排序操作相關(guān)代碼請(qǐng)移步 Leooel 的博客
今天寫的是歸并排序和快速排序，時(shí)間復(fù)雜度均為 加派，適合大規(guī)模數(shù)據(jù)的排序叫确。
歸并排序
歸并排序使用的就是分治思想。分治芍锦，顧名思義竹勉，就是分而治之，將一個(gè)大問(wèn)題分解成小的子問(wèn)題來(lái)解決娄琉。小的子問(wèn)題解決了次乓，大問(wèn)題也就解決了。
分治算法一般都是用遞歸來(lái)實(shí)現(xiàn)的孽水。分治是一種解決問(wèn)題的處理思想票腰，遞歸是一種編程技巧。
先寫出歸并排序的遞推公式：
遞推公式： merge_sort(p…r) = merge(merge_sort(p…q), merge_sort(q+1…r))
終止條件： p >= r 不用再繼續(xù)分解
歸并排序的性能分析
- 第一女气，歸并排序是穩(wěn)定的排序算法嗎杏慰？
歸并排序是一個(gè)穩(wěn)定的排序算法。
- 歸并排序的時(shí)間復(fù)雜度是多少炼鞠？
不僅遞歸求解的問(wèn)題可以寫成遞推公式缘滥，遞歸代碼的時(shí)間復(fù)雜度也可以寫成遞推公式。
T(a) = T(b) + T(c) + K
T(a)簇搅、T(b)完域、T(c) 分別是求解問(wèn)題 a、b瘩将、c 的時(shí)間
K 等于將兩個(gè)子問(wèn)題 b吟税、c 的結(jié)果合并成問(wèn)題 a 的結(jié)果所消耗的時(shí)間
我們假設(shè)對(duì) n 個(gè)元素進(jìn)行歸并排序需要的時(shí)間是 T(n)，那分解成兩個(gè)子數(shù)組排序的時(shí)間都是 T(n/2)姿现。我們知道肠仪，merge() 函數(shù)合并兩個(gè)有序子數(shù)組的時(shí)間復(fù)雜度是 O(n)。所以备典，套用前面的公式异旧，歸并排序的時(shí)間復(fù)雜度的計(jì)算公式就是：
T(1) = C； n=1 時(shí)提佣，只需要常量級(jí)的執(zhí)行時(shí)間吮蛹，所以表示為 C荤崇。
T(n) = 2*T(n/2) + n； n>1
一步一步分解推導(dǎo)潮针，得到 k=log2n 术荤。我們將 k 值代入上面的公式，得到 T(n)=Cn+nlog2n每篷。
如果我們用大 O 標(biāo)記法來(lái)表示的話瓣戚，T(n) 就等于 O(nlogn)。所以歸并排序的時(shí)間復(fù)雜度是 O(nlogn)焦读。
從我們的原理分析和偽代碼可以看出子库，歸并排序的執(zhí)行效率與要排序的原始數(shù)組的有序程度無(wú)關(guān)，所以其時(shí)間復(fù)雜度是非常穩(wěn)定的矗晃，不管是最好情況仑嗅、最壞情況，還是平均情況喧兄，時(shí)間復(fù)雜度都是 O(nlogn)无畔。
- 第三，歸并排序的空間復(fù)雜度是多少吠冤？
歸并排序的 merge 合并函數(shù)浑彰，在合并兩個(gè)有序數(shù)組為一個(gè)有序數(shù)組時(shí)，需要借助額外的存儲(chǔ)空間拯辙。但是遞歸代碼的空間復(fù)雜度并不能像時(shí)間復(fù)雜度那樣累加郭变。在任意時(shí)刻，CPU 只會(huì)有一個(gè)函數(shù)在執(zhí)行涯保，也就只會(huì)有一個(gè)臨時(shí)的內(nèi)存空間在使用诉濒。臨時(shí)內(nèi)存空間最大也不會(huì)超過(guò) n 個(gè)數(shù)據(jù)的大小，所以空間復(fù)雜度是 O(n)夕春。
快速排序的原理
快排利用的也是分治思想未荒，乍看起來(lái)，它有點(diǎn)像歸并排序及志，但是思路完全不一樣片排。
