高斯定理vs電勢(shì)by費(fèi)世煌

平面舒萎、球程储、圓柱的電勢(shì)

知識(shí)點(diǎn)

單體
- (1) 借助高斯定理，求出場(chǎng)強(qiáng) $\vec{E}(\vec{r})$ 。注意一般是分段函數(shù)章鲤。
- (2) 從關(guān)心的場(chǎng)點(diǎn)向零勢(shì)能點(diǎn)（一般為無(wú)窮遠(yuǎn)）進(jìn)行分段積分： $V=\int_{A}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}$
組合體
- 疊加法

表達(dá)題

復(fù)習(xí)

之前我們學(xué)過(guò)電勢(shì)的概念摊灭。某場(chǎng)點(diǎn)的電勢(shì)為 $V$ ，它的物理意義是：

解答：?jiǎn)挝浑姾稍谠擖c(diǎn)具有的電勢(shì)能（所以是個(gè)標(biāo)量）

復(fù)習(xí)

電勢(shì)的計(jì)算败徊，第一種方法是點(diǎn)電荷的積分大法帚呼，也就是把場(chǎng)源電荷看成是由很多電量為 $dq$ 的點(diǎn)電荷組成，然后求和或積分搞定皱蹦，核心公式為( )

解答： $V=\int\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}$

電勢(shì)的計(jì)算煤杀，第二種方法是點(diǎn)電荷系電勢(shì)疊加處理，即求出每個(gè)電荷的對(duì)該點(diǎn)的電勢(shì)沪哺，并且求該點(diǎn)的電勢(shì)和沈自，核心公式為( )

解答： $V_和=V_1+V_2+\cdots+V_n=\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\cdot(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\cdots+\frac{1}{r_n})$

復(fù)習(xí) 我們將 $q$ 從無(wú)窮遠(yuǎn)推到當(dāng)前場(chǎng)點(diǎn)時(shí)，外力做的功辜妓，轉(zhuǎn)化為電勢(shì)能枯途。設(shè)空間任意場(chǎng)點(diǎn) $\vec{r}$ 處的電場(chǎng)強(qiáng)度為 $\vec{E}(\vec{r})$ ，則電勢(shì)能的計(jì)算式可能為：
(1) $E_{p}=\int_{\infty}^{A}\vec{F}_{\text{外}}\cdot d\vec{r}=\int_{\infty}^{A}(-q\vec{E})\cdot d\vec{r}=\int_{A}^{\infty}q\vec{E}\cdot d\vec{r}=q\int_{A}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 籍滴。
(2) $E_{p}=\int_{\infty}^{A}\vec{F}_{\text{外}}\cdot d\vec{r}=\int_{\infty}^{A}(q\vec{E})\cdot d\vec{r}=\int_{\infty}^{A}q\vec{E}\cdot d\vec{r}=q\int_{\infty}^{A}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 柔袁。
則根據(jù)電勢(shì)的定義，得到電勢(shì)和電場(chǎng)的積分關(guān)系可能為：
(3) $V=\frac{E_{p}}{q}=\int_{A}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 异逐。
(4) $V=\frac{E_{p}}{q}=\int_{\infty}^{A}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 。
以上正確的是()

解答：(1)(3)

某實(shí)心均勻帶電球體插掂，電量為 $Q$ 灰瞻，半徑為 $R$ 。根據(jù)高斯定理易知： $E=\begin{cases} \begin{array}{l} E_{I}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{Q}{r^{2}}\\ E_{II}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{Q/R^{3}\times r^{3}}{r^{2}} \end{array} & \begin{array}{c} r>R\\ r \le R \end{array}\end{cases}$
則距離球心為 $r_{0}=\frac{3R}{2}$ 處的電勢(shì)的計(jì)算式為
(1) $V=\int_{r_{0}}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{r_{0}}^{\infty}E_{I}(r)dr$ 辅甥。
(2) $V=\int_{r_{0}}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{r_{0}}^{\infty}E_{II}(r)dr$ 酝润。
則距離球心為 $r_{0}=\frac{R}{2}$ 處的電勢(shì)的計(jì)算式為
(3) $V=\int_{r_{0}}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{r_{0}}^{\infty}E_{I}(r)dr$ 。
(4) $V=\int_{r_{0}}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{r_{0}}^{\infty}E_{II}(r)dr$ 璃弄。
(5) $V=\int_{r_{0}}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{r_{0}}^{R}E_{II}(r)dr+\int_{R}^{\infty}E_{I}(r)dr$ 要销。
請(qǐng)理解電勢(shì)計(jì)算的幾何意義
(6) 胡亂寫(xiě)積分表達(dá)式
(7) $E(r)$ 分段曲線(xiàn)下方所圍成的面積

以上正確的是( )

解答：(1)(5)(7)

