdzn73h{dt} \int_V ( \frac{1}{2} \vec{H} \cdot \vec{B} + \frac{1}{2} \vec{E} \cdot \vec{D} ) dV + \int_V \vec{E} \cdot \vec{J} dV$ 坡印廷定理的物理意義：單位時間內(nèi)通過曲面 $S$ 進入體積 $V$ 的電磁能量等于單位時間內(nèi)體積 $V$ 中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和拗慨。

坡印廷矢量 $\vec{S}$

坡印廷矢量是描述電磁能量傳輸?shù)囊粋€重要物理量廓八，其定義為 $\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H} \quad W/m^2$ 它表示單位時間內(nèi)通過垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁能量，其方向就是電磁能量傳輸?shù)姆较颉?/p>

時諧電磁場

時諧電磁場的復數(shù)表示法

以一定角頻率做時諧變化的電磁場稱為時諧電磁場或正弦電磁場赵抢。
時諧電磁場可用復數(shù)形式來表示 $\vec{E} ( \vec{r} ,t) =Re[\vec{E(r)}e^{j \omega t}]$ 其中 $\vec{E(r)}=\vec{e_x}E_{xm}(\vec{r})e^{j \phi_x(r)} +\vec{e_y}E_{ym}(\vec{r})e^{j \phi_y(r)} + \vec{e_z}E_{zm}(\vec{r})e^{j \phi_z(r)}$ 成為電場強度 $\vec{E}$ 的復數(shù)形式或復適量剧蹂。

麥克斯韋方程的復數(shù)形式

時諧電磁場的復矢量滿足的麥克斯韋方程為 $\nabla \times \vec{H} ( \vec{r} ) = \vec{J} ( \vec{r} ) +j \omega \vec{D} ( \vec{r} )$ $\nabla \times \vec{E} ( \vec{r} ) = - j \omega \vec{B} ( \vec{r} )$ $\nabla \cdot \vec{B} ( \vec{r} ) = 0$ $\nabla \cdot \vec{D} ( \vec{r} ) = \rho ( \vec{r} )$

復電容率和復磁導率

在時諧電磁場中，對于存在電極化損耗的電介質(zhì)烦却，表征其電極化特征的參數(shù)是復介電常數(shù)（即復電容率） $\vec{\varepsilon} = \vec{\varepsilon '}-j \vec{\varepsilon ''}$ 對于存在磁化損耗的磁介質(zhì)宠叼，表征其磁化特性的參數(shù)是復磁導率 $\mu_c = \mu' - j \mu''$ 對于介電常數(shù)為 $\varepsilon$ 、電導率為 $\sigma$ 的導電媒質(zhì)其爵，其損耗特性可用等效復介電常數(shù) $\varepsilon_c$ 來描述 $\varepsilon_c = \varepsilon - j \frac{\sigma}{\omega}$

波動方程的復數(shù)形式

在無源空間中车吹，電場 $\vec{E}$ 和磁場 $\vec{H}$ 的復矢量滿足的波動方程為 $\nabla^2 \vec{E} + k^2 \vec{E} = 0$ $\nabla^2 \vec{H} + k^2 \vec{H} = 0$ 稱為亥姆霍茲方程，其中 $k^2 = \omega ^2 \mu \varepsilon$

動態(tài)矢量位和標量位的復數(shù)形式

在時諧電磁場中醋闭，動態(tài)矢量位 $\vec{A}$ 和動態(tài)標量位 $\varphi$ 的復數(shù)形式定義為 $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ $\vec{E} = - j \omega \vec{A} - \nabla \varphi$ 洛倫茲條件為 $\nabla \cdot \vec{A} + j \omega \mu \varepsilon \varphi = 0$ 可得到 $\vec{A}$ 和 $\varphi$ 的微分方程為 $\nabla^2 \vec{A} + \omega^2 \mu \varepsilon \vec{A} = - \mu \vec{J}$ $\nabla^2 \varphi + \omega^2 \mu \varepsilon \varphi = - \frac{1}{\varepsilon} \rho$

平均坡印廷矢量 $\vec{S_{av}}$

在時諧電磁場中，一個周期 $T$ 內(nèi)的平均能流密度矢量 $\vec{S_{av}}$ （即平均坡印廷矢量）為 $\vec{S_{av}} = \frac{1}{T} \int^T_0 \vec{S} dt = \frac{\omega}{2 \pi} \int_0^{2 \pi / \omega} \vec{S} dt$ 用復矢量來計算則為 $\vec{S_{av}} = \frac{1}{2} Re [\vec{E} \times \vec{H}^*]$

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