快排的思想是這樣的：如果要排序數(shù)組中下標(biāo)從 p 到 r 之間的一組數(shù)據(jù)，我們選擇 p 到 r 之間的任意一個(gè)數(shù)據(jù)作為 pivot（分區(qū)點(diǎn)）速侈。我們遍歷 p 到 r 之間的數(shù)據(jù)率寡，將小于pivot 的放到左邊，將大于 pivot 的放到右邊倚搬，將pivot 放到中間冶共。經(jīng)過(guò)這一步驟之后，數(shù)組 p 到 r 之間的數(shù)據(jù)就被分成了三個(gè)部分，前面 p 到 q-1 之間都是小于 pivot 的捅僵，中間是 pivot家卖，后面的 q+1 到 r 之間是大于 pivot 的。
根據(jù)分治庙楚、遞歸的處理思想篡九，我們可以用遞歸排序下標(biāo)從 p 到 q-1 之間的數(shù)據(jù)和下標(biāo)從 q+1 到 r 之間的數(shù)據(jù)，直到區(qū)間縮小為 1醋奠，就說(shuō)明所有的數(shù)據(jù)都有序了。
遞推公式如下：
遞推公式： quick_sort(p…r) = quick_sort(p…q-1) + quick_sort(q+1, r)
終止條件： p >= r
歸并排序中有一個(gè) merge() 合并函數(shù)伊佃，我們這里有一個(gè) partition() 分區(qū)函數(shù)窜司。怎么低空間、時(shí)間復(fù)雜度的實(shí)現(xiàn)這個(gè)分區(qū)函數(shù)呢航揉？你可以想一下~
快速排序的性能分析
快排是一種原地塞祈、不穩(wěn)定的排序算法。那時(shí)間復(fù)雜度呢帅涂？
快排也是用遞歸來(lái)實(shí)現(xiàn)的议薪。對(duì)于遞歸代碼的時(shí)間復(fù)雜度，前面總結(jié)的公式媳友，這里也還是適用的斯议。如果每次分區(qū)操作，都能正好把數(shù)組分成大小接近相等的兩個(gè)小區(qū)間醇锚，那快排的時(shí)間復(fù)雜度遞推求解公式跟歸并是相同的哼御。所以，快排的時(shí)間復(fù)雜度也是 O(nlogn)焊唬。
但是恋昼，公式成立的前提是每次分區(qū)操作，我們選擇的 pivot 都很合適赶促，正好能將大區(qū)間對(duì)等地一分為二液肌。但實(shí)際上這種情況是很難實(shí)現(xiàn)的。
我舉一個(gè)比較極端的例子鸥滨。如果數(shù)組中的數(shù)據(jù)原來(lái)已經(jīng)是有序的了嗦哆，比如 1，3爵赵，5吝秕，6，8空幻。如果我們每次選擇最后一個(gè)元素作為 pivot烁峭，那每次分區(qū)得到的兩個(gè)區(qū)間都是不均等的。我們需要進(jìn)行大約 n 次分區(qū)操作，才能完成快排的整個(gè)過(guò)程约郁。每次分區(qū)我們平均要掃描大約 n/2 個(gè)元素缩挑，這種情況下，快排的時(shí)間復(fù)雜度就從 O(nlogn) 退化成了 O(n^2)鬓梅。
那快排的平均情況時(shí)間復(fù)雜度是多少呢供置？等到后面了解了遞歸樹再來(lái)方便的計(jì)算。
先給出結(jié)論：T(n) 在大部分情況下的時(shí)間復(fù)雜度都可以做到 O(nlogn)绽快，只有在極端情況下芥丧，才會(huì)退化到 O(n^2)。而且坊罢，我們也有很多方法將這個(gè)概率降到很低胸蛛，后面會(huì)講到狗准。
歸并和快排的區(qū)別
快排和歸并用的都是分治思想，遞推公式和遞歸代碼也非常相似，那它們的區(qū)別在哪里呢陋桂？