某均勻帶電空腔球體，電量為 $Q$ 夏块，內(nèi)徑為 $R_{1}$ 疏咐，外徑為 $R_{2}$ 。根據(jù)高斯定理易知： $E=\begin{cases}\begin{array}{l} E_{I}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{Q}{r^{2}}, r>R_{2} \\ E_{II}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{ Q_{0} }{r^{2}}, [Q_{0}=Q/(R_{2}^{3}-R_{1}^{3})\times(r^{3}-R_{1}^{3})], r\in(R_{1},R_{2})\\ E_{III}=0 , r\lt R_{1} \end{array} \end{cases}$
則距離球心為 $r_{0}\in(R_{1},R_{2})$ 處的電勢(shì)的計(jì)算式為( )

解答： $V=\int_{r_{0}}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{r_{0}}^{R_{2}}E_{II}(r)dr+\int_{R_{2}}^{\infty}E_{I}(r)dr$ 脐供。

某均勻帶電無(wú)限長(zhǎng)實(shí)心圓柱體浑塞，半徑為 $R$ ，電荷體密度為 $\rho$ 政己，則距離軸線(xiàn)為 $r_{0}=\frac{R}{2}$ 處的電勢(shì)的積分表達(dá)式為：( )

$V=\int_{r_{0}}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{r_{0}}^{R}\frac{\rho}{2\epsilon_{0}}rdr+\int_{R}^{\infty}\frac{\rho R^{2}}{2\epsilon_{0}}\cdot\frac{1}{r}dr$ 酌壕。

球、柱、面狀帶電體的電勢(shì)卵牍，一般使用積分來(lái)計(jì)算： $V=\int_{A}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 果港。如果要求 $A\text{、}B$ 兩點(diǎn)的電勢(shì)差 $U_{A,B}$ 糊昙，則為( )

解答： $V=\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 辛掠。 $U_{A,B}=V_{A}-V_{B}=\int_{A}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}-\int_{B}^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}=\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{r}$

均勻帶電的無(wú)限大平板，厚度為 $D$ 溅蛉，電荷體密度為 $\rho$ 」耍現(xiàn)在求圖中 $A(x=\frac{D}{5})\text{、}B(x=3D)$ 兩點(diǎn)的電勢(shì)差船侧。
第一步欠气，用高斯定理求電場(chǎng)，得到
(1) $E=\begin{cases} \begin{array}{l} E_{I}(r)=\frac{\rho D}{2\epsilon_{0}}\\ E_{II}(r)=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}x\end{array} & \begin{array}{c} x>\frac{D}{2}\\ x<\frac{D}{2} \end{array}\end{cases}$
(2) $E=\begin{cases} \begin{array}{l}E_{I}(r)=\frac{\rho D}{\epsilon_{0}}\\ E_{II}(r)=\frac{\rho}{2\epsilon_{0}}x \end{array} & \begin{array}{c} x>\frac{D}{2}\\x<\frac{D}{2} \end{array}\end{cases}$
第二步镜撩，借助 $V=\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ 計(jì)算電勢(shì)差预柒。考慮到電場(chǎng)的方向袁梗，以及 $B_{1}$ 與 $B$ 電勢(shì)相等宜鸯，事實(shí)上只需要計(jì)算 $\int_{A}^{B_{1}}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ ，從而化為標(biāo)量積分遮怜。則積分表達(dá)式為
(3) $V=\int_{D/5}^{D/2}\frac{\rho D}{2\epsilon_{0}}dx+\int_{D/2}^{3D}\frac{\rho}{\epsilon_{0}}xdx$
(4) $V=\int_{D/5}^{D}\frac{\rho D}{\epsilon_{0}}dx+\int_{D}^{3D}\frac{\rho}{2\epsilon_{0}}xdx$
以上正確的是()

解答：(1)(4)

學(xué)知識(shí)需要自己悟出點(diǎn)感性的東西淋袖。下面關(guān)于電勢(shì)說(shuō)法，有
(1) 順著電場(chǎng)線(xiàn)锯梁，電勢(shì)是降低的
(2) 由于左右對(duì)稱(chēng)性即碗， $A$ 與 $A'$ 的電勢(shì)相等
(3) 如果要求 $A'\text{、}B$ 兩點(diǎn)的電勢(shì)差 $U_{A',B}$ 陌凳，其實(shí)只需要求 $U_{A,B}$
(4) $B$ 和 $B''$ 電勢(shì)相等剥懒，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cint_%7BB%7D%5E%7BB''%7D%5Cvec%7BE%7D%5Ccdot%20d%5Cvec%7Br%7D" alt="\int_{B}^{B''}\vec{E}\cdot d\vec{r}" mathimg="1">中， $\vec{E}$ 的方向時(shí)刻跟 $d\vec{r}$ 的方向垂直
(5) 事實(shí)上 $B$ 與 $B''$ 位于同一個(gè)等勢(shì)面
(6) 學(xué)完了想一想合敦，球初橘、柱、平板電荷中高斯面的選擇充岛，似乎跟等勢(shì)面有很大的相似性保檐。
以上正確的是( )

解答：(1)(2)(3)(5)(6)

最后編輯于：2019.04.13 20:38:00

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