數(shù)論四大定理之威爾遜定理

威爾遜定理

p 為質(zhì)數(shù) $\Longleftrightarrow(p-1)!\equiv -1(\mod p)$

證明：

必要性：
$(p-1)!\equiv -1(\mod p)\Longleftrightarrow p|(p-1)!+1$
假設(shè) p 不是質(zhì)數(shù)友多，且 a 是 p 的質(zhì)因子牲平。
易知 $a|(p-1)!$ ，則 $a\nmid(p-1)!+1$
$而p|(p-1)!+1\Longrightarrow a|(p-1)!+1$ 域滥，前后矛盾纵柿！
故 p 一定為質(zhì)數(shù)。
充分性：
$當(dāng) p = 2 時(shí)$ 启绰， $(p-1)!\equiv -1(\mod p)$ 顯然成立昂儒。
$當(dāng) p = 3 時(shí)$ ， $(p-1)!\equiv -1(\mod p)$ 顯然成立委可。
$當(dāng)p\ge5時(shí)$ 渊跋，令 $M=\{2,3,\cdots,p-2\},N=\{1,2,\cdots,p-1\}$ $\forall a\in M$ ，令 $S=a\cdot N=\{a,2a,\cdots,(p-1)a\}$ $注意\forall t\in S,p\nmid t$
$\therefore\forall t_1,t_2\in S,t_1<t_2\Longrightarrow t_2-t_1\in S\Longrightarrow p\nmid(t_2-t_1)$
$根據(jù)同余的定義可知着倾，S中所有元素模p都不同余$
$\therefore S\mod p=N$
也就是說 $\forall a\in M,\exists x\in N$ 拾酝，一定有 $ax\equiv1(\mod p)$
$若x=1，則ax\%p=a\%p=a,\therefore x\ne1$
$若x=p-1$ 屈呕，則
$ax\%p=(ap-a)\%p=[(a-1)p+p-a]\%p=p-a,\therefore x\ne p-1$
$若x=a$ 微宝，則
$a^2\equiv1(\mod p)\Longrightarrow(a+1)(a-1)\equiv0(\mod p)$ $\Longrightarrow a=1或a=p-1\therefore x\ne a$
綜上所述， $\forall a\in M,\exists x\in M,且a\ne x,有ax\equiv1(\mod p)$
所以 $(p-1)!\equiv1\cdot(p-1)\equiv-1(\mod p)$

證畢虎眨！

最后編輯于：2020.03.17 01:31:17

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請(qǐng)聯(lián)系作者

人面猴
序言：七十年代末蟋软，一起剝皮案震驚了整個(gè)濱河市镶摘，隨后出現(xiàn)的幾起案子，更是在濱河造成了極大的恐慌岳守，老刑警劉巖凄敢，帶你破解...
沈念sama閱讀 211,884評(píng)論 6贊 492
死咒
序言：濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件，死亡現(xiàn)場(chǎng)離奇詭異湿痢，居然都是意外死亡涝缝，警方通過查閱死者的電腦和手機(jī)，發(fā)現(xiàn)死者居然都...
沈念sama閱讀 90,347評(píng)論 3贊 385
救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
文/潘曉璐我一進(jìn)店門譬重，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來拒逮，“玉大人，你說我怎么就攤上這事臀规√苍” “怎么了？”我有些...
開封第一講書人閱讀 157,435評(píng)論 0贊 348
道士緝兇錄：失蹤的賣姜人
文/不壞的土叔我叫張陵塔嬉，是天一觀的道長(zhǎng)玩徊。經(jīng)常有香客問我，道長(zhǎng)谨究，這世上最難降的妖魔是什么恩袱？我笑而不...
開封第一講書人閱讀 56,509評(píng)論 1贊 284
?港島之戀（遺憾婚禮）
正文為了忘掉前任，我火速辦了婚禮胶哲，結(jié)果婚禮上畔塔，老公的妹妹穿的比我還像新娘。我一直安慰自己纪吮，他們只是感情好俩檬，可當(dāng)我...
茶點(diǎn)故事閱讀 65,611評(píng)論 6贊 386
惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來的
文/花漫我一把揭開白布。她就那樣靜靜地躺著碾盟，像睡著了一般棚辽。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上冰肴，一...
開封第一講書人閱讀 49,837評(píng)論 1贊 290
城市分裂傳說
那天屈藐，我揣著相機(jī)與錄音，去河邊找鬼熙尉。笑死联逻，一個(gè)胖子當(dāng)著我的面吹牛，可吹牛的內(nèi)容都是我干的检痰。我是一名探鬼主播包归，決...
沈念sama閱讀 38,987評(píng)論 3贊 408
雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開眼，長(zhǎng)吁一口氣：“原來是場(chǎng)噩夢(mèng)啊……” “哼铅歼！你這毒婦竟也來了公壤？” 一聲冷哼從身側(cè)響起换可，我...
開封第一講書人閱讀 37,730評(píng)論 0贊 267
萬榮殺人案實(shí)錄
序言：老撾萬榮一對(duì)情侶失蹤，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎厦幅，沒想到半個(gè)月后沾鳄，有當(dāng)?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體萌狂，經(jīng)...
沈念sama閱讀 44,194評(píng)論 1贊 303
?護(hù)林員之死
正文獨(dú)居荒郊野嶺守林人離奇死亡冲泥，尸身上長(zhǎng)有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
茶點(diǎn)故事閱讀 36,525評(píng)論 2贊 327
?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年，在試婚紗的時(shí)候發(fā)現(xiàn)自己被綠了忿晕。大學(xué)時(shí)的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片休弃。...
茶點(diǎn)故事閱讀 38,664評(píng)論 1贊 340
活死人
序言：一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡吞歼，死狀恐怖，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出塔猾，到底是詐尸還是另有隱情浆熔，我是刑警寧澤，帶...
沈念sama閱讀 34,334評(píng)論 4贊 330
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布桥帆，位于F島的核電站，受9級(jí)特大地震影響慎皱，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏老虫。R本人自食惡果不足惜，卻給世界環(huán)境...
茶點(diǎn)故事閱讀 39,944評(píng)論 3贊 313
男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一茫多、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望祈匙。院中可真熱鬧，春花似錦天揖、人聲如沸夺欲。這莊子的主人今日做“春日...
開封第一講書人閱讀 30,764評(píng)論 0贊 21
一樁弒父案今膊，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽些阅。三九已至，卻和暖如春斑唬，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間市埋，已是汗流浹背。一陣腳步聲響...
開封第一講書人閱讀 31,997評(píng)論 1贊 266
情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國(guó)打工恕刘，沒想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留缤谎，地道東北人。一個(gè)月前我還...
沈念sama閱讀 46,389評(píng)論 2贊 360
代替公主和親
正文我出身青樓褐着，卻偏偏與公主長(zhǎng)得像坷澡，于是被迫代替她去往敵國(guó)和親。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子含蓉，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 43,554評(píng)論 2贊 349

數(shù)論四大定理之威爾遜定理

威爾遜定理

推薦閱讀更多精彩內(nèi)容