可以發(fā)現(xiàn)廉油，歸并排序的處理過(guò)程是由下到上的碰声，先處理子問(wèn)題跟啤，然后再合并。而快排正好相反起趾，它的處理過(guò)程是由上到下的诗舰，先分區(qū)，然后再處理子問(wèn)題训裆。
歸并排序雖然是穩(wěn)定的始衅、時(shí)間復(fù)雜度為 O(nlogn) 的排序算法，但是它是非原地排序算法缭保。歸并之所以是非原地排序算法汛闸，主要原因是合并函數(shù)無(wú)法在原地執(zhí)行∫章睿快速排序通過(guò)設(shè)計(jì)巧妙的原地分區(qū)函數(shù)诸老，可以實(shí)現(xiàn)原地排序，解決了歸并排序占用太多內(nèi)存的問(wèn)題钳恕。
開(kāi)篇解答
如何在 O(n) 時(shí)間復(fù)雜度內(nèi)求無(wú)序數(shù)組中的第 K 大元素别伏？
快排核心思想就是分治和分區(qū)，我們可以利用分區(qū)的思想忧额，來(lái)解答厘肮。
我們選擇數(shù)組區(qū)間 A[0…n-1] 的最后一個(gè)元素 A[n-1] 作為 pivot，對(duì)數(shù)組 A[0…n-1] 原地分區(qū)睦番，這樣數(shù)組就分成了三部分类茂，A[0…p-1]耍属、A[p]、A[p+1…n-1]巩检。
如果 p+1=K厚骗，那 A[p] 就是要求解的元素；如果 K>p+1, 說(shuō)明第 K 大元素出現(xiàn)在 A[p+1…n-1] 區(qū)間兢哭，我們?cè)侔凑丈厦娴乃悸愤f歸地在 A[p+1…n-1] 這個(gè)區(qū)間內(nèi)查找领舰。同理，如果 K<p+1迟螺，那我們就在 A[0…p-1] 區(qū)間查找冲秽。直到區(qū)間縮小為 1。
為什么時(shí)間復(fù)雜度是 O(n)呢矩父？
第一次分區(qū)查找劳跃，我們需要對(duì)大小為 n 的數(shù)組執(zhí)行分區(qū)操作，需要遍歷 n 個(gè)元素浙垫。第二次分區(qū)查找，我們只需要對(duì)大小為 n/2 的數(shù)組執(zhí)行分區(qū)操作郑诺，需要遍歷 n/2 個(gè)元素夹姥。依次類推，分區(qū)遍歷元素的個(gè)數(shù)分別為辙诞、n/2辙售、n/4、n/8飞涂、n/16....直到區(qū)間縮小為 1旦部。
如果我們把每次分區(qū)遍歷的元素個(gè)數(shù)加起來(lái)，就是：n+n/2+n/4+n/8+…+1较店。這是一個(gè)等比數(shù)列求和士八，最后的和等于 2n-1。所以梁呈，上述解決思路的時(shí)間復(fù)雜度就為 O(n)婚度。
課后思考
現(xiàn)在你有 10 個(gè)接口訪問(wèn)日志文件，每個(gè)日志文件大小約 300MB官卡，每個(gè)文件里的日志都是按照時(shí)間戳從小到大排序的蝗茁。你希望將這 10 個(gè)較小的日志文件，合并為 1 個(gè)日志文件寻咒，合并之后的日志仍然按照時(shí)間戳從小到大排列哮翘。如果處理上述排序任務(wù)的機(jī)器內(nèi)存只有 1GB，你有什么好的解決思路毛秘，能“快速”地將這 10 個(gè)日志文件合并嗎饭寺？
每次從各個(gè)文件中取一條數(shù)據(jù)，在內(nèi)存中根據(jù)數(shù)據(jù)時(shí)間戳構(gòu)建一個(gè)最小堆，然后每次把最小值給寫入新文件佩研，同時(shí)將最小值來(lái)自的那個(gè)文件再出來(lái)一個(gè)數(shù)據(jù)柑肴，加入到最小堆中。
這個(gè)空間復(fù)雜度為常數(shù)旬薯，但沒(méi)能很好利用 1g 內(nèi)存晰骑，而且磁盤單個(gè)讀取比較慢，所以考慮每次讀取一批數(shù)據(jù)绊序，沒(méi)了再?gòu)拇疟P中取硕舆，時(shí)間復(fù)雜度還是一樣 O(n)。
